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定理4.2(羅爾定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)使得

羅爾定理及其應(yīng)用證如果函數(shù)f(x)滿足:必有最大值M和最小值m.由費(fèi)馬引理

推論4.2可微函數(shù)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少(1)若有的一個(gè)零點(diǎn)．例4.5

證明是方程的唯一實(shí)根.證令矛盾.由羅爾定理,原命題得證.使得例4.6若在上有三階導(dǎo)數(shù),且證由羅爾定理,使得則在內(nèi)至少有一點(diǎn),使得而故使得故使得原命題得證.練習(xí)

設(shè)常數(shù)滿足:試證方程分析：注意到在(0,1)內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根.證設(shè)且

由羅爾定理即在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：

1.常數(shù)k法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k，通過(guò)恒等變形將含有k的式子寫(xiě)成的形式，

然后用羅爾定理則就是需要的輔助函數(shù),進(jìn)行證明.例4.7設(shè)分析證令整理得羅爾定理,使得故即例4.8設(shè)分析證令整理得羅爾定理,使得故即2.因子法如果待證等式為

如果作輔助函數(shù)且只要因此,另一因子可通過(guò)確定.(f(x)是一個(gè)因子)則例4.9設(shè)分析:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證使得證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,證設(shè)輔助函數(shù)在[0,1]上用羅爾定理,使得即于是即例4.10設(shè)分析:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證使得證明：證設(shè)輔助函數(shù)在[a,b]上用羅爾定理,使得即于是即練習(xí)

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