數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)（第四版）課件 第1章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和門(mén)電路1.3邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則1.4邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換1.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1.1概

述

1.1.1-數(shù)字量和模擬量在自然界中，存在著各種各樣的物理量，這些物理量可以分為兩大類(lèi)：數(shù)字量和模擬量。數(shù)字量是指離散變化的物理量，模擬量則是指連續(xù)變化的物理量。處理數(shù)字信號(hào)的電路稱(chēng)為數(shù)字電路，處理模擬信號(hào)的電路稱(chēng)為模擬電路。同模擬信號(hào)相比，數(shù)字信號(hào)具有傳輸可靠、易于存儲(chǔ)、抗干擾能力強(qiáng)、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。因此，數(shù)字電路獲得了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

1.1.2數(shù)制與代碼

1.數(shù)制

進(jìn)位計(jì)數(shù)制表示數(shù)碼中每一位的構(gòu)成及進(jìn)位的規(guī)則，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)制(NumberSystem)。數(shù)的一般展開(kāi)式表示法如下：

式中，n是整數(shù)部分的位數(shù)，m

是小數(shù)部分的位數(shù)，ai

是第i位的系數(shù)，R

是基數(shù)，Ri

稱(chēng)為第i位的權(quán)。

1)十進(jìn)制

基數(shù)R為10的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱(chēng)為十進(jìn)制(Decimal)，它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個(gè)有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十進(jìn)一，借一為十”。十進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)10或D表示，如2310、87D

等。

2)二進(jìn)制

基數(shù)R為2的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱(chēng)為二進(jìn)制(Binary)，它只有0和1兩個(gè)有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢二進(jìn)一，借一為二”。二進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)2或B表示，如1012、1101B

等。

3)八進(jìn)制

基數(shù)R

為8的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱(chēng)為八進(jìn)制(Octal)，它有0、1、2、3、4、5、6、7共8個(gè)有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢八進(jìn)一，借一為八”。八進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)8或O表示，如6178、547O等。

4)十六進(jìn)制

基數(shù)R

為16的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱(chēng)為十六進(jìn)制(Hexadecimal)，十六進(jìn)制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)共16個(gè)有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十六進(jìn)一，借一為十六”。十六進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)16或H表示，如A116、1FH

等。

2.不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

1)二—十轉(zhuǎn)換

求二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時(shí)，將所有值為1的數(shù)位的位權(quán)相加即可。

【例1.1】

將二進(jìn)制數(shù)11001101.11B轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。

2)十—二轉(zhuǎn)換

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，要分別對(duì)整數(shù)部分和小數(shù)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制整數(shù)除以2，再對(duì)每次得到的商除以2，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?lái)，即第一次的余數(shù)為二進(jìn)制整數(shù)的最低有效位(LSB)，最后一次的余數(shù)為二進(jìn)制整數(shù)的最高有效位(MSB)，所得數(shù)值即為等值二進(jìn)制整數(shù)。

【例1.2】

將13D

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

【例1.3】

將0.125D

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)為0.001B。

3)八—十轉(zhuǎn)換

求八進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時(shí)，將各數(shù)位的值和相應(yīng)的位權(quán)相乘，然后相加即可。

【例1.4】

將八進(jìn)制數(shù)71.5O

轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。

4)十—八轉(zhuǎn)換

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，要分別對(duì)整數(shù)部分和小數(shù)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制整數(shù)除以8，再對(duì)每次得到的商除以8，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?lái)，即第一次的余數(shù)為八進(jìn)制整數(shù)的最低有效位，最后一次的余數(shù)為八進(jìn)制整數(shù)的最高有效位，所得數(shù)值即為等值八進(jìn)制整數(shù)。

【例1.5】

將1735D

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

【例1.6】

將0.1875D

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制小數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制小數(shù)為0.14O。

5)十六—十轉(zhuǎn)換

求十六進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時(shí)，將各數(shù)位的值和相應(yīng)的位權(quán)相乘，然后相加即可。

【例1.7】

將十六進(jìn)制數(shù)1A.CH

轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。

6)十—十六轉(zhuǎn)換

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，要分別對(duì)整數(shù)部分和小數(shù)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時(shí)，先將十進(jìn)制整數(shù)除以16，再對(duì)每次得到的商除以16，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?lái)，即第一次的余數(shù)為十六進(jìn)制整數(shù)的最低有效位，最后一次的余數(shù)為十六進(jìn)制整數(shù)的最高有效位，所得數(shù)值即為等值十六進(jìn)制整數(shù)。

【例1.8】

將287D

轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制整數(shù)為11FH

。

【例1.9】

將0.62890625D轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制小數(shù)為0.A1H

。

【例1.10】

將二進(jìn)制數(shù)10111011.1011B

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)為273.54O。

8)八—二轉(zhuǎn)換

將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，將每位八進(jìn)制數(shù)展開(kāi)成3位二進(jìn)制數(shù)即可。

【例1.11】

將八進(jìn)制數(shù)361.72O

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為11110001.11101B。

9)二—十六轉(zhuǎn)換

將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分自右往左每4位劃為一組，最后剩余不足4位時(shí)在左面補(bǔ)0；小數(shù)部分自左往右每4位劃為一組，最后剩余不足4位時(shí)在右面補(bǔ)0；然后將每一組用1位十六進(jìn)制數(shù)代替。

【例1.12】

將二進(jìn)制數(shù)111010111101.101B

轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為EBD.AH

。

10)十六—二轉(zhuǎn)換

將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，將每位十六進(jìn)制數(shù)展開(kāi)成4位二進(jìn)制數(shù)即可。

【例1.13】

將十六進(jìn)制數(shù)1C9.2FH轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為111001001.00101111B。

11)八—十六轉(zhuǎn)換

將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，先將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再將所得的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

【例1.14】

將八進(jìn)制數(shù)361.72O轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為F1.E8H

。

12)十六—八轉(zhuǎn)換

將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，先將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再將所得的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

【例1.15】

將十六進(jìn)制數(shù)A2B.3FH轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

因此，對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)為5053.176O。

3.代碼

在數(shù)字系統(tǒng)中，常用0和1的組合來(lái)表示不同的數(shù)字、符號(hào)、動(dòng)作或事物，這一過(guò)程叫作編碼，這些組合稱(chēng)為代碼(Code)。代碼可以分為數(shù)字型的和字符型的、有權(quán)的和無(wú)權(quán)的。數(shù)字型代碼用來(lái)表示數(shù)字的大小，字符型代碼用來(lái)表示不同的符號(hào)、動(dòng)作或事物。有權(quán)代碼的每一數(shù)位都定義了相應(yīng)的位權(quán)，無(wú)權(quán)代碼的數(shù)位沒(méi)有定義相應(yīng)的位權(quán)。下面介紹三種常用的代碼：8421BCD碼、格雷(Gray)碼和ASCII碼。

1)8421BCD碼

BCD(BinaryCodedDecimal)碼即二—十進(jìn)制代碼，用4位二進(jìn)制代碼表示1位十進(jìn)制數(shù)碼。8421BCD碼是一種最常用的BCD碼，它是一種有權(quán)碼，4個(gè)數(shù)位的權(quán)值自左至右依次為8、4、2、1。8421BCD碼如表1-1所示。

2)格雷(Gray)碼

格雷碼是一種無(wú)權(quán)循環(huán)碼，它的特點(diǎn)是：相鄰的兩個(gè)碼之間只有一位不同。表1-2列出了十進(jìn)制數(shù)0~15的4位格雷碼。

3)ASCII碼

ASCII碼即美國(guó)信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼，是目前國(guó)際上廣泛采用的一種字符碼。ASCII碼用7位二進(jìn)制代碼來(lái)表示128個(gè)不同的字符和符號(hào)，如表1-3所示。

1.2邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和門(mén)電路

邏輯代數(shù)(LogicAlgebra)是由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1849年首先提出的，因此也稱(chēng)為布爾代數(shù)(BooleanAlgebra)。邏輯代數(shù)研究邏輯變量間的相互關(guān)系，是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。所謂邏輯變量，是指只有兩種取值的變量，如真或假、高或低、1或0。

1.2.1-邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算

1.邏輯與

只有當(dāng)決定某事件的全部條件同時(shí)具備時(shí)，該事件才發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱(chēng)為邏輯與，或稱(chēng)邏輯相乘。

在圖1-1電路中，只有當(dāng)開(kāi)關(guān)S1和S2同時(shí)接通時(shí)，電燈

F才會(huì)亮。若以S1、S2表示兩個(gè)開(kāi)關(guān)的狀態(tài)，以

F表示電燈的狀態(tài)，用1表示開(kāi)關(guān)接通和電燈亮，用0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)和電燈滅，則只有當(dāng)S1和S2同時(shí)為1時(shí)，F(xiàn)才為1，F(xiàn)與S1和S2

之間是一種與的邏輯關(guān)系。邏輯與運(yùn)算的運(yùn)算符為“·”，寫(xiě)成

F=S1·S2

或

F=S1S2。

圖1-1與運(yùn)算的邏輯電路

邏輯變量之間取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用一張表來(lái)表示，這種表叫作邏輯真值表，簡(jiǎn)稱(chēng)真值表。與運(yùn)算的真值表如表1-4所示。

2.邏輯或

在決定某事件的諸多條件中，當(dāng)有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，該事件都會(huì)發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱(chēng)為邏輯或，或稱(chēng)邏輯相加。

在圖1-2電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)S1-和S2

中有一個(gè)接通(S1=1或

S2=1)或

一

個(gè)以上接通(S1=1且S2=1)時(shí)，電燈F都會(huì)亮(F=1)，因此F與S1

和S2之間是一種或的邏輯關(guān)系。邏輯或運(yùn)算的運(yùn)算符為“+”，寫(xiě)成

F=S1+S2?；蜻\(yùn)算的真值表如表1-5所示。

圖1-2或運(yùn)算的邏輯電路

圖1-3非運(yùn)算的邏輯電路

4.其他常見(jiàn)邏輯運(yùn)算

除了與、或、非三種最基本的邏輯運(yùn)算外，常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、異或、同或、與非與非、或非或非等，這些運(yùn)算的表達(dá)式如下：

以上這些復(fù)合邏輯運(yùn)算的真值表分別如表1-7~表1-12所示。

1.2.2門(mén)電路

輸出和輸入之間具有一定邏輯關(guān)系的電路稱(chēng)為邏輯門(mén)電路，簡(jiǎn)稱(chēng)門(mén)電路。常用的門(mén)電路有與門(mén)、或門(mén)、非門(mén)、與非門(mén)、或非門(mén)、與或非門(mén)、異或門(mén)、同或門(mén)等，它們的邏輯符號(hào)如圖1-4所示。

圖1-4常用門(mén)電路的邏輯符號(hào)

1.3邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則

1.3.1-基本公式

式(8)、(8')稱(chēng)為同一律；式(9)、(9')稱(chēng)為交換律；式(10)、(10')稱(chēng)為結(jié)合律；式(11)、(11')稱(chēng)為分配律；式(12)、(12')稱(chēng)為德·摩根(De.Morgan)定律；式(13)稱(chēng)為還原律。

1.3.2常用公式

(1)A+A·B=A

公式的含義是：在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則另一個(gè)與項(xiàng)可以不要。這一公式稱(chēng)為吸收律。例如：

3.對(duì)偶規(guī)則

描述：對(duì)一個(gè)邏輯函數(shù)F，將所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到函數(shù)F的對(duì)偶函數(shù)F'。

1.4邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換

1.4.1-邏輯函數(shù)常用的描述方法

1.表達(dá)式由邏輯變量和邏輯運(yùn)算符號(hào)組成，用于表示變量之間邏輯關(guān)系的式子，稱(chēng)為邏輯表達(dá)式。常用的邏輯表達(dá)式有與或表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式、與非與非表達(dá)式、或非或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式等。

2.真值表

用來(lái)反映變量所有取值組合及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格，稱(chēng)為真值表。

例如，在一個(gè)判奇電路中，當(dāng)A、B、C三個(gè)變量中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出F為1；否則，輸出F為0。據(jù)此可列出表1-13所示的真值表。

3.卡諾圖

圖1-5為2~5個(gè)變量的卡諾圖，方格中的數(shù)字為該方格對(duì)應(yīng)變量取值組合的十進(jìn)制數(shù)，亦稱(chēng)該方格的編號(hào)。圖1-5變量卡諾圖

圖1-6為一個(gè)4變量的函數(shù)卡諾圖，方格中的0和1表示在對(duì)應(yīng)變量取值組合下該函數(shù)的取值。圖1-6一個(gè)4變量的函數(shù)卡諾圖

4.邏輯圖

由邏輯門(mén)電路符號(hào)構(gòu)成的，用來(lái)表示邏輯變量之間關(guān)系的圖形稱(chēng)為邏輯電路圖，簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯圖。

1.4.2不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換

1.表達(dá)式→真值表

由表達(dá)式列函數(shù)的真值表時(shí)，一般首先按自然二進(jìn)制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同取值組合，再確定出相應(yīng)的函數(shù)值。

表1-14列1.16函數(shù)Z的真值表

表1-16例1.18函數(shù)F的真值表

2.真值表→表達(dá)式

由真值表寫(xiě)函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，有兩種標(biāo)準(zhǔn)的形式：標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

1)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式是一種特殊的與或表達(dá)式，其中的每個(gè)與項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項(xiàng)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱(chēng)最小項(xiàng)。

最小項(xiàng)的主要性質(zhì)：

(1)每個(gè)最小項(xiàng)都與變量的唯一的一個(gè)取值組合相對(duì)應(yīng)，只有該組合使這個(gè)最小項(xiàng)取值為1，其余任何組合均使該最小項(xiàng)取值為0。

(2)所有不同的最小項(xiàng)相或，結(jié)果一定為1。

(3)任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)相與，結(jié)果一定為0。

最小項(xiàng)的編號(hào)：最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)變量取值組合的大小，稱(chēng)為該最小項(xiàng)的編號(hào)。

【例1.20】

已知邏輯函數(shù)的真值表如表1-17所示，寫(xiě)出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。

2)標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式

標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式是一種特殊的或與表達(dá)式，其中的每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項(xiàng)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱(chēng)最大項(xiàng)。

最大項(xiàng)的主要性質(zhì)：

(1)每個(gè)最大項(xiàng)都與變量的唯一的一個(gè)取值組合相對(duì)應(yīng)，只有該組合使這個(gè)最大項(xiàng)取值為0，其余任何組合均使該最大項(xiàng)取值為1。

(2)所有不同的最大項(xiàng)相與，結(jié)果一定為0。

(3)任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)相或，結(jié)果一定為1。

最大項(xiàng)的編號(hào)：最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)變量取值組合的大小，稱(chēng)為該最大項(xiàng)的編號(hào)。

【例1.22】

已知邏輯函數(shù)的真值表如表1-18所示，寫(xiě)出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

3.真值表→卡諾圖

已知邏輯函數(shù)的真值表，只需找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，確定其大小編號(hào)，并在卡諾圖中具有相應(yīng)編號(hào)的方格中標(biāo)上1，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

例如，對(duì)于表1-19所示的邏輯函數(shù)F的真值表，它的卡諾圖如圖1-8所示。

表1-19邏輯函數(shù)F的真值表

圖1-8表1-19邏輯函數(shù)F的卡諾圖

4.卡諾圖→真值表

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，只需找出卡諾圖中函數(shù)值為1的方格所對(duì)應(yīng)的變量組合，并在真值表中讓相應(yīng)組合的函數(shù)值為1，即可得到函數(shù)真值表。

圖1-9為邏輯函數(shù)F的卡諾圖。從圖1-9可以看出，當(dāng)ABC為001、011、100和110時(shí)，邏輯函數(shù)F的值為1，由此可知邏輯函數(shù)F的真值表如表1-20所示。

圖1-9邏輯函數(shù)F的卡諾圖

5.表達(dá)式→卡諾圖

已知邏輯函數(shù)的表達(dá)式，若要畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖，則可以先將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般的與或表達(dá)式，再找出使每個(gè)與項(xiàng)等于1的取值組合，最后將卡諾圖中對(duì)應(yīng)這些組合的方格標(biāo)為1即可。

結(jié)果得到圖1-10所示的卡諾圖。圖1-10例1.25函數(shù)F的卡諾圖

6.卡諾圖→標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

已知函數(shù)的卡諾圖時(shí)，也可以寫(xiě)出函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式：標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

1)由卡諾圖求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

已知函數(shù)的卡諾圖，若要寫(xiě)出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，則將卡諾圖中所有函數(shù)值為1的方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)相或即可。

【例1.26】

已知函數(shù)F的卡諾圖如圖1-11所示，寫(xiě)出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。圖1-11-例1.26函數(shù)F的卡諾圖

2)由卡諾圖求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式

已知函數(shù)的卡諾圖，若要寫(xiě)出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，則將卡諾圖中所有函數(shù)值為0的方格對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)相與即可。

【例1.27】

已知函數(shù)F的卡諾圖如圖1-12所示，寫(xiě)出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

圖1-12例1.27函數(shù)F的卡諾圖

1.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式必須滿(mǎn)足的條件有：

(1)與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少。

(2)與項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式必須滿(mǎn)足的條件有：

(1)或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少。

(2)或項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。常見(jiàn)的化簡(jiǎn)方法有公式法和卡諾圖法兩種。

2.吸收法

利用公式A+AB=A吸收多余的與項(xiàng)。

【例1.29】

求函數(shù)F=(A+AB+ABC)(A+B+C)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

1.5.2卡諾圖法化簡(jiǎn)

1.用卡諾圖化簡(jiǎn)法求函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

1)卡諾圖的相鄰性

最小項(xiàng)的相鄰性定義：兩個(gè)最小項(xiàng)，如果只有一個(gè)變量的形式不同(在一個(gè)最小項(xiàng)中以原變量出現(xiàn)，在另一個(gè)最小項(xiàng)中以反變量出現(xiàn))，其余變量的形式都不變，則稱(chēng)這兩個(gè)最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。

卡諾圖的相鄰性判別：在卡諾圖的兩個(gè)方格中，如果只有一個(gè)變量的取值不同(在一個(gè)方格中取1，在另一個(gè)方格中取0)，其余變量的取值都不變，則這兩個(gè)方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。

在卡諾圖中，由于變量取值按循環(huán)碼排列，使得幾何相鄰的方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。具體而言就是：每一方格和上、下、左、右四邊緊靠它的方格相鄰；最上一行和最下一行對(duì)應(yīng)的方格相鄰；最左一列和最右一列對(duì)應(yīng)的方格相鄰；對(duì)折相重的方格相鄰。圖1-13畫(huà)出了卡諾圖中最小項(xiàng)相鄰的幾種情況。

圖1-13卡諾圖中最小項(xiàng)相鄰的幾種情況

2)卡諾圖化簡(jiǎn)法的一般規(guī)律

(1)兩個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去一個(gè)變量，如圖1-14所示。圖1-14兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)的合并

(2)四個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去兩個(gè)變量，如圖1-15所示。圖1-15四個(gè)相鄰最小項(xiàng)的合并

(3)八個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去三個(gè)變量，如圖1-16所示。圖1-16八個(gè)相鄰最小項(xiàng)的合并

(4)2n

個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去n

個(gè)變量。

2n個(gè)相鄰的1方格對(duì)應(yīng)的

2n個(gè)最小項(xiàng)中，有n個(gè)變量的形式變化過(guò)，將它們相或時(shí)可以消去這n

個(gè)變量，只剩下不變的因子。

(5)如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們?nèi)υ谝黄?，結(jié)果為1。

3)卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟和原則

用卡諾圖化簡(jiǎn)法求函數(shù)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的一般步驟如下：

(1)畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖。

(2)對(duì)相鄰最小項(xiàng)進(jìn)行分組合并。

(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

用卡諾圖化簡(jiǎn)法求函數(shù)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的原則如下：

(1)每個(gè)值為1的方格至少被圈一次。

(2)每個(gè)圈中至少有一個(gè)1方格是其余所有圈中不包含的。

(3)任一圈中都不能包含取值為0的方格。

(4)圈的個(gè)數(shù)越少越好。

(5)圈越大越好。圈越大，消去的變量越多，所得與項(xiàng)包含的因子就越少。

【例1.34】

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