專題07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型解讀與提分精練（全國）

專題07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型 2模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型 7 15模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對頂角相等構(gòu)造等腰。1）角平分線加平行線必出等腰三角形．

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。證明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。證明：由題意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．例2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，和的平分線相交于點，過點作的平行線交于點，交于點，若的周長為14，則的周長是（

）A．14 B．19 C．21 D．23例3．（2023·廣東·八年級期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點，CF平分∠BCD交AD于F點，則EF的長為cm．例4．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF例5.（2023.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．例6．（2023九年級·廣東·專題練習(xí)）如圖1，在中，和的平分線交于點O，過點O作，交于E，交于F．

(1)當(dāng)，則___________；(2)當(dāng)時，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點O，過點O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說明理由．模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型角平分線第二定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例。該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒有講，但它在實戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時候能起到事半功倍的良好效果。1）內(nèi)角平分線定理條件：如圖，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論：證明：作，作DHAB垂足分別為F，H.∵BD是∠ABC的平分線，∴DF=DH，則==（2）作BECA垂足為E，則==∴=2）外角平分線定理圖2圖3條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D。結(jié)論：．證明：如圖2，過C作．交BA的延長線于E，∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形。結(jié)論：=c：a：b。證明：過點作于點，作于點，作于點．

由題意知：，，是的三條角平分線，，于，，的三邊、、長分別為a，b，c，．例1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24例2．（2023·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的三邊、、長分別是10、15、20．其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形，等于（）A． B． C． D．例3．（23-24九年級上·吉林·期末）已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，∵是的角平分線，且，，∴______________．∴_____________．又∵，∴_____________．【類比探究】如圖②，若是的外角平分線，與的延長線交于點D．求證：．例4．（23-24九年級上·湖南婁底·期末）一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個論證．如圖1，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作，交的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點．連接，將沿所在直線折疊，點C恰好落在邊上的E點處．①若，，求的長；②若，，求的長（用含k與的代數(shù)式表示）．例5．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【問題初探】在數(shù)學(xué)活動課上，張老師給出如下問題：“如圖1，在中，是的角平分線，求證：”，有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路：①如圖2，小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過點C作的平行線交的延長線于點E，運用等腰三角形和相似等知識解決問題．②如圖3，小強同學(xué)從“是的角平分線”給出了另一種解題思路：在上截取，連接，過點C作的平行線交的延長線于點G，也是利用相似等知識解決問題．（1）請你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過程．【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對應(yīng)邊的比．為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問題進行了改編，提出下面問題，請你解答．（2）如圖4，若的外角平分線交的延長線于點D，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，，，平分，求的長．1．（2024·湖南懷化·一模）如圖，以直角的一個銳角的頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直角邊于點D，交斜邊于點E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線交邊于點G，若，，用表示的面積（其它同理），則＝（

）

A． B． C． D．2．（23-24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，中，與的平分線交于點F，過點F作交于點D，交于點E，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③的周長等于與的和；④；⑤若，則．其中正確的有（

）A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤3．（2023春·山東淄博·九年級校考期中）如圖，中，，點I為各內(nèi)角平分線的交點，過I點作的垂線，垂足為H，若，，，那么的值為（）A．1 B． C．2 D．4．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，相交于點于，，下列四個結(jié)論：①；②；③若的周長為，則；④若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個．

A． B． C． D．5．（2024·江蘇宿遷·八年級校考期末）如圖，在中，，垂足為D，平分，交于點E，交于點F．若，則的長為（）A． B．3 C． D．6．（23-24山西八年級期中）如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長為（）A． B． C． D．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，是的中位線，的角平分線交于點F，，，則的長為（

）

A．9 B．6 C．3 D．28．（24-25九年級上·廣東·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交于點．若，，則．9.（23-24八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=a，CE=b，∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD，BE相交于點O，AD交BC于點D，BE交AC于點E，過點O作OF⊥AB于F，若OF=c，則△ABC的面積為．10．（2023春·陜西咸陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點為的邊上一點，點分別在邊上，連接，若，則的度數(shù)為．

11．（2024·天津·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是的平分線，延長至E，使，若，的面積為9，則的面積是．12．（2023·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點E是上一點，平分，平分，延長交的延長線于點F．①；②E為的中點；③若，，則；④若四邊形的面積為27，且，則的長為18，其中正確的結(jié)論有．

13．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，的三邊長分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個三角形，則等于．

14．（23-24九年級下·江蘇南京·自主招生）（1）若為的角平分線，求證：；（2）已知，，，，求證：．

15．（22-23八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，，，是的角平分線，點E，F(xiàn)分別是邊，上的動點（不與點A，B，C重合），連結(jié)，．(1)若分別記，的面積為，求的值．(2)設(shè)，，①若，求的值．②若，，請判斷的形狀，并說明理由．16．（2024·吉林長春·三模）如圖①，AD是的角平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．經(jīng)過討論得到如下種證明思路：思路：過點向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；思路：過點作AB的平行線，與AD的延長線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點作的平行線，與的延長線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．(1)請參考以上種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；(2)在圖①中，AD是的角平分線．若，，，則BD的長度為_______；(3)如圖②，在中，，的角平分線BD、CE相交于點，若，則的值為_______．17．（22-23九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）[感知]如圖①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要證明）(1)[探究]如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰改為任意，AD平分，他通過觀察、測量，猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：方法1：過點D分別作于點E，于點F，利用與的面積比證明結(jié)論．方法2：過點B作交AD延長線于點E，利用與相似證明結(jié)論．請你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．(2)[應(yīng)用]如圖③所示，在中，，，，AD平分．若點E在邊AB上，，CE交AD于點F，則______．18．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）小明在學(xué)習(xí)角平分線知識的過程中，做了進一步探究：如圖1，在中，的平分線交于點，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗證這個結(jié)論．證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動點，連結(jié)，點關(guān)于的對稱點為點，連結(jié)交于點．(1)請你完成發(fā)現(xiàn)中的證明過程；(2)如圖2當(dāng)，，求的值；(3)如圖3當(dāng)，與的邊垂直時，求的值．19．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…【問題提出】