2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：圓（10題）

第1頁（共1頁）2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：圓（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點E．（1）寫出圖中一個與∠ACD相等的角；（2）試判斷△CDE的形狀，并說明理由；（3）若⊙O的半徑為23，∠ABC＝60°，求AC2．（2024?汝南縣一模）閱讀與思考九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應的任務．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：AP?BP＝CP?DP．證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（根據(jù)）∴APDP=∴AP?BP＝CP?DP，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務：（1）請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：；@：．（2）小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半徑．3．（2024?津南區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過C點的直線互相垂直，垂足為D，AC平分∠DAB．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若AD＝3，DC=3，求劣弧AC4．（2024?湖南三模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，AB＝10，CD＝6，點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連結(jié)AP交⊙O于點Q，連結(jié)CQ交AB于點F，則點F的位置隨著點P位置的改變而改變．（1）如圖1，當DP＝4時，求tan∠P的值；（2）如圖2，連結(jié)AC，DQ，在點P運動過程中，設DP＝x，S△QAC①求證：∠ACQ＝∠CPA；②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．5．（2024?蒸湘區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，對角線AC為直徑，過點D作DE⊥AC于點E，交BC于點F．（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度數(shù)；（2）連接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；（3）在（2）的條件下，①記△CEF，△CDE，△ADE分別為S1，S2，S3，若S22=S1?S3②若BD，AC交于點P，PECE=m，試用含m的式子表示6．（2024?東營）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，點C是BE的中點，AE⊥CD，垂足為點D，DC的延長線交AB的延長線于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD=3，∠ABC＝60°，求線段AF7．（2024?新豐縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E．（1）求證：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧AD的長．8．（2024?孝南區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點E，且交BC于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CF＝3，CE＝33，求圖中陰影部分的面積．9．（2024?港南區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，D為OB上一點，延長CD交⊙O于點E，延長OB至F，使DF＝FE，連接EF．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．10．（2024?茅箭區(qū)校級模擬）如圖1，A，B，C為半徑為1的⊙O上的點，∠AOB＝2∠BOC＝2α，AC交直徑BD于點E，過點B的切線交AC的延長線于點F．（1）求證：∠ACB＝2∠BAC；（2）若OC∥AB，如圖2，①求α；②求△ABF的面積．

2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：圓（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點E．（1）寫出圖中一個與∠ACD相等的角∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）試判斷△CDE的形狀，并說明理由；（3）若⊙O的半徑為23，∠ABC＝60°，求AC【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）△DEC是等腰三角形，理由見解析；（3）6．【分析】（1）根據(jù)題意得，則∠ACD＝∠ABD＝∠CBD＝∠DAC；（2）根據(jù)題意得，則∠ABD＝∠CBD，由角平分線的∠ACE＝∠BCE，結(jié)合∠DEC＝∠CBD+∠BCE和∠DCE＝∠ACD+∠ACE，則∠DEC＝∠DCE，故DE＝DC；（3）連接OD，交AC于點F，連接OA．由題意得∠ABD＝30°，∠OFA＝90°，則∠AOD＝60°，在Rt△OFA中AF＝OA?sin60°，結(jié)合AC＝2AF即可．【解答】解：（1）∵D是弧AC的中點，∴AD?∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD＝∠DAC，故答案為：∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）△DEC是等腰三角形，理由如下：∵點D是AC?∴AD?∴∠ABD＝∠CBD，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，在△DEC中，∠DEC＝∠CBD+∠BCE，∵∠DCE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形．（3）連接OD，交AC于點F，連接OA．如圖，∵∠ABC＝60°，D是弧AC的中點，∴∠ABD＝30°，∠OFA＝90°，∵AD＝AD，∴∠AOD＝60°，在Rt△OFA中，OA=23∴AF＝OA?sin60°＝23×3又OF⊥AC，∴AC＝2AF＝2×3＝6．【點評】本題主要考查圓的知識，涉及同弧所對圓周角相等、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的相關(guān)知識．2．（2024?汝南縣一模）閱讀與思考九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應的任務．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：AP?BP＝CP?DP．證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（根據(jù)）∴APDP=∴AP?BP＝CP?DP，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務：（1）請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；@：CPBP（2）小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半徑．【考點】相交弦定理；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】（1）有兩個角對應相等的兩個三角形相似；CPBP（2）7cm．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長OP交圓O于點D，延長PO交圓O于點F，設圓O的半徑為rcm，則PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可．【解答】解：（1）連接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（有兩個角對應相等的兩個三角形相似）∴APDP∴AP?BP＝CP?DP，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．故答案為：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；CPBP（2）延長OP交圓O于點D，延長PO交圓O于點F，設圓O的半徑為rcm，則PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根據(jù)（1）中結(jié)論得AP?BP=DP?FP，即為4×（10﹣4）＝（r+5）（解得：r＝7或r＝﹣7（不符合題意，舍去），⊙O的半徑為7cm．【點評】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交弦定理是解題關(guān)鍵．3．（2024?津南區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過C點的直線互相垂直，垂足為D，AC平分∠DAB．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若AD＝3，DC=3，求劣弧AC【考點】切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；圓周角定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）43π【分析】（1）連接OC，求出AD∥OC，求出OC⊥DC，再根據(jù)切線的判定求出即可；（2）求出∠DAC＝30°，求出∠AOC，求出BC和AB，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．【解答】（1）證明：連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC過O，∴DC為⊙O的切線；（2）解：∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝3，DC=3∴tan∠DAC=DC∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACO＝∠DAC＝30°，AC＝2DC＝23，∴∠AOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵AC＝23，∴（2BC）2＝（23）2+BC2，解得：BC＝2，AB＝4，即AO＝2，∴劣弧AC的長是120π×2180=【點評】本題考查了圓周角定理，切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，弧長公式等知識點，能熟記切線的判定和弧長公式是解此題的關(guān)鍵．4．（2024?湖南三模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，AB＝10，CD＝6，點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連結(jié)AP交⊙O于點Q，連結(jié)CQ交AB于點F，則點F的位置隨著點P位置的改變而改變．（1）如圖1，當DP＝4時，求tan∠P的值；（2）如圖2，連結(jié)AC，DQ，在點P運動過程中，設DP＝x，S△QAC①求證：∠ACQ＝∠CPA；②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【考點】圓的綜合題．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）97；（2）①證明見解析；②y=【分析】（1）連接OD，利用垂徑定理和勾股定理求得OE的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求得結(jié)論；（2）①連接BQ，利用圓周角定理，垂直的意義，通過等量代換即可得出結(jié)論；②通過證明△PDQ∽△CAQ，利用相似三角形的性質(zhì)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得到S△QAC=90【解答】（1）解：連接OD，如圖，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，∴DE＝EC=12CD＝∵AB＝10，∴OA＝OB＝OD＝5，∴OE=OD∴AE＝OA+OE＝9，∵DP＝4，∴PE＝DP+DE＝7．∵PE⊥AE，∴tan∠P=AE（2）①證明：連接BQ，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AQB＝90°，∴∠QAB+∠B＝90°，∵PE⊥AE，∴∠QAB+∠P＝90°，∴∠P＝∠B，∵∠B＝∠ACQ，∴∠ACQ＝∠CPA．②解：∵CE⊥AB，∴AC＝3AE∵四邊形AQDC為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠PDQ＝∠QAC，∵∠ACQ＝∠CPA，∴△PDQ∽△CAQ，∴S△PDQ∴S△QAC∵△PDQ與△DCQ是等高的三角形，∴S△DCQ∴S△DCQ∵S△QAC∴y=S∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15【點評】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理及其推論，勾股定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024?蒸湘區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，對角線AC為直徑，過點D作DE⊥AC于點E，交BC于點F．（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度數(shù)；（2）連接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；（3）在（2）的條件下，①記△CEF，△CDE，△ADE分別為S1，S2，S3，若S22=S1?S3②若BD，AC交于點P，PECE=m，試用含m的式子表示【考點】圓的綜合題．【專題】作圖題；運算能力．【答案】（1）33°；（2）33（3）①30°；②3m+1【分析】（1）先證明∠CAD＝∠CDE，然后根據(jù)圓周角定理即可求解；（2）證明△CDF∽△CBD，得出CDCB=CFCD=DFBD，根據(jù)CF：BF＝1：2可設CF＝a，BF＝2a，則（3）①由S22=S1?S3可得CEAE=EFDE，則可證△CEF∽△AED，得出∠ECF＝∠EAD，則AD∥BC，然后證明四邊形ABCD是矩形，得出AB=CD=②過點P作PQ∥DF交BC于點Q，則QFCF=PECE=m，△CEF∽△CPQ，△BPQ∽△BDFDE=3m2(m+1)DF，由平行線分線段成比例得出DP=m2DB，在Rt△PDE中，【解答】解：（1）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠CAD＝∠CDE，∵CD?∴∠CAD＝∠CBD，∴∠CDF＝∠CBD＝33°；（2）由（1）得：∠CDF＝∠CBD，∵∠DCF＝∠BCD，∴△CDF∽△CBD，∴CDCB∵CF：BF＝1：2，設CF＝a，BF＝2a，則BC＝3a，∴CD=3∴DFBD（3）①∵S22=S1?∴S2S3∵∠CEF＝∠AED，∴△CEF∽△AED，∴∠ECF＝∠EAD，∴AD∥BC，∴∠BCD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3在Rt△ABC中，tan∠∴∠ACB＝30°；②過點P作PQ∥DF交BC于點Q，∴QFCF∴PQDF=BQEFPQ=CE∴DE=DF-∵PQ∥DF，∴DPDB=FQ在Rt△PDE中，cos∠由（2）得：DFBD∴cos∠【點評】本題考查了圓周角定理以及推論，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，明確題意，添加合適的輔助線，構(gòu)造相似三角形求解是解題的關(guān)鍵．6．（2024?東營）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，點C是BE的中點，AE⊥CD，垂足為點D，DC的延長線交AB的延長線于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD=3，∠ABC＝60°，求線段AF【考點】切線的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）6．【分析】（1）連接OC，由點C是BE的中點，得到BC=CE，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝∠CAE，求得∠OCA＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BAC＝30°，得到AD=3CD=【解答】（1）證明：連接OC，∵點C是BE的中點，∴BC=∴∠BAC＝∠CAE，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∵AE⊥CD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠D＝90°，CD=3∴AD=3CD=∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，∴AF＝2AD＝6．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024?新豐縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E．（1）求證：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧AD的長．【考點】弧長的計算；等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）如圖，連接AE，利用圓周角定理推知AE是等腰△ABC的垂線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）如圖，連接OD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可以求得圓心角∠AOD的度數(shù)，然后利用弧長公式進行解答．【解答】（1）證明：如圖，連接AE．∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是邊BC上的中線，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴AD的長為：72×π×3180【點評】本題考查了圓周角定理、弧長的計算以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．通過作輔助線，利用圓周角定理（或圓半徑相等）的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)是解題的難點．8．（2024?孝南區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點E，且交BC于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CF＝3，CE＝33，求圖中陰影部分的面積．【考點】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明過程見解析；（2）183-6π【分析】（1）連接OE，證明∠OEA＝90°即可；（2）由勾股定理求出半徑，根據(jù)三角形的面積公式、扇形面積公式計算即可．【解答】（1）證明：連接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C，∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：連接OF，作OM⊥BC于M，設⊙O的半徑為R，則∠OMC＝∠ACB＝∠OEC＝90°，BM＝FM，∴四邊形OMCE是矩形，∴CM＝OE＝R，OM＝CE＝33，∵OM2+FM2＝OF2，∴(33解得R＝6，∴BM＝FM＝CM﹣CF＝3，∴OB＝OF＝BF＝6，∴△OBF是等邊三角形，∴∠OBF＝60°，∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠OBF＝60°，∴∠A＝90°﹣∠AOE＝30°，∴OA＝2OE＝12，∴AE=OA2∴S陰影＝S△AOE﹣S扇形ODE=12×6×63-【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)，扇形面積計算，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．9．（2024?港南區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，D為OB上一點，延長CD交⊙O于點E，延長OB至F，使DF＝FE，連接EF．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．【考點】切線的判定與性質(zhì)；垂徑定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OE，根據(jù)等邊對等角結(jié)合對等角相等即可推出結(jié)論；（2）設⊙O的半徑EO＝BO＝r，則BD＝BF＝r﹣1，F(xiàn)E＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．【解答】解：（1）證明：如圖，連接OE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE，∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠FED+∠OEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE，∵OE是半徑，∴EF為⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑EO＝BO＝r，則BD＝BF＝r﹣1，∴FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得，F(xiàn)E2+OE2＝OF2，∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，解得r＝3，或r＝1（舍去），∴⊙O的半徑為3．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．（2024?茅箭區(qū)校級模擬）如圖1，A，B，C為半徑為1的⊙O上的點，∠AOB＝2∠BOC＝2α，AC交直徑BD于點E，過點B的切線交AC的延長線于點F．（1）求證：∠ACB＝2∠BAC；（2）若OC∥AB，如圖2，①求α；②求△ABF的面積．【考點】圓的綜合題．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析過程；（2）①α＝45°；②22【分析】（1）由圓周角定理可得∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，即可求解；（2）①由平行線的性質(zhì)可得∠ABO＝∠BOC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB＝∠OBA，由三角形內(nèi)角和定理可求解；②先證明△ABE∽△COE，△AOE∽△FBE，利用相似三角形的性質(zhì)可求BF的長，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC；（2）解：①∵OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝2∠BOC＝2α，∴∠AOB＝2∠ABO＝2∠OAB，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴4α＝180°，∴α＝45°；②如圖2，連接OF，∵α＝45°，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2OB=∵OC∥AB，∴△ABE∽△COE，∴OCAB∵BF是⊙O的切線，∴∠OBF＝90°，∴∠AOB＝∠OBF＝90°，∴AO∥BF，∴△AOE∽△FBE，∴AOBF∴BF=2∴S△OBF=12×OB?∵AO∥BF，∴S△ABF＝S△OBF=2【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用相似三角形的性質(zhì)求出BF的長是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．4．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．5．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等