專題03 圓中的重要模型之圓弧的中點(diǎn)模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題03圓中的重要模型之圓弧的中點(diǎn)模型當(dāng)圓中出現(xiàn)弧的中點(diǎn)時(shí)，我們要注意考慮幾個(gè)方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，弧，圓心角，圓周角的關(guān)系等等。其關(guān)系復(fù)雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎(chǔ)之上，還要注意各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，才是形成穩(wěn)固的解題思路以及推導(dǎo)模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復(fù)雜的綜合題型以及壓軸題型。當(dāng)圓中出現(xiàn)弦的中點(diǎn)或弧的中點(diǎn)時(shí)，我們聯(lián)想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進(jìn)行思路的突破，這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型 2模型2.與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子模型） 6模型3.垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型 13模型4.與托勒密定理相關(guān)的中點(diǎn)模型 17 25大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖2圖31）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接OP，結(jié)論：OP⊥AB；2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，結(jié)論：MN是圓O的切線；3）條件：如圖3，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接BP、AP，若∠BPN=∠A，結(jié)論：MN是圓O切線。證明：1）根據(jù)垂徑定理易得：OP⊥AB；2）由1）知：OP⊥AB，∵M(jìn)N∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圓O的切線。3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠ABP=∠BAP，∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圓O的切線。例1．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到，，再利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，再證明，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，是的直徑，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是⊙的弦，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則⊙的半徑為．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂徑定理，得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】連接，∵是⊙的弦，是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．例3．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為的中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，且，①求扇形的面積為；②若，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】①利用圓周角定理求得，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求得，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：①∵，∴，∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴，∵半徑為，∴扇形的面積為；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵半徑為，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，圓周角定理，垂徑定理，扇形的面積公式，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，關(guān)于對(duì)稱的經(jīng)過(guò)所在圓的圓心，已知，點(diǎn)為上的點(diǎn)，則（1）；（2）點(diǎn)到的最大距離是；（3）若點(diǎn)、分別是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】120【分析】過(guò)作于，交于，根據(jù)垂徑定理得到，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，根據(jù)垂徑定理得到，求得，，于是得到結(jié)論；連接，，，根據(jù)圓周角定理和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，交于，，，∵關(guān)于對(duì)稱的經(jīng)過(guò)所在圓的圓心，，，，，故答案為：；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，，，，，，，故點(diǎn)到的最大距離是；故答案為：；連接，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，由知，的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型2.與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子模型）1）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB．2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是半圓中點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB=45°．3）條件：如圖3，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，結(jié)論：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。證明：1）∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠PCA=∠PCB，2）∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠PCA=∠PCB，∵AB是直徑，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，3）∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。例1．（2023·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．例2．（2023·廣東佛山·?？既＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求線段的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)至，連接，使的面積等于，求的度數(shù)．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由，可得，再利用“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”進(jìn)行證明；（2）先利用相似三角形的性質(zhì)求出，再用勾股定理求；（3）連接，并求其長(zhǎng)度，利用的面積求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到，，利用特殊角的三角函數(shù)求出與的度數(shù)，進(jìn)而得到的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，又，．（2）解：，，．，，即，解得．是的直徑，．在中，．（3）解：連接，如圖．

是的直徑，．由,得，解得．，．在中，．在中，．，．，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，利用特殊角的三角函數(shù)求角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切于，是的中點(diǎn)，交于，

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖1，連接，，由題意知，，則，由，可得，即，由是的中點(diǎn)，可得，由圓周角定理可得，，即，由三角形外角的性質(zhì)可得，，則，進(jìn)而可證；（2）由題意知，，，設(shè)，則，，證明，則，即，解得，則，即，在中，由勾股定理得，即，求得滿足要求的解，如圖2，連接，，由題意知是等腰直角三角形，即，則，證明，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，

由題意知，，∴，∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，，即，∵，，∴，∴；（2）解：由題意知，，，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，即，在中，由勾股定理得，即，解得或（舍去），如圖2，連接，，由題意知是等腰直角三角形，即，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，切線的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．例4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形中，連接，作的外接圓交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，．

(1)若，求證：是的切線；(2)若，求的半徑；(3)若，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）如圖所示，連接，連接并延長(zhǎng)交于H，先證明，得到，進(jìn)而利用三線合一定理得到，再由平行線的性質(zhì)可證明，由此即可證明是的切線；（2）先由三線合一定理得到，再利用勾股定理求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解方程即可得到答案；（3）如圖所示，連接，先證明，得到，再證明，得到，設(shè)，則，即可推出；證明，推出，則，解得或（舍去），則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，連接并延長(zhǎng)交于H，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；

（2）解：∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴的半徑為；（3）解：如圖所示，連接，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴∴；∵，∴，又∵，∴∴，∴，∴，∴，即，解得或（舍去），∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三線還合一定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．模型3.垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型條件：如圖，AB是直徑，點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，連結(jié)PB交AC于點(diǎn)F。結(jié)論：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．證明：1）∵P是中點(diǎn)，∴，∵AB是直徑，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，∵AB是直徑，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC，∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC，∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB，∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB，例1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對(duì)的圓心角相等，圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接，∵正六邊形，是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故選Ｃ．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計(jì)算，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，過(guò)D作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，，．當(dāng)點(diǎn)P為下面半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，連接交于H，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．12【答案】A【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得，再運(yùn)用同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周角相等可得出，再利用同角的余角相等可推出，進(jìn)而得出，利用三角函數(shù)可求得，由勾股定理可求得：，，再根據(jù)三角形的內(nèi)心判定和性質(zhì)可得出，運(yùn)用等腰直角三角形性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：連接，如圖，

∵為直徑，∴，∵，∴，而，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵P為下面半圓弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)H是的內(nèi)心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)心，三角函數(shù)定義，等腰三角形和等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握勾股定理、圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·河南信陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，的半徑是3，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，先根據(jù)切線定理，得，再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得到，再根據(jù)垂徑定理及等角的余角相等可推出結(jié)論．（2）由已知，結(jié)合（1）中結(jié)論得即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接．∵是的切線，∴．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，切線的性質(zhì)。熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)及圓中的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的一條弦，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)已知，求的值．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由切線的性質(zhì)，圓周角定理得到，又，即可證明問(wèn)題；（2）由得到，由，得到，因此，于是得到．【詳解】（1）證明：∵切于，∴直徑，∴，∵是的直徑，，，，∵，∴；（2）解：如圖所示，連接，

∵C是中點(diǎn)，，∵，，，，∵，∴，∴，，由（1）知，∴，，，．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由，，得到．模型4.與托勒密定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖21）同側(cè)型:條件：如圖1，A為弧BC中點(diǎn)，∠ABC=∠ACB=θ，D為圓上ABC底邊下方一點(diǎn)，結(jié)論：BD+CD=2AD×cosθ；2）異側(cè)型:條件：如圖2，A為弧BC中點(diǎn)，∠ABC=∠ACB=θ，D為圓上ABC底邊上方一點(diǎn)，結(jié)論：BD-CD=2AD×cosθ；托勒密定理（補(bǔ)充知識(shí)）：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線乘積等于對(duì)邊乘積的和。即：AD×BC=BD×AC+DC×AB。證明：1）同側(cè)型：設(shè)AB=AC=m，則BC=2mcosθ。由托勒密定理可知：AD×BC=BD×AC+DC×AB；即：m×BD+m×CD=2mcosθ×AD；故：BD+CD=2AD×cosθ。特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)（即θ=60°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)（即θ=45°）；結(jié)論：BD+CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時(shí)（即θ=30°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）異側(cè)型：設(shè)AB=AC=m，則BC=2mcosθ。由托勒密定理可知：BD×AC=AD×BC+DC×AB；即：BD×m=AD×2mcosθ+CD×m；故：BD-CD=2AD×cosθ。特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)（即θ=60°）；結(jié)論：BD-CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)（即θ=45°）；結(jié)論：BD-CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時(shí)（即θ=30°）；結(jié)論：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年級(jí)期中）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖：繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于E,即，先說(shuō)明是等邊三角形可得；再說(shuō)明是等邊三角形可得，進(jìn)而證明可得，最后根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接,交于E，先說(shuō)明為直徑,即，再運(yùn)用圓周角定理和勾股定理可得，進(jìn)而求得、，最后運(yùn)用勾股定理即可解答【詳解】（1）解：如圖：繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于E，即，∵，∴，∴是等邊三角形，∴

,∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴,即,∴，∴,∴,即．

（2）解：如圖：連接，交于E，∵，∴為直徑,即∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，

∴,即,解得：,∵平分，∴,又∵,∴垂直平分,即，∴,∵．∴是的中位線，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為的直徑，過(guò)點(diǎn)C作射線，，點(diǎn)B為弧的中點(diǎn)，連接，，．點(diǎn)P為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接，，，．(1)若，判斷射線與的位置關(guān)系；(2)求證：．

【答案】(1)與相切，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)為的直徑，得出，根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；（2）在上截取，連接，證明，得出，求出，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，根據(jù)三角函數(shù)求出，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：

∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵且為半徑，∴為的切線．（2）證明：在上截取，連接，如圖3，

∵點(diǎn)B為弧的中點(diǎn)，，∴，∴，，∵與同對(duì)弧，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，∴，∴，在中，，∴，∴，又∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，全等三角形的判斷和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定．例3．（2023·九年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書(shū)”，托勒密有時(shí)把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書(shū)中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，求證：AB?CD+BC?AD＝AC?BD下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點(diǎn)E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB?CD＝AC?BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）∴AD?BC＝AC?ED∴AB?CD+AD?BC＝AC?（BE+ED）∴AB?CD+AD?BC＝AC?BD任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：．（請(qǐng)寫(xiě)出）（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”是同弧所對(duì)的圓周角相等．“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似;(2)勾股定理;(3).【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問(wèn)題．（2）利用矩形的性質(zhì)以及托勒密定理即可判斷．（3）連接BD，作CE⊥BD于E．首先證明BD＝2DE＝CD，由托勒密定理，構(gòu)建方程求出AC即可．【詳解】（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”是同弧所對(duì)的圓周角相等．“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，則AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，∵AB?CD+AD?BC＝AC?BD，∴AB2+AD2＝BD2，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：勾股定理，故答案為勾股定理．（3）連接BD，作CE⊥BD于E．∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝60°，∴∠BCD＝120°，∵，∴CD＝CB，∴∠CDB＝30°，在Rt△CDE中，cos30°＝，∴DE＝CD，∴BD＝2DE＝CD，由托勒密定理：AC?BD＝AD?BC+CD?AB，∴AC?CD＝3CD+5CD，∴AC＝，答：AC的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，托勒密定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問(wèn)題．1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，，，是上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)是弧的三等分點(diǎn)，且弧大于弧，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，在優(yōu)弧上取點(diǎn)，連接、，由圓的性質(zhì)可求得，根據(jù)圓周角定理可求得，利用圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，在優(yōu)弧上取點(diǎn)，連接、，

，，，點(diǎn)是弧的三等分點(diǎn)，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，利用條件構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且若，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求出，證明，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖所示，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，，∵，∴，，，陰影部分的面積是：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形面積計(jì)算，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的頂點(diǎn)上，的半徑為1，E是劣弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半求解．【詳解】解：如圖，連接，∵E是劣弧的中點(diǎn)，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正方形的性質(zhì)和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理，正方形的性質(zhì)和圓心角、弧、弦的關(guān)系是關(guān)鍵．4．（2023·重慶·三模）如圖，是半徑為6的的直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)垂徑定理得到，，則可證明為的中位線，所以，通過(guò)證明得到，所以，則可計(jì)算出，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)．【詳解】解：是半徑為6的的直徑，，是弧的中點(diǎn)，，，，為的中位線，，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，即，，解得：，在中，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，也考查了垂徑定理和圓周角定理．5．（2023·河南三門(mén)峽·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段上的點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，最小，連接，根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)，，可得，由，可得為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)可得，分別計(jì)算出、、，由，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，最小，連接，

，當(dāng)在同一條線上時(shí)，即最小時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，最小，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積計(jì)算—求不規(guī)則圖形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，將不規(guī)則圖形面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換為，是解題的關(guān)鍵．6．（2024·廣東東莞·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，A，B，C，D是圓上的四個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，如果，那么．

【答案】/54度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，由此可得的度數(shù)，再依據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等可得的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∵點(diǎn)B是優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，解決這類問(wèn)題的技巧是找到同弧或等弧推理角相等．7．（2023·安徽安慶·校考二模）已知，如圖，點(diǎn)是優(yōu)弧的中點(diǎn)，，，則的半徑是．

【答案】2【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)題意得到，進(jìn)而證明平分，則，由圓周角定理得，再證明是等邊三角形，得到，則的半徑是2．【詳解】解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)是優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)O是的外接圓，∴，∴平分，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴的半徑是2，故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，弧與弦之間的關(guān)系等等，推出平分是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接中，，為的中點(diǎn)，于，求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】在上截取，連接，由為的中點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等得到，易得，得到，于是有，因此．【詳解】證明：在上截取，連接，如圖，

∵為的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．9．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）若，則的長(zhǎng)是（結(jié)果保留）；（2）若，則．【答案】【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，設(shè)，則，勾股定理求得,J進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵是的切線，∴,∴∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，連接，．過(guò)圓心作的平行線，分別交的延長(zhǎng)線、及于點(diǎn)．

(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)求證：；(3)若是的中點(diǎn)，的半徑為6，求陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理、平行線的性質(zhì)、垂徑定理即可得到結(jié)論；（2）連接，由切線的性質(zhì)得出，由圓周角定理得出，證出，即可得出結(jié)論；（3）求出，由三角形的面積公式及扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）證明：為的直徑，，，，即，是的中點(diǎn)；（2）證明：連接，

是的切線，，，為的直徑，，，，，，，，；（3）解：為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、扇形的面積公式，熟練掌握切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓周角定理，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，再由平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理可得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵是直徑∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直徑為20．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．若．

(1)求證：是的切線；(2)連接．若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論可得，即，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出，進(jìn)而證明是的切線；（2）連接．根據(jù)是的直徑，得出，進(jìn)而根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，勾股定理得出，根據(jù)（1）的結(jié)論證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，即是的切線；（2）如圖所示，連接．

∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，則，∵，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)P是弦上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)E，射線交于點(diǎn)F，交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．

(1)求證：；(2)若，F(xiàn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）：如圖所示，連接、，由圓周角定理得到，則，由切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，則，再由，推出，進(jìn)一步證明，即可證明；

（2）如圖所示，連接交于H，連接，由垂徑定理得到，則，解，求出，則，解，求出，再解，求出，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接、，

∵是的直徑，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接交于H，連接，

∵F是的中點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∵是直徑，，∴，在中，，∴，在中，，∵是直徑，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東廣州·校考二模）如圖，為的外接圓，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接，作的角平分線交于點(diǎn)E．(1)尺規(guī)作圖：作出線段；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)連接，求證：；(3)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)16【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）如圖所示，連接，由點(diǎn)D為的中點(diǎn)，得到，則推出，由角平分線的定義得到，再由三角形外角的性質(zhì)證明，即可證明；（3）先由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，則，由點(diǎn)D為的中點(diǎn)，推出，如圖所示，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，則，，證明三點(diǎn)共線；過(guò)點(diǎn)D作于G，則，解，得到，則；過(guò)點(diǎn)D作于H，則，解求出，則的周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；（2）證明：如圖所示，連接，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，∵A、B、C、D都在上，∴，∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，即，∴，如圖所示，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)D作于G，∴，在中，，∴，∴，∴；過(guò)點(diǎn)D作于H，則，在中，，∴，∴的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理的推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，F(xiàn)為過(guò)點(diǎn)B的切線上的一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，．(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連接，交于點(diǎn)N，求證：．(3)在（2）的條件下，，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）連接，根據(jù)為的直徑，即有，根據(jù)為的切線，即有，結(jié)合，可得，即有，問(wèn)題隨之得證；（2）連接AG、DC，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)（1）的結(jié)論有，即有，，可得，再證明，即可得，即有，接著證明，可得，問(wèn)題隨之得證；（3）在（2）中有：，，即，設(shè)，即，，則有，根據(jù)，可得，即有，，在中，，可得，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為的直徑，∴，即，∵為的切線，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；（2）證明：連接AG、DC，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，根據(jù)（1）的結(jié)論有，∴，，∴，∵直徑，∴，，∴，∴．∵，，∴．∴．∴在和中，，∴，∴，∵，，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴；（3）解：在（2）中有：，，∴，設(shè)，即，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵在中，，∴，解得：(負(fù)值不符合題意舍去)，∴，∴，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理、垂徑定理、切線的性質(zhì)、利用正切值概念求邊長(zhǎng)以及全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵能否利用已知條件作對(duì)輔助線．16．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)校考三模）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與的外接圓和分別相交于點(diǎn)