2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第七章解析幾何第6講雙曲線含解析

PAGE5-第6講雙曲線1．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)x2．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(2\r(3),3)3．如圖X7-6-1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B.若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()圖X7-6-1A．4B.eq\r(7)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)4．(2024年新課標(biāo)Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)5．(2024年新課標(biāo)Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))6．(2024年新課標(biāo)Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2)D．3eq\r(2)7．(2024年天津)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓O：x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，雙曲線左頂點(diǎn)為C，若∠ACB＝120°，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±eq\f(\r(2),2)x9．(2024年福建廈門模擬)已知雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2,3)，則|PQ|＋|PF1|的最小值為________．10．(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若∠MAN＝60°，則有()A．漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)xB．e＝eq\f(3\r(2),2)C．e＝eq\f(2\r(3),3)D．漸近線方程為y＝±eq\r(3)x11．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B.若|OF|＝|FB|，則雙曲線C的離心率是()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(2)D．212．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿意(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且3|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝4|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，則雙曲線的離心率為________．

第6講雙曲線1．A2．A解析：由幾何關(guān)系可得，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線為bx±ay＝0，圓心(2,0)到漸近線的距離為d＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)＝eq\f(|2b±0|,\r(a2＋b2))＝eq\f(2b,c)，即eq\f(2b2,c2)＝eq\f(4c2－a2,c2)＝3.整理，得c2＝4a2，e2＝eq\f(c2,a2)＝4，∴e＝2.故選A.3．B解析：設(shè)AF1＝x，則AF2＝2a＋x＝AB＝BF2，BF1＝2a＋2x.又BF1－BF2＝(2a＋2x)－(2a＋x)＝x＝2a，∴BF1＝6a，BF2＝4a，F(xiàn)1F2＝2c，∠F1BF2＝60°.由余弦定理，得(2c)2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×eq\f(1,2)＝28a2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝7，即e＝eq\r(7).故選B.4．D解析：由c2＝a2＋b2＝4，得c＝2，∴F(2,0)．將x＝2代入x2－eq\f(y2,3)＝1，得y＝±3.∴|PF|＝3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，故△APF的面積為eq\f(1,2)×3×(2－1)＝eq\f(3,2).故選D.5．A解析：由題設(shè)知，F(xiàn)1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3＝3yeq\o\al(2,0)－1<0.解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).故選A.6．A解析：由a＝2，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，∵|PO|＝|PF|，∴xP＝eq\f(\r(6),2)，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y＝eq\f(\r(2),2)x上，∴SΔPFO＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4)，故選A.7．D解析：由題意，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1.∵拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|＝4，由雙曲線漸近線的性質(zhì)可求得A(－1,2)，B(－1，－2)，將點(diǎn)A代入到雙曲線漸近線方程得eq\f(b,a)＝2，∴b2＝4a2.又∵在雙曲線中，c2＝a2＋b2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，即雙曲線的離心率e為eq\r(5).8．A解析：如圖D188，連接OA，OB，圖D188設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)，則C(－a,0)，F(xiàn)(－c,0)．由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則∠ACO＝∠BCO＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×120°＝60°.∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO為等邊三角形，∴∠AOC＝60°.∵FA與圓O切于點(diǎn)A，∴OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，∴|OF|＝2|OA|，即c＝2a，∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2a2－a2)＝eq\r(3)a.故雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.9．5＋2eq\r(3)解析：由eq\f(x2,3)－y2＝1，得a2＝3，b2＝1.∴c2＝a2＋b2＝4，則c＝2，則F2(2,0)，∵|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)，∴|PF1|＝2eq\r(3)＋|PF2|，則|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋2eq\r(3)，當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|＋|PF2|最小，等于|QF2|，∵Q(－2,3)，F(xiàn)2(2,0)，∴|QF2|＝eq\r(－2－22＋3－02)＝5，∴|PQ|＋|PF1|的最小值為5＋2eq\r(3).10．AC11．B解析：方法一(代數(shù)法)，雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，其右焦點(diǎn)F(c,0)，過(guò)F作漸近線y＝eq\f(b,a)x的垂線，垂足為A，則直線FA的斜率kFA＝－eq\f(a,b)，故直線FA的方程為y＝－eq\f(a,b)(x－c)，即ax＋by－ac＝0，①又y＝－eq\f(b,a)x可化為bx＋ay＝0.②由①②可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,a2－b2)，－\f(abc,a2－b2))).又∵|OF|＝|FB|，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,a2－b2)－c))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(abc,a2－b2)))2＝c2.平方整理得eq\f(b4c2,a2－b22)＋eq\f(a2b2c2,a2－b22)＝c2，即b4＋a2b2＝a4－2a2b2＋b4，∴a2＝3b2.又b2＝c2－a2，∴3c2＝4a2，故e＝eq\f(2\r(3),3).故選B.方法二(幾何法)，如圖D189，雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．圖D189直線OA所在方程為y＝eq\f(b,a)x，即ay－bx＝0，則點(diǎn)F到OA的距離|FA|＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，由雙曲線漸近線的性質(zhì)知∠AOF＝∠FOB，且tan∠AOF＝eq\f(b,a)，在Rt△AOB中，tan∠AOB＝tan2∠AOF.∵|OA|＝a，|OF|＝c，|OF|＝|FB|，故|AB|＝b＋c.在Rt△AOB中，tan∠AOB＝eq\f(b＋c,a)＝eq\f(2tan∠AOF,1－tan2∠AOF)＝eq\f(\f(2b,a),1－\f(b2,a2)).∴2a2b＝(b＋c)(a2－b2)，即2(c2－b2)b＝(b＋c)(a2－b2)．整理得2b＝c，即4c2－4a2＝c2，則3c2＝4a2，故e＝eq\f(2\r(3),3).故選B.12．5解析：∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，解得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，由(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up