第11講 弧長及扇形的面積（原卷版）

第11講弧長及扇形的面積【知識(shí)梳理】一．弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【考點(diǎn)剖析】一．弧長的計(jì)算（共10小題）1．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為．2．（2023?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點(diǎn)D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為（）A． B．π C．2π D．3π3．（2022秋?越城區(qū)校級(jí)期末）如圖，用一個(gè)半徑為10cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了36°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了．4．（2022秋?南潯區(qū)期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接BC，AC，∠A＝60°，半徑OD⊥BC，垂足為點(diǎn)E．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）若AB＝8，求的長．5．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧BC上一點(diǎn)，，連接CD．若∠ABC＝15°，則∠DCO的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．50°6．（2022秋?寧波期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上兩點(diǎn)，且滿足∠ADC＝120°，BC＝2，則的長為（）A． B． C． D．7．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．8．（2023?金華模擬）如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計(jì)），A為入口，F(xiàn)，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；彎道為以點(diǎn)O為圓心的一段弧，且所對(duì)的圓心角均為90°，甲、乙兩車由A口同時(shí)駛?cè)肓⒔粯?，均?2m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點(diǎn)O的距離y（m）與時(shí)間x（s）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．甲車從G口出，乙車從F口出 B．立交橋總長為252m C．從F口出比從G口出多行駛72m D．乙車在立交橋上共行駛16s9．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的長為cm．10．（2023?浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．二．扇形面積的計(jì)算（共12小題）11．（2023?浙江模擬）如圖是2022年杭州亞運(yùn)會(huì)徽標(biāo)的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π12．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3cm，則該扇形的面積為cm2．13．（2023?寧波模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)M．連接OC，DB．如果OC∥DB，圖中陰影部分的面積是2π，那么圖中陰影部分的弧長是（）A． B． C． D．14．（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接OE，OD．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的長和扇形EOD的面積．15．（2023?南湖區(qū)二模）如圖，將半徑為的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，則重疊部分（陰影部分）的面積為（）A． B．cm2 C．πcm2 D．16．（2023?杭州二模）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．17．（2023?桐廬縣一模）如圖，點(diǎn)A，B是半徑為2的⊙O上的兩點(diǎn)，且AB＝2，則下列說法正確的是（）A．圓心O到AB的距離為 B．在圓上取異于A，B的一點(diǎn)C，則△ABC面積的最大值為2 C．取AB的中點(diǎn)C，當(dāng)AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長為π D．以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積為18．（2023?義烏市校級(jí)模擬）如圖是小李上學(xué)用的自行車，型號(hào)是24英寸（車輪的直徑為24英寸，1英寸＝2.54厘米），為了防止在下雨天騎車時(shí)的泥水濺到身上，他想在自行車兩輪的陰影部分兩側(cè)裝上擋水的鐵皮（兩個(gè)陰影部分分別是以C、D為圓心的兩個(gè)扇形），量出四邊形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安裝時(shí)向車輪外延伸2.52厘米，那么預(yù)計(jì)需要的鐵皮面積約是（）A．1141平方厘米 B．2281平方厘米 C．3752平方厘米 D．4000平方厘米19．（2022秋?上城區(qū)期末）已知AB是圓O的直徑，半徑OD⊥BC于點(diǎn)E，的度數(shù)為60°．（1）求證：OE＝DE；（2）若OE＝1，求圖中陰影部分的面積．20．（2022秋?嘉興期末）已知：如圖，弦AB，CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P的直徑，．（1）求證：AB＝CD．（2）連接OP，求證：線段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP＝，AP＝，求陰影部分面積．21．（2022秋?慈溪市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)．（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半徑及陰影部分的面積．22．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖1，在⊙O中，AB為弦，CD為直徑，且AB⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F．連接AC，BO．（1）求證：∠CAE＝∠ADC．（2）若DE＝2OE，求的值．（3）如圖2，若BO的延長線與AC的交點(diǎn)G恰好為AC的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為r．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含r的代數(shù)式表示）．

【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)扇形的半徑為6，弧長等于，則扇形的圓心角度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谥校┮阎刃蔚幕￠L為，圓心角為120°，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)扇形的面積為．弧長為．那么這個(gè)扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．324．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，扇形的圓心角為直角，，點(diǎn)在弧上，以，為鄰邊構(gòu)造，邊交于點(diǎn)，若，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（）

A． B． C． D．6．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，的半徑為8，點(diǎn)Q是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為（）A． B．2π C． D．7．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑，畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上）．若扇形DAE正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（

）A． B．2 C． D．18．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是某圓弧形橋洞，水面跨徑米，小明為了計(jì)算圓弧所在圓的半徑，他在左側(cè)水面處測(cè)得橋洞高米，則圓弧所在圓的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米9．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┮阎刃蔚陌霃绞?，圓心角是，則該扇形的弧長為________．12．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤羯刃蔚膱A心角為，半徑為，則它的面積為______．13．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）年旅游業(yè)迎來強(qiáng)勢(shì)復(fù)蘇．某古城為了吸引游客，決定在山水流淌的江中修筑如圖1所示的“”型圓弧堤壩．若堤壩的寬度忽略不計(jì)，圖2中的兩段圓弧半徑都為米，圓心角都為，則這“”型圓弧堤壩的長為________米．（結(jié)果保留）14．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點(diǎn)E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，若，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為______．

15．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）

16．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則弧的長為__________．

17．（2023·浙江·一模）如圖，將半徑為2的扇形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到扇形，使點(diǎn)O恰好在上，則陰影部分的面積是___________．

18．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，將弦繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在上，延長，交于點(diǎn)E，若，則圖中陰影部分的面積為__________．

三、解答題19．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，將弦繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，延長，交于點(diǎn)．

(1)證明：；(2)若，求圖中陰影部分的面積．20．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，連接、．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長（結(jié)果保留）．21．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，已知的半徑為，四邊形內(nèi)接于，連結(jié)，，．

(1)求的長；(2)求證：平分的外角．22．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┤鐖D，將含角的直角三角板放入半圓中，三點(diǎn)恰好在半圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．23．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，弦與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，現(xiàn)有以下信息：

①為直徑；②；③．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是___________，結(jié)論是___________（