河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，所以，故選：B.2.設(shè)為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則()A.2 B. C.1 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)純虛數(shù)列出關(guān)系式即可求解.【詳解】∵是純虛數(shù)∴，且，故故選：C3.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則【正確答案】D【分析】利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解【詳解】選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)的情況；選項(xiàng)B：和有可能異面；選項(xiàng)C：和有可能相交；選項(xiàng)D：由，，得直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，故選：D4.已知函數(shù)，若f(4)=2f(a),則實(shí)數(shù)a的值為A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2【正確答案】A【分析】利用分段函數(shù)對(duì)a討論，列出方程求解即可．【詳解】函數(shù)f（x），則f（4）＝2，當(dāng)a＞0時(shí)，f（4）＝2f（a）＝2，解得a＝2．當(dāng)a≤0時(shí)，f（4）＝2f（a），2a2＝2，解得a＝﹣1，綜上a＝﹣1或2．故選A．本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．5.角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦值的定義可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可【詳解】由題意可得，所以故選：C6.已知中，，且，則（）A. B. C.8 D.9【正確答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以因中，，所?故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.7.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，研究其奇偶性以及特殊函數(shù)值的大小，可得答案.【詳解】由，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，將代入該函?shù)，可得，故該函數(shù)為偶函數(shù)，則C、D錯(cuò)誤，將代入函數(shù)，可得，故A錯(cuò)誤，B正確.故選：B.8.已知點(diǎn)滿足，且點(diǎn)Q恒在以、為左、右焦點(diǎn)的橢圓內(nèi)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)，則，，利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理可得出，求出，則函數(shù)在上有零點(diǎn)，可得出關(guān)于、的不等式組，結(jié)合可計(jì)算得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，，由橢圓定義可得，，在中，由勾股定理可得，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，又因?yàn)?，所以，，令，則在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實(shí)根，則，所以，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，，，因此，.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)勾股定理得出方程，在轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)來(lái)處理，同時(shí)要善于分析出點(diǎn)在橢圓內(nèi)這一條件，結(jié)合橢圓定義構(gòu)造不等式關(guān)系來(lái)求解橢圓離心率的取值范圍.二、多選題9.下列函數(shù)中，最小值為的有（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對(duì)于A和D選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求，對(duì)于BC選項(xiàng)，結(jié)合嗯不等式討論即可得判斷.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，顯然成立，故B正確；對(duì)于C，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.2021年10月16日，我國(guó)神舟十三號(hào)載人飛船順利升空，這是繼2021年9月17日神舟十二號(hào)順利返回地面后，一個(gè)月內(nèi)再次執(zhí)行載人飛行任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了我國(guó)航天史無(wú)前例的突破，為弘揚(yáng)航天精神，某網(wǎng)站舉辦了“我愛(ài)星辰大?！教毂痹诰€知識(shí)競(jìng)賽，賽后統(tǒng)計(jì)，共有2萬(wàn)市民參加了這次競(jìng)賽，其中參賽網(wǎng)友的構(gòu)成情況，如下表所示：?jiǎn)挝稽h政機(jī)關(guān)企事業(yè)單位教師和學(xué)生個(gè)體工商戶普通市民參賽人數(shù)所占比例（單位：%）203025其中，則下列說(shuō)法正確的是（）AB.參賽人數(shù)所占比例的這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30%C.普通市民參賽人數(shù)為1千人D.各類別參賽人數(shù)的極差超過(guò)4000人【正確答案】CD【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)結(jié)合，可得出，，通過(guò)此表可以得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，進(jìn)而能夠得出普通市民參賽人數(shù)，根據(jù)極差定義，可以得出極差從而得以求解.【詳解】由表可知，且a=4b，解得，，故A錯(cuò)誤；在參賽人數(shù)占比中，20出現(xiàn)了2次，其他數(shù)只出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為20%，B錯(cuò)誤；普通市民參賽人數(shù)為，故C正確；企事業(yè)單位參賽人數(shù)最多，為（人），而普通市民參賽人數(shù)最少，為1000人，故各類別參賽人數(shù)的極差為6000-1000=5000（人），故D正確，故選:CD.11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，若為的中點(diǎn)，則以下說(shuō)法中正確的是（）A.線段的長(zhǎng)度為 B.異面直線和夾角的余弦值為C.點(diǎn)到直線的距離為 D.三棱錐的體積為【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷ABC，結(jié)合等體積法即可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，所以線段的長(zhǎng)度為，故A錯(cuò)誤；又，設(shè)異面直線和夾角為，則，故B正確；設(shè)直線上存在點(diǎn)滿足，且，則，所以，則，又，可得，解得，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：BC12.已知曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則（）A. B.的離心率為C.m的值越小，C的焦距越大 D.的短軸長(zhǎng)的取值范圍是【正確答案】AC【分析】由曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得出和，根據(jù)即可判斷A；根據(jù)橢圓離心率即可判斷B；表示出橢圓的焦距，由函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由的范圍即可得出的短軸長(zhǎng)的取值范圍，從而判斷D．【詳解】對(duì)于A：根據(jù)題意知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)镃的焦點(diǎn)在x軸上，所以，即，故A正確；對(duì)于B：由A可得，，所以橢圓的離心率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：橢圓的焦距，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都是單調(diào)遞減的，所以m的值越小，的焦距越大，故C正確；對(duì)于D：橢圓的短軸長(zhǎng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AC．三、填空題13.化簡(jiǎn)：=_____.【正確答案】3【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解即可【詳解】故314.現(xiàn)有件相同的產(chǎn)品，其中件合格，件不合格，從中隨機(jī)抽檢件，則一件合格，另一件不合格的概率為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】分別求出基本事件的總數(shù)和要求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．【詳解】從5件產(chǎn)品中任意抽取2有種抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有種．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．故答案為:熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式和排列與組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．15.若正方形一邊對(duì)角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為_(kāi)_____，______.【正確答案】①.②.【分析】建立直角坐標(biāo)系，由已知可設(shè)，根據(jù)圖象結(jié)合正方形的性質(zhì)可知，兩條鄰邊所在直線的傾斜角分別為，，根據(jù)兩角和與差的正切公式，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故，.故；.16.如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合）過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，將沿折起，點(diǎn)折起后的位置記為點(diǎn)，得到四棱錐，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】設(shè)，，表示出三棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最大值.【詳解】由題意知：，，將沿折起，由棱錐結(jié)構(gòu)特征可知，相同的點(diǎn)E位置，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)平面，設(shè)，，，，，令，得或，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，．故答案為:．四、解答題17.在中，角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）由，得到，再由，利用正弦定理求解；（2）先由二倍角公式得到，再利用兩角和的正弦公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，由正弦定理得：，所?因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知.所以.所以.18.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為菱形，，.（1）求銳二面角的大小；（2）求AP與平面所成的角的正弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，利用二面角的定義求解即得.（2）取的中點(diǎn)，利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求出點(diǎn)到平面的距離，再利用公式法求出線面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，在菱形中，，則是正三角形，，由，得，由是正三角形，得，則是二面角的平面角，而，則，所以銳二面角的大小為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面，而平面，則平面平面，取中點(diǎn)，連接，由為正三角形，得，，而平面平面，平面，則平面，三棱錐的體積，顯然，，又平面，即有，于是，又，底邊上的高，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，于是，解得，由平面，平面，得平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，令A(yù)P與平面所成的角為，則，所以AP與平面所成的角的正弦值.方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．19.已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由條件可得出從而可證，從而可得出的通項(xiàng)公式.(2)將（1）中的代入即得對(duì)于恒成立，設(shè)，分析出其單調(diào)性，得出其最大項(xiàng)，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由，可得，即所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以【小問(wèn)2詳解】不等式對(duì)于恒成立即對(duì)于恒成立即對(duì)于恒成立設(shè)，由當(dāng)時(shí)，，即即當(dāng)時(shí)，，即即所以最大，所以，故的最小值為20.將正整數(shù)數(shù)列、、、、、的各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫(xiě)成如下的三角形數(shù)表：（1）寫(xiě)出數(shù)表的第行、第行；（2）寫(xiě)出數(shù)表中第行的第個(gè)數(shù)；（3）設(shè)數(shù)表中每行的第個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，數(shù)表中每行的最后一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試分別寫(xiě)出數(shù)列、的遞推公式，并求出它們的通項(xiàng)公式．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)表中的規(guī)律可寫(xiě)出數(shù)表中的第行、第行；（2）寫(xiě)出數(shù)表中第行的第一個(gè)數(shù)，即可寫(xiě)出數(shù)表中第行的第個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)數(shù)表中的規(guī)律可得出數(shù)列、的遞推公式，再利用累加法可求得這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】解：數(shù)表中的第行為、、、，數(shù)表中的第行為、、、、；【小問(wèn)2詳解】解：前行中每一行第一個(gè)數(shù)分別為、、、、、、、、、，所以，數(shù)表中第行的第個(gè)數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】解：，，，，所以，數(shù)列的遞推公式為，則，由數(shù)表可得，，，，所以，數(shù)列的遞推公式為，所以，.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作平行于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，若△AOB的面積為2.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P是拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q是拋物線上的一點(diǎn)，若PF⊥QF，求證：直線PQ與拋物線相切.【正確答案】(1)；(2)見(jiàn)解析.【分析】(1)由題意可得，則|由，可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，顯然時(shí)不滿足題意.當(dāng)時(shí)，.又直線的方程為，將代入整理得，則或，而，則，所以，從而可得結(jié)論.【詳解】(1)由題意可得，則|AB|=2p，△AOB的面積，所以p=2，則拋物線C的方程為.(2)證明:顯然FQ的斜率存在，設(shè)為k，當(dāng)k=0時(shí)，P(0,-1，Q(2,1)或(-2,1)，直線或y=-x-1，與拋物線聯(lián)立，得判別式△=0，所以此時(shí)直線與拋物線C相切；當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線，因?yàn)镻F⊥QF，則直線PF的方程為，由得P(2k,-1)，消去y得，由Q是直線FQ與拋物線C的交點(diǎn)，設(shè)，顯然時(shí)不滿足題意.當(dāng)時(shí)，.又直線PQ的方程為，將，即代入整理得，則或，而，則，所以，故直線PQ與拋物線C相切.·本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，意在考查學(xué)生理解力、分析判斷能力以及綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.在得到三角形的面積的表達(dá)式后，能否利用換元的方法，觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問(wèn)題的關(guān)鍵.22.已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，求的值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由函數(shù)，其中．可得．由題意可得：在區(qū)間（1，+∞）上有解，分離參數(shù)可得：上有解．設(shè)，利用到時(shí)討論其的單調(diào)性即可得出．

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值．當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在[1