橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.2橢圓2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程22021/6/2732021/6/2742021/6/2752021/6/27通過(guò)圖片我們看到，在我們所生活的世界中，隨處可見橢圓這種圖形，而且我們也已經(jīng)知道了橢圓的大致形狀，那么我們能否動(dòng)手畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓呢？62021/6/271.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．（重點(diǎn)）2．掌握橢圓的定義，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）72021/6/27

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92021/6/27102021/6/27探究點(diǎn)1橢圓的定義根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)請(qǐng)同學(xué)們回答下面幾個(gè)題：1.在畫橢圓的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？2.在畫橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？3.在畫橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？

思考：

結(jié)合實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們思考：橢圓是怎樣定義的？112021/6/27討論：若把繩長(zhǎng)記為2a，兩定點(diǎn)間的距離記為2c(c≠0).（1）當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡是

；（2）當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是

；（3）當(dāng)2a<2c時(shí)，

；橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，其中兩定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距。(定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間的距離)21,FF橢圓以F1,F2為端點(diǎn)的直線段不存在|MF1|+|MF2|＞|F1F2||MF1|+|MF2|=|F1F2||MF1|+|MF2|＜|F1F2|122021/6/27132021/6/27探究點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考：求曲線的方程的基本步驟是什么呢？（1）建系設(shè)點(diǎn);（2）寫出點(diǎn)集；（3）列出方程；（4）化簡(jiǎn)方程；（5）檢驗(yàn).回顧圓的畫法根據(jù)橢圓的定義如何求橢圓的方程呢？

142021/6/27第一步：如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系呢？

想一想：圓的最簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)方程，是以圓的兩條相互垂直的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓是否可以采用類似的方法呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM152021/6/27設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1和F2

的距離的和等于2a(2a>2c>0).請(qǐng)同學(xué)們自己完成剩下的步驟，求出橢圓的方程.162021/6/27解：以焦點(diǎn)F1,F2的所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖).設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(

c,0)、(c,0).xF1F2MOy172021/6/27由橢圓的定義得因?yàn)橐祈?xiàng)，再平方182021/6/27整理得兩邊再平方，得192021/6/27202021/6/27它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.1oFyx2FM12yoFFMx212021/6/27橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特征呢？【提升總結(jié)】222021/6/27

圖形方程焦點(diǎn)坐標(biāo)、位置F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)照表：注:哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！232021/6/27判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，

并指明a2、b2，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在x

軸。（-3，0）和（3，0）答：在y

軸。（0，-5）和（0，5）分析：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。練一練：242021/6/27

隨堂練習(xí)例1.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(±5,0)B(0,±5)C(0,±12)D(±12,0)例2.橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

A.5B.6C.4D.10AC252021/6/27作業(yè)課本p64練習(xí)11、3262021/6/27例1

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知272021/6/27又因?yàn)?所以因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以能用其他方法求它的方程嗎？282021/6/27另解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:①②聯(lián)立①②,因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:又∵焦點(diǎn)的坐標(biāo)為292021/6/27【變式練習(xí)】已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則有

解得

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.302021/6/27xyODMP例2

如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0）,則因?yàn)辄c(diǎn)P（x0,y0）在圓．．312021/6/27①把點(diǎn)ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.從例2你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？322021/6/27例3

如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-5，0)和(5，0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程.yAxMBO解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5,0）,所以,直線AM的斜率為332021/6/27同理，直線BM的斜率由已知有化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為342021/6/271.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則三角形MNF2的周長(zhǎng)為（）A.10B.20C.30D.40ByoF1F2MxN352021/6/27D362021/6/272.橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的3倍，且過(guò)點(diǎn)A（3，0），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.答案：372021/6/273.已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為3m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.382021/6/27解：以兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所在的直線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為根據(jù)題意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此橢圓的