橢圓及其標準方程

2.2橢圓2.2.1橢圓及其標準方程22021/6/2732021/6/2742021/6/2752021/6/27通過圖片我們看到，在我們所生活的世界中，隨處可見橢圓這種圖形，而且我們也已經(jīng)知道了橢圓的大致形狀，那么我們能否動手畫一個標準的橢圓呢？62021/6/271.了解橢圓的實際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．（重點）2．掌握橢圓的定義，會求橢圓的標準方程.（重點、難點）72021/6/27

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92021/6/27102021/6/27探究點1橢圓的定義根據(jù)剛才的實驗請同學們回答下面幾個題：1.在畫橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？

思考：

結(jié)合實驗，請同學們思考：橢圓是怎樣定義的？112021/6/27討論：若把繩長記為2a，兩定點間的距離記為2c(c≠0).（1）當2a>2c時，軌跡是

；（2）當2a=2c時，軌跡是

；（3）當2a<2c時，

；橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于定長的點的軌跡叫做橢圓，其中兩定點叫橢圓的焦點，定點間的距離叫橢圓的焦距。(定長大于兩定點間的距離)21,FF橢圓以F1,F2為端點的直線段不存在|MF1|+|MF2|＞|F1F2||MF1|+|MF2|=|F1F2||MF1|+|MF2|＜|F1F2|122021/6/27132021/6/27探究點2橢圓的標準方程思考：求曲線的方程的基本步驟是什么呢？（1）建系設(shè)點;（2）寫出點集；（3）列出方程；（4）化簡方程；（5）檢驗.回顧圓的畫法根據(jù)橢圓的定義如何求橢圓的方程呢？

142021/6/27第一步：如何建立適當?shù)淖鴺讼的兀?/p>

想一想：圓的最簡單的標準方程，是以圓的兩條相互垂直的對稱軸為坐標軸，橢圓是否可以采用類似的方法呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM152021/6/27設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的兩個焦點分別為F1和F2，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1和F2

的距離的和等于2a(2a>2c>0).請同學們自己完成剩下的步驟，求出橢圓的方程.162021/6/27解：以焦點F1,F2的所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy(如圖).設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1，F(xiàn)2的坐標分別是(

c,0)、(c,0).xF1F2MOy172021/6/27由橢圓的定義得因為移項，再平方182021/6/27整理得兩邊再平方，得192021/6/27202021/6/27它表示焦點在y軸上的橢圓.它表示焦點在x軸上的橢圓.1oFyx2FM12yoFFMx212021/6/27橢圓的標準方程有哪些特征呢？【提升總結(jié)】222021/6/27

圖形方程焦點坐標、位置F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM兩類標準方程的對照表：注:哪個分母大，焦點就在相應的哪條坐標軸上！232021/6/27判定下列橢圓的焦點在哪個軸上，

并指明a2、b2，并寫出焦點坐標答：在x

軸。（-3，0）和（3，0）答：在y

軸。（0，-5）和（0，5）分析：橢圓標準方程的焦點在分母大的那個軸上。練一練：242021/6/27

隨堂練習例1.橢圓的焦點坐標是（）A.(±5,0)B(0,±5)C(0,±12)D(±12,0)例2.橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（）

A.5B.6C.4D.10AC252021/6/27作業(yè)課本p64練習11、3262021/6/27例1

已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點.求它的標準方程.解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標準方程為由橢圓的定義知272021/6/27又因為,所以因此,所求橢圓的標準方程為所以能用其他方法求它的方程嗎？282021/6/27另解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標準方程為:①②聯(lián)立①②,因此,所求橢圓的標準方程為:又∵焦點的坐標為292021/6/27【變式練習】已知橢圓經(jīng)過兩點和，求橢圓的標準方程.解：設(shè)橢圓的標準方程為則有

解得

所以，所求橢圓的標準方程為

.302021/6/27xyODMP例2

如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？解：設(shè)點M的坐標為（x,y）,點P的坐標為（x0,y0）,則因為點P（x0,y0）在圓．．312021/6/27①把點ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以點M的軌跡是一個橢圓.從例2你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？322021/6/27例3

如圖，設(shè)點A，B的坐標分別是(-5，0)和(5，0),直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是,求點M的軌跡方程.yAxMBO解：設(shè)點M的坐標（x,y）,因為點A的坐標是（-5,0）,所以,直線AM的斜率為332021/6/27同理，直線BM的斜率由已知有化簡，得點M的軌跡方程為342021/6/271.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，則三角形MNF2的周長為（）A.10B.20C.30D.40ByoF1F2MxN352021/6/27D362021/6/272.橢圓的長軸是短軸的3倍，且過點A（3，0），則橢圓的標準方程是_________.答案：372021/6/273.已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點的距離和為3m，求這個橢圓的標準方程.382021/6/27解：以兩個焦點F1，F(xiàn)2所在的直線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則這個橢圓的標準方程為根據(jù)題意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此橢圓的