江蘇高考物理必修二第六章萬有引力與航天

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第六章萬有引力與航天

第1節(jié)行星的運動

----------要點歸納-----------

要點一開普勒行星運動定律適用于各種天體系統(tǒng)

1.來源：開普勒行星運動定律是在研究行星繞太陽轉(zhuǎn)動，在前人大量地準確觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利

用高超的數(shù)學(xué)技巧總結(jié)出的定律.

2.適用對象

雖然定律來自于行星的規(guī)律探究，但實踐證明該定律同樣適用于其他天體系統(tǒng)，如地一月系統(tǒng)，地一

衛(wèi)系統(tǒng)等.

要點二對開普勒行星運動定律的理解

1.由開普勒第一定律可知，不同行星繞太陽運行時的軌道是不同的，它們的半長軸也各不相同.

2.由開普勒第二定律可知：行星從近日點向遠日點運動時，其速率減小，由遠日點向近日點運動時

其速率增大.

3.由開普勒第三定律可知：太陽系中任何兩個行星均滿足：,琮=匕k值的大小與行星無關(guān)，而

僅與太陽有關(guān).本定律也適用于圓形軌道，只要把半徑看成半長軸，即可知道公轉(zhuǎn)周期與半徑的關(guān)系室=

11

k.在應(yīng)用開普勒第三定律解題時，要注意不同的天體系統(tǒng)中k值不同.k值的大小只與被環(huán)繞的中心天體

有關(guān)，也就是說中心天體不同的系統(tǒng)，k值是不同的，在中心天體相同的系統(tǒng)里k值是相同的.

4.開普勒三定律是根據(jù)行星運動的觀察結(jié)果而總結(jié)歸納出來的規(guī)律，其每一條都是經(jīng)

驗定律.

----------典例剖析-----------

一、開普勒三定律的理解

【例1】關(guān)于行星繞太陽運動的下列說法中正確的是（）

A.所有行星都在同一橢圓軌道上繞太陽運動

B.行星繞太陽運動時太陽位于行星軌道的中心處

C.離太陽越近的行星的運動周期越長

D.所有行星的軌道半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等

解析鯨:犯半悔胞小，公專周期T越小，畸吳，D正確.

答案D

二,開普勒第二定律的應(yīng)用

【例2】我國發(fā)射的第一顆人造衛(wèi)星，其近地點高度是K“39knx遠地點高度為=2384knx求在

近地點與遠地點的衛(wèi)星運動速率之比MM（已知R=6400kin用氏、①、R袤示，不計算具

體結(jié)果）.

解析根據(jù)開普勒第二定律：地球和衛(wèi)星的連線在相等時間內(nèi)掃過相同的面積.

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衛(wèi)星近地點和遠地點在△吶朋的面積分別:用即，曲扎貝U

2RT°I=2RA

即;Ry[At=2At

又V=R1Ox,V2=R2°2

故vRi=v2R2

所以、

v2R|RJ%

較案2

口R/h1

方法總結(jié)_____________________________________________________________________________________

1.開普勒第二定律不僅適用于以太陽為中心天體的運動，而且也適用于以地球或其他星體為中心天

體的運動.

2.由開普勒第二定律可知；行星從近日點向遠日點運動，其速率減小，而由遠日點向近日點運動，

其速率增大.

3.在很短一段時間內(nèi)，可以認為行星在近日點和遠F1點都做圓周運動，根據(jù)弧長公式1=R。和扇形

面枳公式S=1lR知，S=；RM).

三,開普勒第三定律的應(yīng)用

[例3】已知海王星繞太陽運轉(zhuǎn)的平均軌道半徑為4.50X1012m,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的平均軌道半徑為

L49X10nm,試估算海王星繞太陽運轉(zhuǎn)的周期.

解析設(shè)海王星繞太陽運轉(zhuǎn)的平均軌道半徑為R,周期為L,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R,,周

期為T、，由開普勒第三定聿有辛穌

故丁產(chǎn)狀七相福7年少年.

答案166年

方法總結(jié)

解該類問題需注意以下兩點：(以對于行星或衛(wèi)星，只要是圍繞同一中心天體運行的天

體，*=卜都成立.

(2)注意找出天體運行中的隱含條件，如地球公轉(zhuǎn)周期為1年，自轉(zhuǎn)周期為1

天，月球公轉(zhuǎn)周期為1個月.

-----------效果自測------------

1.關(guān)于行星運動，下列說法正確的是()

A.地球是宇宙的中心，太陽、月亮及其他行星都繞地球運動

B.太陽是宇宙的中心，地球是圍繞太陽的一顆行星

C.宇宙每時每刻都是運動的，靜止是相對的

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D,不論是日心說還是地心說，在研究行星運動時都是有局限的

答案CD

解析宇宙是一個無限的空間，太陽系只是其中很小的一個星系，日心說的核心是認為太陽是行星運

動的中心，故選C、D正確

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2.發(fā)現(xiàn)行星運動規(guī)律的天文學(xué)家是（）

A.第谷B.哥白尼C.牛頓D,開普勒

答案D

3.關(guān)于開普勒行星運動的公：蝶下列理解正確的是（）

A.k是一個與行星無關(guān)的量

B.若地球繞太陽運轉(zhuǎn)軌道的半長軸為8周期為T；月球匏蝴運轉(zhuǎn)軌道的半長軸為3,周期為

L奧髡嗡

C.T表示行星運動的自轉(zhuǎn)周期

D.T表示行星運動的公轉(zhuǎn)周期

答案AD

解析臚喝噩獻糊行星或者指I穌一行星的理半糖嶼例的的關(guān)系，提綠嬲

k是一個與環(huán)繞星體無關(guān)的量，只與被環(huán)繞的中心天體有關(guān)，中心天體不同，其值不同，只有圍繞同一天

體運動的行星或衛(wèi)星，它們半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方之比才是同一常數(shù).改繪z力

琦嗚

4.哈雷彗星繞太陽運動的軌道是比較扁的橢圓，下列說法中不正確的是（）

A.彗星在近日點的速率大于在遠日點的速率

B.彗星在近日點的角速度大于在遠日點的角速度

C.彗星在近日點的向心加速度大于在遠日點的向心加速度

D.若彗星周期為75年，則它的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的75倍

答案D

解析根據(jù)開普勒第二定律，為使相等時間內(nèi)掃過的面積相等，則應(yīng)保證在近日點與遠日點相比在相

同時間內(nèi)走過的弧長要大.因此在近日點慧星的線速度（即速率八角速度都較大，故A、B正確.而向心

加速度顯自磐，在近日點，v大、R小，因此a大，故C正確.根據(jù)開普勒第三定律蘭=k貝聯(lián)二”二75,

陵T:&T;.

即a=《5625a,,D錯誤.

5.已知兩個行星的質(zhì)量nv如x公轉(zhuǎn)周期1＞北，則它們繞太陽運轉(zhuǎn)儂的半長軸之比為（）

答案c

解析由開普勒第三定霞二k,,分析得C項正確.

6.兩個質(zhì)量分別是m,、m,的人造地球衛(wèi)星，分別繞地球做勻速圓周運動，若它們的軌道半徑分別是

R,和R,則它們的運行周期之比是多少？

答案（0

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解析所有人造衛(wèi)星在繞地球運轉(zhuǎn)時，都遵守開普勒第三定律.因此，對這兩個衛(wèi)星有:^二^，所以

1.

它們的運行周期之I吟二噴小

7.假設(shè)行星繞太陽運動的軌道是圓形,火星與太陽的距寓比地球與太陽的距離大53$,試確定火星

上一年是多少地球年？

答案1.9

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解析設(shè)地球距太陽距離為R

則火星距太陽為R火=^.53R=1.53R

由開普勒第三喈』彳喈嘏代入已知量得『火」⑼地

講練學(xué)案部分

----------探究歸納----------

題型①關(guān)于開普勒定律的理解

博砌【①月球沿近似于圓的橢圓軌道繞地球運動，其公轉(zhuǎn)周期是27天，關(guān)于月球的下列說法正確的

是（）

A.繞地球運動的角速度不變

B.近地點處線速度大于遠地點處的線速度

C.近地點處加速度大于遠地點處加速度

D.其橢圓軌道半長軸的立方與公轉(zhuǎn)周期的平方之比是一個與月球質(zhì)量有關(guān)的常數(shù)

答案BC

解析由開普勒第二定律知，A錯誤，B正確；加速度由萬有引力提供，根據(jù)啜二ma知，C正確;

由開普勒第三定律知，要口隈；,而k與月球的質(zhì)量無關(guān)，故D錯誤.

Tf>.

【拓展探究】關(guān)于太陽系中各行星的運動，下列說法正確的是（）

A.所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓

B.所有行星繞太陽運行的軌道都是圓

C.不同行星繞太陽運行的軌道不同

D.不同行星繞太陽運動一周的時間不同

答案ACD

題型②開普勒第二定律的應(yīng)用

例2?如圖1所示，某行星沿橢圓軌道運行，遠R點距太陽距離為a,近日點距太陽距離為b,過

遠日點時行星的速率為v,則過近日點時速率v,為（）

蒯諾行星從軌道的A點經(jīng)足夠短的時前移動到A點，與太陽的連線掃過的面積可表示為S

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官智；若行星從軌道的B點也經(jīng)時間I而到B'點，與太陽的連線掃過的面積可表示為,二守，由開

普艘二定律蹲守二守,即衰嘴,,C正確故選C

【拓展探究】某行星繞太陽運行的橢圓車墟如圖2所示，F(xiàn),和卜、2是橢圓軌道的兩個焦點，行星在A點

的速率比在B點的大

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，則太陽是位于（）

A.F2B.AC.ED.B

方法總結(jié)

解題的關(guān)鍵就是利用行星和太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等.

題型③開普勒第三定律的應(yīng)用

典例3?如圖3所示，2006年8月24日晚，國際天文學(xué)聯(lián)合會大會投票，通過了新的行星定義，冥

王星被排除在行星行列之外，太陽系行星數(shù)量將由九顆減為八顆.若將八大行星繞太陽運行的軌跡粗略地

認為是圓，各星球半徑和軌道半徑如下表所示

行星名稱水星金星地球火星木星土星天王星海王星

星球半徑

2.446.056.373.3969.858.223.722.4

（X106m）

軌道半徑

0.5791.081.502.287.7814.328.745.0

（XIOim）

從表中所列數(shù)據(jù)可以估算出海王星的公轉(zhuǎn)周期最接近（）

A.80年B.120年C.165年D.200年

答案C

解析設(shè)海王星繞太陽運行的平均軌道半徑為R,周期為T,,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為凡，周

期為T2g年），由開普勒第三定律博喂，鬻產(chǎn)噩鬲油64后：

【拓展探究】上表中，哪一顆行星的周期最小？最小周期是多少？

答案水星0.24年

解析由數(shù)據(jù)表中數(shù)據(jù)知水星的軌道半徑最小，設(shè)為R2=0.579X101ni.利用地球繞太陽的公轉(zhuǎn)的已知

口由詈乎得丁產(chǎn)0.24年.

里，”【彳

方法總結(jié)

1.開普勒行星運動定律不僅適用于以太陽為中心天體的星系，而且也適用于以其他星球為中心天體

的至系，但不同的星系k值不同，

2.由于行星的橢圓軌道都跟圓近似，在近似計算中，可以認為行星都以太陽為圓心做勻速圓周運動.在

這種情況下，若用R代表軌道半徑，T代表公轉(zhuǎn)周期，開普勒第三定律可以

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用下面的公式表示：詈k.

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------------課時作業(yè)--------------

1.16世紀，哥白尼根據(jù)天文觀測的大量資料，經(jīng)過40多位的天文觀測和潛心研究，提出“日心說”

的如下四個基本論點，這四個論點就目前看存在缺陷的是（）

A.宇宙的中心是太陽，所有行星都在繞太陽做勻速圓周運動

B.地球是繞太陽做勻速圓周運動的行星，月球是繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，它繞地球運轉(zhuǎn)的同

時還跟地球一起繞太陽運動

C.天穹不轉(zhuǎn)動，因為地球每天自西向東自轉(zhuǎn)一周，造成天體每天東升西落的現(xiàn)象

D.。日地距離相比，或他恒星離地球都十分遙遠，比日地間的距離大得多

答案ABC

解析天文學(xué)家開普勒在認真整理了第谷的觀測資料后，在哥白尼學(xué)說的基礎(chǔ)上，拋棄了圓軌道的說

法，提出了以大量觀測資料為依據(jù)的三大定律，揭示了天體運動的真相.它們中的每一條都是以觀測事實

為依據(jù)的定律，所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上；行星在橢圓軌

道上運動的周期球勘道半觸齪器二恒量,故所有行星實際并不是在做勻速圓周運動,整個宇宙是

在不停地運動的.

2.設(shè)行星繞恒星的運行軌道是圓，則其運行軌道半徑R的三次方與其運行周期T的平方之比為常數(shù)，

即與=k,那么k的大小（）

A.只與行星的質(zhì)量有關(guān)

B.只與恒星的質(zhì)量有關(guān)

C.與恒星和行星的質(zhì)量都有關(guān)

D.與恒星的質(zhì)量及行星的速率有美

答案B

3.關(guān)于天體的運動，下列說法中正確的是（）

A.天體的運動和地面上物體的運動遵循不同的規(guī)律

B.天體的運動是最完美、最和諧的勻速圓周運動

C.太陽從東邊升起，西邊落下，所以太陽繞地球運動

D.太陽系中所有的行星都繞太陽運動

答案D

解析天體的運動與地面上物體的運動都遵循相同的物理規(guī)律，都遵守牛頓運動定律等，A錯誤，天

體的運動軌道都是橢圓而非圓，只是橢圓比較接近圓，有時將橢圓當作圓處理，但橢圓畢竟不是圓，B錯

誤.太陽從東邊升起，又從西邊落下，是地球自轉(zhuǎn)的結(jié)果，C錯誤.

4.某一人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為月球繞地球軌道半徑的1/3,則此衛(wèi)星運行的

周期大約是（）

A.1?4天之間B.4?8天之間

C.8?16天之間D.I6?20天之間

答案B

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解析根據(jù)開普勒第三定律可得T，又因為天所以二天

*馬即T27TuJ27

心5.2天，故B選項正確.

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如圖4所示是行星m繞恒星M運動的情況示意圖，則下列說法正確的是（）

A.速度最大點是B點

B.速度最小點是C點

C.m從A到B做減速運動

D.m從B到A做減速運動

答案C

解析因恒星M與行星m的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相同，又因BM最長，故B點是軌道上的

最遠點，所以速度最小，所以m從A到B做減速運動，而從B到A做加速運動.故C選項正確.

6.把火星和地球繞太陽運行的軌道視為圓周.由火星和地球繞太陽運動的周期之比可求得（）

A.火星和地球的質(zhì)量之比

B.火星和太陽的質(zhì)量之比

C.火星和地球到太陽的距離之比

D.火星和地球繞太陽運行速度大小之比

答案CD

解析由于火星和地球均繞太陽做勻速圓周運動，由開普勒第三定：律辛二k,k為常量，又v?二半，

則可知火星和地球到太陽的運行速度大小之比，所以C、D選項正確.

7.兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做圓周運動，周期之比為T:T日區(qū)則勃遁半徑之比和運動速率

之上分別為（）

A.R4：Rg=4:l,VVVB=l:2

B.R4VRa=4:l,V:V=2:l

C.R4:Rg=l:4,V:V=l:2

D.R4：Rg=l：4,vVV=2:l

答案D

毓斤因:琛二k,所以-獰

由T:Ta=1:8得R:Ra=l:4

又“等SflUv：v=^=15=2：!

IAB1AKoK41

故選D.

8.太陽系八大行星公轉(zhuǎn)軌道可近似看做圓軌道，“行星公轉(zhuǎn)周期的平方”與“行星與太陽的平均距

離的三次方”成正比.地球與太陽之間平均距離約為1.5億千米，結(jié)合下表可知，火星與太陽之間的平均

距離約為（）

水星金星地球火星木星土星

公轉(zhuǎn)周

0.2410.6151.01.8811.8629.5

期（年）

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A.1.2億千米B.2.3億千米

C.4.6億千米D.6.9億千米

答案B

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螭斤由開普勒

頭

9.木星繞太陽運動的周期為地球繞太陽運動周期的12倍，那么，木星繞太陽運動軌道的半長軸是地

球完太陽運動軌道的半長軸的多少倍?

答案5.24倍

解析木星、地球都繞著太陽沿不同的橢圓軌道運動，太陽在它們的橢圓軌道的一個焦點上.設(shè)木星、

地球繞太陽運動的周期分別為T、％它們橢圓軌道的半長軸分別為小82，根據(jù)開普勒第三定律得:鬻

a

T3

貝史二年日二圻丞七5.24

木星繞太陽運動軌道的半長軸約為地球繞太陽運動軌道半長軸的5.24倍.

10.月球環(huán)繞地球運動的軌道半徑約為地球半徑的60倍，其運行周期約為27天.現(xiàn)應(yīng)用開普勒定律

計算：在赤道平面內(nèi)離地面多高時，人造地球衛(wèi)星可隨地球一起轉(zhuǎn)動，就像其停留在天空中不動一樣.若

兩顆人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動，周期之比為1:8,則它們軌道半徑之比是多少？（己知R=6.4xl0skm）

答案3.63X104km1:4

解析月球和人造地球衛(wèi)星都在環(huán)繞地球運動，根據(jù)開普勒第三定律，它們運行軌道的半徑的三次方

跟圓周運動周期的二次方的比值都是相等的?設(shè)人造地球衛(wèi)星運動的半徑為R,周期為T=1天，根據(jù)開

普勒第三定律有與二k,同理設(shè)月球軌道半徑為R',周期為V,也有尸二k

由以上^5^可蹤二臺

R=▼聲R，3二加力X(6OR/3=6.67R地

在赤道平面內(nèi)離地面高度

H=R-R地=6.67R-R=5.67R地

=5.67x6.4x103km=3.63xlO4km.

由開韻］第三定:畔二華

又因為T:T2=1:8,解得R:R2=1:4

第2節(jié)太陽與行星間的引力

第3節(jié)萬有引力定律

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要點歸納

要點一萬有引力定律的推導(dǎo)

1.理論依據(jù)：應(yīng)用開普勒第一、第三定律和牛頓運動定律.

2.簡化模型：把行星軌道按照圓處理.

3.推導(dǎo)思路：向心力是由太陽對行星的引力提供.設(shè)行星的質(zhì)量為m,速度為v.行星到太陽的距離

為r,如圖6-（2、3）-2所示：\

太陽對行星的引力F與行星

對太陽的引力F'大小相等

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貝UF=mvz/i<D

觀測到行星公轉(zhuǎn)的周期T

又丫=竿?

由①?式得F=^③

由開普勒第三定咤=k可知T?=3④

由③④式，消T得F=4mk：

即⑤

根據(jù)牛頓第三定律得：行星對太陽的引力F，與F是相同性質(zhì)的力，也應(yīng)具有相類似的表達式，也應(yīng)

與太陽的質(zhì)量M成正比，與行星到太陽的距離的二次方成反比，即F⑥

由⑤式和⑥式得Fa達里

I-

寫成等式為F=G學(xué)@

式中G為比例系數(shù)，與太陽、行星都沒有關(guān)系.

結(jié)論：太陽與行星間引力的大小與太陽的質(zhì)量、行星的質(zhì)量成正比，與兩者距離的二次方成反比，太

陽與行星間引力的方向沿著二者的連線.

經(jīng)過類似的分析過程，即可得出公式F=G，F(xiàn)同樣適用于行星與衛(wèi)星間的引力.

要點二關(guān)于萬有引力定律的理解

1.公式的成立條件

(1)萬有引力公式適用于質(zhì)點間引力大小的計算.

(2)對于可視為質(zhì)點的物體間的引力求解，也可以利用萬白引力公式，如兩物體間距離遠大于物體本身

大小時，物體可看成質(zhì)點；均勻球體可視為質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點，r為球心間的距離.

(3)當物體不能看成質(zhì)點時，可以假想把物體分割成無數(shù)個質(zhì)點，求需兩個物體上每個質(zhì)點與另一個物

體上所有質(zhì)點的萬有引力，然后求合力.

2.萬有引力定律具有以下四個特性__________________________________________________________

四性內(nèi)容

萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個有質(zhì)量的物

普遍性

體之間都存在著這種相互吸引的力

相互性兩個有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，符合牛頓第三定律

在地面上的一段物體之間，由于質(zhì)量比較小，物體間的萬有引力比較小，與其他

宏觀性力比較可忽略不計，但在質(zhì)量巨大的天體之間，或天體與其附近的物體之間，萬

有引力起著決定性作用

兩個物體之間的萬有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們間的距離有關(guān)，而與所在空

特殊性

間的性質(zhì)無關(guān)，也與周圍是否存在其他物體無關(guān)

要點三萬有引力與重力的關(guān)系

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圖6—（2、3）—3

1.在地球表面上的物體所受的萬有引力F可以分解成物體所受到的重力G和隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運

動的向心力F”，如圖6-（2、3）-3所示.其中F=G￥而F=mro2.從圖中可以看出：當物體在赤道

上時，F(xiàn)、G、P三力同向，且尸R,此時F達到最大值F，=mRo2,重力達到最小值Gmn=FF

~Mm

=G^-mRg當物體由赤道向兩極移動時?，向心力減小，重力增大，只有物體在兩極時物體所受的萬有

引力才等于重力，且達到最大值，此最大值為6小=建總之不能說重力就是地球?qū)ξ矬w的萬有引力?當

然，如果忽略地球的自轉(zhuǎn)，則萬有引力和重力的關(guān)系為1］曜=貸+g為地球表面的重力加速度

2.在高空中的物體所受到的萬有引力等于它在高空中的重力，也等于提供物體繞地球做勻速圓周運

動的向心力.由于高度h的變化，重力mg=G烹%■也將變化.

3.在天體問題的處理過程中，經(jīng)常利用地面處的重力數(shù)值確定其他位置或其他天體的有關(guān)物理量，

因比，關(guān)系式1】年=嚕叫尤為重要，由此可確定地球的其他位置或其他天體上物體的重力或重力加速度與

地面上的關(guān)系.該關(guān)系式稱為“黃金代換”.

要點四萬有引力定律與天體的運動

天體的運動一般看作勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供.即F=0y而a.三

nuI，”IJa5?

=Mr=sv=%r=4.后，因此應(yīng)用萬有引力定律解決天體的有關(guān)問題，主要有以下幾個度量關(guān)系：F=

GMmV：4n?

''"=mg=ma==mo)2r=m(ov=m"Z-r=m4幾小r.

ne?r12

----------答疑解惑-----------

1.如何驗證太陽與行星之間引力的規(guī)律是否適用于行星與它的衛(wèi)星？

要驗證太陽與行星之間引力的規(guī)律是否適用于行星與它的衛(wèi)星，就必須首先觀測證明衛(wèi)星圍繞行星運

轉(zhuǎn)是否遵循器二k.要學(xué)會逆向思維尋找思路，類比推理獲取結(jié)果.我們知道，在推測和分析太陽與行星之

間引力規(guī)律的過程中，應(yīng)用了開普勒行星運動定律和牛頓運動定律，而開普勒行星運動定律是開普勒根據(jù)

研究天文學(xué)家第谷的行星觀測記錄發(fā)現(xiàn)的.因此，要驗證太陽與行星之間引力的規(guī)律是否適用于行星與它

的衛(wèi)星，必須驗證開普勒行星運動定律是否適用于圍繞行星運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，這就需要觀測衛(wèi)星的運動，測出

這些衛(wèi)星圍繞行星運轉(zhuǎn)的軌道半涇r和公轉(zhuǎn)周期T,看看是否符合關(guān)=匕并假設(shè)衛(wèi)星圍繞行星的運動是勻

速圓周運動（限于我們目前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，作這樣的簡化假設(shè)是必要的）.經(jīng)過類似的分析過程，即可得出公

式卜=。誓同樣適用于行星與衛(wèi)星間的引力?

如不慎侵犯了你的權(quán)益，請聯(lián)系我們告知！

2.不同星球表面的重力加速度大小一樣嗎？在同一星球重力加速度隨高度如何變化？

不一樣.在某星球表面，由G*F=mg.得星球表面的重刀加速度=皆由此知g取決于該星球的

質(zhì)量M和半徑R.

在閂3"Mm__E°GMJ

在向-星球%+h）「m￡,得g一標^

由此知隨著高度h的增大，g減小.

----------典例剖析-----------

一、萬有引力定律的理解

例11對于萬有引力的表達式展韋G21/下列說法正確的是（）

A.公式中的G為萬有引力常量，它是由實驗得出的，而不是人為規(guī)定的

B.當r趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大

"和Hb受到的引力總是大小相等，而與偏、竭否相等無關(guān)

D.m,與m,受到的引力總是大小相等、方向相反，是一對平衡力

解析萬有引力常量G是卡文迪許通過實驗得出的，故A項正確.公式成立條件是質(zhì)點間的相互作用，

當D時，條件不成立，故B錯誤.0\、叫間的萬有引力符合牛頓第三定律，是同種性質(zhì)的力，故C項正確，D

項錯誤.

答案AC

方法總結(jié)

萬有引力定律適用范圍是質(zhì)點間的相互作用，r是質(zhì)點間的距離，遵從牛頓第三定律.

二、重力加速度問題

【例21設(shè)地球表面重力加速度為g,物體在距離地心4R（R是地球的半徑）處，由于地球的作用而產(chǎn)生

的加速度為g,則g/g。為（）

A.lB.l/9C.l/4D.1/16

解析本題考查萬有引力定律的簡單應(yīng)用，地球表面處的重力加速度和在離地心高4R處的加速度均

由地球?qū)ξ矬w的萬有引力產(chǎn)生，所以有

地面上嚶:mg”①

離地心4R處四1二口坨2.

（4R）22

由①②兩式冤=（搦:咻

答案D

方法總結(jié)

通常情況下，我們所研究的物體都在地面上或離地面的高度遠小于地球的半徑，不管這些物體是處于

何種運動狀態(tài)，我們都可以認為萬有引力與重力相等.但有兩種情況必須加以區(qū)別：一是從細微之處分析

重力與萬有引力大小的關(guān)系，二是物體離地面高度與地球半徑相比不能忽略的情況.

三、萬有引力定律的綜合應(yīng)用

【例3】一物體在地球表面重16N,它在以5m/sz的加速度加速上升的火箭中的視重為9N,則此火箭

如不慎侵犯了你的權(quán)益，請聯(lián)系我們告知!

離地球表面的距離為地球半仔的（）

A.2倍B.3倍C.4倍D.一半

如不慎侵犯了你的權(quán)益，請聯(lián)系我們告知！

解析設(shè)此時火箭離地球表面高度為h

由牛頓第二定律得FN-nig'=ma①

在地球表面叫嚙二僚2

由此得m=L6kg,代入①

得屋=加

又因h處mg'④

(R+h)2

由②④,：-R?

g(R+h):

代入數(shù)據(jù)，得h=3R.故選B.

答案B

方法總結(jié)

應(yīng)用萬有引力定律與其他知識相聯(lián)系的綜合問題，要明確運動過程，選擇相應(yīng)的規(guī)律,

確定各量間的關(guān)系.

----------效果自測-----------

1.太陽對行星的引力提供了行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力，這個向心力大小()

A.與行星距太陽的距離成正比

B.與行星距太陽的距離成反比

C.與行星運動的速率的平方成正比

D.與行星距太陽的距離的平方成反比

答案D

解析由引力公式F=G嘿知A、B、C錯誤，D正確?

2.要使兩物體間的引力減小到原來鐘勺;下列方法可行的是()

A.兩物體的距離不變，質(zhì)量各減小為原來的一半

B.兩物體的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，質(zhì)量各減為原來的一半

C.兩物體的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话耄嚯x也減為原來的一半

D.兩物體的質(zhì)量都變?yōu)樵瓉淼?倍，距離不變

答案A

解析由萬有引力公式尸=6管可得：不變，\［、m各減小一半后，其引力F變?yōu)樵瓉淼摹瓵項正

確；r變?yōu)樵瓉淼?倍，M、m減為原來的一半，其引力將變?yōu)樵瓉淼墓?；M、m、r都變?yōu)樵瓉淼囊话?，F(xiàn)

將不變；r不變，U、m變?yōu)樵瓉淼?倍，則引力變?yōu)樵瓉淼?倍.本題考查到對萬有引力公式的理解

7m不慎侵犯了你的權(quán)益，請聯(lián)系我們告知!

是與兩物體質(zhì)量的“乘積”成正比，與兩物體距離的“二次方”成反比,

3.如圖6—（2、3）一4所不,

M

O6

.B

圖6-（2、3）-4

如不慎侵犯了你的權(quán)益，請聯(lián)系我們告知！

M、N為兩個完全相同的質(zhì)量分布均勻的小球，AB為MN連線的中垂線，有一質(zhì)量為m的小球從

MN連線的中點O沿OA方向運動，則它受到的萬有引力大小變化情況是()

A.一直增大B,一直減小

C.先減小、后增大D.先增大、后減小

答案D

解析質(zhì)量為m的物體在0點時，受到的萬有引力為零，沿0A方向到無窮遠處也為零，但其間不

為零，因此，物體m受到的萬有引力變化情況是先增大后減小，故D正確.

4.地球?qū)υ虑蚓哂邢喈敶蟮娜f有引力，可它們沒有靠在一起，這是因為()

A.不僅地球?qū)υ虑蛴腥f有引力，而且月球?qū)Φ厍蛞灿腥f有引力，這兩個力大小相等，方向相反，互

相抵消了

B.不僅地球?qū)υ虑蛴腥f有引力，而且太陽系中的其他星球?qū)υ虑蛞灿腥f有引力，這些力的合力為零

C.地球?qū)υ虑虻囊€不算大

D.地球?qū)υ虑虻娜f有引力不斷改變月球的運動方向，使得月球圍繞地球運動

答案D

5.一名宇航員來到一個星球上，如果該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的一半，它的直徑也是地球直徑的一

半，那么這名宇航員在該星球上所受的萬有引力大小是它在地球上所受萬有引力的()

A.0.25倍B.0.5倍C.2.0倍D.4.0倍

答案C

6.己知地球的質(zhì)量為6.0X1024kg,太陽的質(zhì)量為2.OX103okg,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為

1.5xIOum(取G=6.67x10-11N-m2/kg2).求：

(1)太陽對地球的引力大小.

(2)地球繞太陽運疆的向心加速度.

答案(1)3.6x10z2N(2)6x10-3m/s2

7.某人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m繞地球運動的軌跡為橢圓.已知它在近地點距地面高度為h,速度為

v,加速度為a;在遠地點距地面高度為h2,速度為V?已知地球半徑為R求該衛(wèi)星在遠地點的加速

度為.

宏安(R+hJ?

。案(R+hjB

解析設(shè)地球的質(zhì)量為M,則由牛頓第二定律得

GMm

濮，點=ma

(R+h,)2

遠地點GMm

(R+hJ

解得a

(R+hJ

講練學(xué)索部分

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-----探究歸納一

題型①萬有引力定律公式的計算

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典劇1①有一質(zhì)量為M、

半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有?質(zhì)量為m的質(zhì)點，現(xiàn)在從M中挖去一

半徑麴導(dǎo)的球體，如圖1所示，求剩下部分對m的萬有引力F為多大？

解析仔細觀察球體挖去部分及完整球體的形狀特點，可知，完整部分與質(zhì)點m以及挖去部分與質(zhì)點

m間萬有引力均可用公式計算，由此聯(lián)想到利用等割補的方式先將剩余部分還原為完整體，骨算出萬有引

力，然后計算出割去部分與質(zhì)點m間的萬有引力，兩者之差即為所求.

設(shè)想將被挖部分重新補回，則完翻油對質(zhì)焉】的引力為F,可以看作是剩余部分對質(zhì)點的引引力F

與被挖小球?qū)|(zhì)點的引力F,的合力，即F=F+F2

設(shè)被挖小球的質(zhì)量為,其球心到質(zhì)點間的距離為r'

由題意，知M'f喙

由萬有引力定律，得F產(chǎn)潭七;曙

所以剩下部分對m的萬有引力為需

236R:

方法總結(jié)

對于此類問題，利用萬有引刀定律直接求解是不對的，當成點與質(zhì)量分布均勻的球體間距離較小時，

球體雖然不能被看作質(zhì)點，但仍可用F=泮^1計算求解，此時的r應(yīng)等于質(zhì)點與球心間的距離.此題FI

中球體被挖，質(zhì)量分布不均勻，要先“填補”變?yōu)橘|(zhì)量分布均勻的球體再求解.

題型②星球表面的重力加速度

碘例2①1990年5月，紫金山天文臺將他們發(fā)現(xiàn)的第2752號小行星命名為吳健雄星，該小行星的半

徑為16km.若將此小行星和地球均看成質(zhì)量分布均勻的球體，小行星密度與地球相同.已知地球半徑R=

6400km.地球表面重力加速度為g.這個小行星表面的重力加速度為（）

3。堡B.春C.20gD募

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答案R

解析質(zhì)量分布均勻的球體的密度p=3M/4nR3

地球表面的重力加速度2=GM/R、=坦亞

°

吳健雄星表面的重力加速度g'=GV/匚二螞迎

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g/g-R/r=400,g=故選項B正確.

【拓展探究】（1）在距小行星表面20m處，讓質(zhì)量為m=60kg的物體自由下落，求物體下落到該行星表

面所用的時間.

（2）物體在小行星上的質(zhì)量和“重力”與地球上的是否相同？

（已知地球表面重力加速度g=10m/s2）

答案（l）40s（2）質(zhì)量相同，但重力不同

&/‘修得患

解析（）由

（2）物體在小行星上的質(zhì)量與地球上相同，但重力不同.

題型③萬有引力定律的綜合問題

典例3①如圖2所示,

圖2

火箭內(nèi)平臺上放有測試儀器，火箭從地面起動后，以加速月蝮豎直向上勻加速運動，升到某一高度時，

測試儀器對平臺的壓力為起動前壓力的白.已知地球半徑為R.求火箭此時離地面的高度.（g為地面附近的

1O

重力加速度）

答案?

解析火箭上升過程中，物體受豎直向下的重力和向上的支持力，設(shè)高度為h時，重力加速度為仃

由牛頓第二定雷哈『mg'=mX*微

【拓展探究】月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的"6,一根繩子在地球表面能拉著3kg的

重物產(chǎn)生最大為10臉的豎直向上的加速度，g=10nVsz,將重物和繩子均帶到月球表面，用該繩子能

使重物產(chǎn)生豎直向上的最大加速度為（）

A.60m/s2B.20m/szC.18.3m/s2D.10m/s2

答案C

解析根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)-mg地=ma,,F-mg月二ma2,解得a,=18.3m/s2,C正確

歸納總結(jié)

一在利用萬有引力定律與其他知識相聯(lián)系的結(jié)合性問題中，注意分清過程，分別利用相關(guān)規(guī)律列方程,

確定不同方程間相關(guān)聯(lián)的物理量，解方程求得結(jié)果.

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----------課時作業(yè)----------

1.關(guān)于太陽與行星間的引力，下列說法中正確的是（）

A.由于地球比木星離太陽近，所以太陽對地球的引力一定比對木星的引力大

B.行星繞太陽沿橢圓軌道運動時，在近日點所受引力大，在遠日點所受引力小

c.由F=G￥F口可知,6=先由此可見G與F和z的乘積成正比，與M和m的乘積成反比

D.行星繞太陽的橢圓軌道可近似看做圓形軌道，其向心力來源廣太陽對行星的引力

答案BD

解析根:據(jù)F二切如，太陽對行星的引力大小，與m、r有關(guān)，對同一行星，r越大，F(xiàn)越小，B正確?對

不同行星，r越小，F(xiàn)不一定越大，還要由行星質(zhì)量決定，A錯誤.公式中G為比例系數(shù)，是一常量，與F、

r、M、m均無關(guān)，C錯誤.通常的研究中，行星繞太陽的橢圓軌道近似看做圓形，向心力由太陽對行星的

引力提供，D正確.

2.兩個行星的質(zhì)量分別為理和皿繞太陽運行的軌道半徑分別是T］和L若它們只受太陽引力的

作用，那么這兩個行星的向心加速度之比為（）

A1「呵”\

DI

答案D

解析設(shè)行星叫、理的向心力分別是F、也由太陽與行星之間的作用規(guī)律可得用嘴飛吟

門哈a肯號號D項正確.

3.下列說法正確的是（）

mv:

A.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式，F(xiàn)=-y?,這個關(guān)系式實際上是牛頓第二定律，

是可以在實驗室中得到驗證的

B.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式號千千，這個關(guān)系式實際上是勻速圓周運動的

一個公式，它是由線速度的定義式得來的

Q在探究太陽對行星的引力規(guī)律吐我們引用了公3.節(jié)n=士這個關(guān)系式是開普勒第三定律，是可以

在實驗室中得到驗證的v

D.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，使用的三個公式，都是可以在實驗室中得到驗證的

答案AB

4.如圖3所示4^

圖3

兩球間的距離為r,兩球的質(zhì)量分布均勻，大小分別為明、岫，半徑分別為;、r2,則兩球的萬有引

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力大小為（）

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G呼

B.q

C.G-0^

D.

答案D

解析兩個均勻球體間的萬有引力，i?是兩球心間的距離.

5.蘋果自由落向地面時加速度的大小為g,在離地面高度等于地球半徑處做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星

的向心加速度為（）

A.gB=C+D,無法確定

答案C

角晰tiffin：mg=G喂，所以g=*

部處：=嚼肥葭=