2024-2025學(xué)年福建省福州市臺(tái)江區(qū)高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市臺(tái)江區(qū)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A．25 B．5 C．4 D．32．已知向量，，則的夾角為（

）A． B．C． D．3．已知為第二象限角﹐且，則（

）A． B．C． D．4．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在上是減函數(shù)，則不等式的解集是（

）A．或x>2 B．C．或x>1 D．5．設(shè)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，7．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，，，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為A． B． C． D．8．在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，現(xiàn)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐?00家中小型企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，則下面結(jié)論正確的是（

）.

A．樣本在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為18B．如果規(guī)定年收入在300萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有30%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策C．樣本的中位數(shù)小于350萬(wàn)元D．可估計(jì)當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)超過(guò)400萬(wàn)元（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）10．已知，點(diǎn)到直線：的垂足為，，，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn) B．點(diǎn)到直線的最大距離為C．的最大值為 D．的最小值為11．在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均2，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B．若平面，則AQ的最小值為C．若的外心為M，則為定值2D．若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)記作，則滿足有兩個(gè)零點(diǎn)的概率是．13．在直三棱柱中，是等邊三角形，，在該三棱柱的外接球內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)在三棱柱內(nèi)的概率為.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：斜解立方，得兩塹堵．其意思是：一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面一分為二，得到兩個(gè)一模一樣的塹堵．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，將長(zhǎng)方體沿平面一分為二，得到塹堵，下列結(jié)論正確的序號(hào)為．

①點(diǎn)C到平面的距離等于；②與平面所成角的正弦值為；③塹堵外接球的表面積為；④塹堵沒有內(nèi)切球．四、解答題（本大題共5小題）15．(本題滿分14分)已知點(diǎn)是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.（Ⅰ）求證：EO⊥平面AFC；（Ⅱ）試問(wèn)在線段DF(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)R,使得CR∥平面ABF,若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)R的位置；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.16．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）已知函數(shù)為上的減函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.17．如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形為菱形，，，平面.(1)證明：；(2)若是棱上一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.18．如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為，是圓柱的軸截面，正方形內(nèi)接于下底面圓，點(diǎn)是中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值的最小值.19．已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的，若，則，且，設(shè)集合，集合中元素最小值記為，集合中元素最大值記為.(1)對(duì)于數(shù)列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，寫出集合及，；(2)求證：不可能為18；(3)求的最大值以及的最小值.

答案1．【正確答案】B【詳解】；故選：B.2．【正確答案】B【詳解】，又，所以的夾角為.故選：B3．【正確答案】A【詳解】，又為第二象限角，，，.故選：A.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，所以，等價(jià)于因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，解得：，即不等式的解集是.故選：D5．【正確答案】C【詳解】設(shè)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以“”是“”的充要條件，故選C.6．【正確答案】B【詳解】令,可得．設(shè)根據(jù)題意與直線只有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)如右圖，與左支雙曲線相切，與右支雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，即，此時(shí)，，同理可得，當(dāng)時(shí)如左圖，，故選：B．7．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示因?yàn)椋匀切蜛BC為直角三角形，面積為，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點(diǎn)處，設(shè)該小圓的圓心為Q因?yàn)槿切蜛BC的面積是定值，所以當(dāng)四面體ABCD體積取得最大值時(shí)，高取得最大值即當(dāng)DQ⊥平面ABC時(shí)體積最大所以所以設(shè)球心為O，球的半徑為R，則即解方程得所以球的表面積為所以選D8．【正確答案】D【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)?，所以，所以在中，，，，所以，設(shè)外接圓圓心為，半徑為，則，即；同理可得：，的外接圓半徑也為2，因?yàn)椋允堑冗吶切?，則，即二面角為，球心在平面上，過(guò)平面的截面如圖所示，則，所以在中，，所以，即，所以外接球的表面積．故選：D.9．【正確答案】AB【詳解】由圖可得樣本在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為，故A正確；年收入在300萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)頻率為，故B正確；則中位數(shù)在之間，設(shè)為則，故C不正確；年收入平均數(shù)超過(guò)，D不正確.故選：AB.10．【正確答案】AB【詳解】已知，則，故直線過(guò)定點(diǎn)，正確；設(shè)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的最大距離即，正確；過(guò)點(diǎn)作直線直線：的垂線，垂足為，則恒成立，故的軌跡是以為直徑的圓，而，，則該圓的圓心為，半徑，故的軌跡方程為，又由，則，故N在圓外，故的最大值為，最小值為，故,錯(cuò)誤．故選：．11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋忠驗(yàn)槊?，面，所以面，所以直線到平面的距離相等，又的面積為定值，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，則易證明：，面，面，所以面，又因?yàn)椋?，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面?dāng)時(shí)，AQ有最小值，則易求出，所以重合，所以則AQ的最小值為，故B正確；對(duì)于C，若的外心為M，，過(guò)作于點(diǎn)，則.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作于點(diǎn)，易知平面，在上取點(diǎn)，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樗?，則圓弧等于，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】/【詳解】解：在這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)記作是（1,2）、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(3,1)、(4,1)、(5,1)、……(4,5)、(5,4)共有20種情況，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，即，滿足有（5,4）、（5,3）、（5,2）、（5,1）、（4,3）、（4.2）、（4,1）（3,2）、（3，1）共9種；所以所求概率.故13．【正確答案】【詳解】設(shè)，則，由題意可知三棱柱是正三棱柱，如圖所示，為正的中心，為外接球的球心，則該三棱柱的體積.因?yàn)槭堑冗吶切危?，，所以外接圓的半徑.設(shè)三棱柱外接球的半徑為，有，，，由平面，則，即，從而，故該三棱柱外接球的體積.由幾何概型可知所求概率.故14．【正確答案】①④【詳解】如圖所示：

由于垂直于平面，在平面內(nèi)，所以.而，所以有平行四邊形，從而四邊形是矩形.對(duì)于①，由于四面體的體積，同時(shí)，所以，這表明矩形的面積為，從而三角形的面積.設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，則有，從而，①正確；對(duì)于②，由于，，在平面內(nèi)，所以與平面所成角的正弦值為，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，記長(zhǎng)方體的中心為，則到長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)的距離都是體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即.故以為球心，半徑為的球同時(shí)經(jīng)過(guò)塹堵的每個(gè)頂點(diǎn)，故是塹堵的外接球，從而塹堵的外接球表面積，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，假設(shè)塹堵有內(nèi)切球，設(shè)該內(nèi)切球的球心為，半徑為，則在塹堵內(nèi)部，且到塹堵的每個(gè)面的距離都是.所以塹堵的體積等于四棱錐、四棱錐、三棱錐和三棱錐、四棱錐的體積之和，記矩形、矩形、三角形和三角形、矩形的面積分別為，則，，，，.同時(shí)，塹堵是對(duì)長(zhǎng)方體一分為二得到的，故塹堵的體積是長(zhǎng)方體的一半，從而塹堵的體積，這就說(shuō)明：.但是到平面和平面的距離相等，且平面和平面是長(zhǎng)方體的一組對(duì)面，故它們平行，且距離為.所以到平面和平面的距離都等于平面和平面距離的一半，從而.這就導(dǎo)致了矛盾，所以塹堵不存在內(nèi)切球，④正確.故①④.15．【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）不存在，理由見解析.【詳解】【分析】（1）通過(guò)證線面垂直，證明AC⊥EO，通過(guò)計(jì)算證明EO⊥OF，然后得到EO⊥平面AFC（2）若CR∥平面ABF，又CD∥平面ABF則平面CDF∥平面ABF，得出矛盾【詳解】證明：（1）連結(jié)FO，設(shè)AB=BF=2DE=2a，則DO=OB=a，所以EO=a，F(xiàn)O=a，EF=3a。在ΔEOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥OF…………（3分）又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC，所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO…………（5分）由AC平面AFC，F(xiàn)O面AFC，AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC…………（7分）（2）找不到這樣的點(diǎn)R，使得CR∥平面ABF

…………（9分）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R，使得CR∥平面ABF，因?yàn)辄c(diǎn)R與點(diǎn)D不重合，所以CD與CR相交，又CD∥平面ABF，CR∥平面ABF，CD平面ABF，CR∥平面ABF，所以平面CDF∥平面ABF

…………（12分）而平面ABF與平面CDF有公共點(diǎn)F，所以平面ABF與平面CDF必定相交矛盾，所以，找不到這樣的點(diǎn)R，使得CR∥平面ABF

…………（14分）16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)槭荝上奇函數(shù)，所以，即此時(shí)，因?yàn)槌闪?，所以?）因是奇函數(shù)，從而不等式：等價(jià)于因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得.即對(duì)一切有：從而判別式17．【正確答案】(1)證明見解析(2)5【詳解】（1）在四棱臺(tái)中,延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故共面，因?yàn)槠矫?平面,故,連接，因?yàn)榈酌嫠倪呅螢榱庑?，?平面,故平面,因?yàn)槠矫?所以；（2）過(guò)點(diǎn)A作的垂線作為x軸，交與N點(diǎn)，以分別為y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，則，由于，故,則,設(shè)，則，，，記平面的法向量為,則,即，令，則，即，平面的法向量可取為，由于平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則，解得，當(dāng)M與N點(diǎn)重合時(shí)，平面垂直于平面，由于平面與平面所成角為銳二面角，故，所以,故.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）的中點(diǎn)為中點(diǎn)，，又，可得，又直圓柱的上、下底面圓心分別為平面平面.且平面平面；又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，過(guò)作軸//，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，所以，設(shè)，；設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則時(shí)，，.

19．【正確答案】(1)，，(2)證明見解析(3)的最大值為17，的最小值為16.【詳解】（1）數(shù)列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，對(duì)任意的，若，則，且，設(shè)集合，集合中元素最小值記為，集合中元素最大值記為，因?yàn)?，，所以，?（2）假設(shè)，設(shè)，則，即，因?yàn)?，所以，同理，設(shè)，可以