高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：極值與凹凸性

極值與凹凸性4.4.1函數(shù)的極值定義4.1

的一個(gè)極大值(或極小值),

如果在x0的

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)設(shè)在x0

附近有定義,某個(gè)空心鄰域內(nèi),恒有注意:

極值的概念是一個(gè)局部性的概念,它僅涉取得極值的點(diǎn)x0稱(chēng)為極值點(diǎn).及函數(shù)在一點(diǎn)附近的性質(zhì).定理4.4

(極值的必要條件)注意:可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn).例如,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).則必有設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),且在處取得極值,

另外:連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是極值點(diǎn).例如,設(shè)函數(shù)在x0

處連續(xù),定理4.5(極值的第一充分條件)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果時(shí),且

時(shí),則在處取得極大值;(2)如果時(shí),且時(shí),則在處取得極小值;(3)如果在的左、右兩側(cè)同號(hào),則在處無(wú)極值.是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形證(1)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi),有單調(diào)遞減,故由故在處取得極大值.由故有單調(diào)遞增,在該空心鄰域內(nèi),有求函數(shù)極值的基本步驟:(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,得到相應(yīng)的極值.和駐點(diǎn);是否變號(hào),確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn).

如果是極值點(diǎn),進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是(1)求出

的所有可能的極值點(diǎn),即不可導(dǎo)點(diǎn)(2)對(duì)(1)中求得的每個(gè)點(diǎn),根據(jù)在其左、右極小值點(diǎn);解例4.18求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.例4.19求函數(shù)的極值.解極大值極小值函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).導(dǎo)數(shù)不存在;不存在無(wú)極值不存在定理4.6(極值的第二充分條件)

注意:則設(shè)

在

處具有二階導(dǎo)數(shù),且(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.此時(shí)仍需用定理4.5.極大值極小值證(1)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi),有有

在處取得極大值.所以,由二階導(dǎo)數(shù)的定義,并注意到由極限的保號(hào)性,由定理4.5,例4.20求函數(shù)的極值.解函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).解得駐點(diǎn)4.4.2曲線的凹凸性及拐點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)增或減在幾何上就是曲線上升或下

左圖中的曲線弧是向下凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞增.

曲方向.

降(由左向右),除此之外,我們還需要了解曲線的彎上方;

總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧的右圖中的曲線弧是向上凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞減.

有時(shí)把向下凸的弧稱(chēng)為凹的,而把向上凸的弧下方;

總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧的稱(chēng)為凸的.曲線的這種性質(zhì)稱(chēng)作曲線的凹凸性.

如果單調(diào)遞增,

定義4.2設(shè)在區(qū)間I可導(dǎo),如果單調(diào)遞減,

在區(qū)間I是向上凸的,或稱(chēng)凸的.定理4.7

設(shè)且

有且

有現(xiàn)只說(shuō)明

(1).連接曲線上點(diǎn)

和的弦的中點(diǎn)為

對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為

弦在曲線的上方即為

解例4.21判斷曲線的凹凸性.解例4.22判斷曲線的凹凸性.定義4.3連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn).定理4.8(拐點(diǎn)的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在去心空心鄰域內(nèi)存在,(1)(2)定理4.9(拐點(diǎn)的第二充分條件)

曲線的拐點(diǎn).解例4.23求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

例4.24證明證令所以曲線在上是嚴(yán)格向下凸的.有即1.垂直漸近線

(垂直于x軸的漸近線)4.4.3函數(shù)圖形的描繪一條漸近線.移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí),如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條垂直漸近線:2.水平漸近線

(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線如果即且注意:解如果定義域?yàn)榫毩?xí)

求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的垂直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.因(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)、奇偶性和周期性.和拐點(diǎn).(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢(shì).

確定曲線的凹凸性(4)適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值,拐點(diǎn)的坐標(biāo),注意曲線是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:

(3)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,例