2024學年佛山市順德一中高二數(shù)學上學期12月考試卷附答案解析

學年佛山市順德一中高二數(shù)學上學期12月考試卷本試卷滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合A=1,a,?2，B=2,4,則“A∩B=4”是“A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件2．已知復數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（

）A．-i B．i C．0 D．13.在棱長為的正方體中，點是的中點．設在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.4．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則直線必過定點（

）A． B． C． D．5．為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為A． B． C． D．6．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．7.已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是和．現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，則甲、乙分配獵物的比例應該是（）A.B.C. D.8．圓錐曲線光學性質(zhì)（如圖1所示）：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.如圖2，一個光學裝置由有公共焦點，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與的反射，又回到點路線長為；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過兩次反射后又回到點路線長為.若與的離心率之比為，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.在平面直角坐標系中，直線過原點，且點和點到直線的距離相等，則直線的斜率可以是（）A. B. C. D.10.已知為數(shù)列的前項和，且，則（）A.存在，使得 B.可能是常數(shù)列C.可能是遞增數(shù)列 D.可能是遞減數(shù)列11．已知雙曲線，O為坐標原點，過的右焦點作的一條漸近線的平行線交于點，交的另一條漸近線于點，則（

）A．向量在上的投影向量為B．若為直角三角形，則為等軸雙曲線C．若，則的離心率為D．若，則的漸近線方程為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．13.設、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓上滿足的點的個數(shù)為______．14.佛山是全國著名的工業(yè)城市，這里生產(chǎn)的部分產(chǎn)品通過水路運輸?shù)饺珖酥寥澜纾聢D1是佛山一個貨運碼頭的吊機，其作用是完成集裝箱的裝船或卸船．為了研究其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，工程師把一個吊機的部分結(jié)構(gòu)（圖1中圈住部分）畫成圖2的空間幾何體．若四邊形是矩形，，，，，，，則直線與所成角的余弦值為______．四、解答題：本題共5小題．共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知圓及直線.直線被圓截得的弦長為.(1)求的值；(2)求過點并與圓相切的切線的一般式方程.16．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點.(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.17．男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運動員均進入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響．(1)求甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；(2)決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率．18．如圖，三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，中，，，點平面，點，分別為線段、的中點，且平面，.(1)證明：平面；(2)證明：四邊形為矩形；(3)求平面和平面夾角的余弦值.19．已知圓和定點為圓上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點，設點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若是曲線上的一點，過的直線與直線分別交于S，T兩點，且為線段ST的中點．①求證：直線l與曲線有且只有一個公共點；②求的最小值（為坐標原點）．2024學年佛山市順德一中高二數(shù)學上學期12月考試卷本試卷滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合A=1,a,?2，B=2,4,則“A∩B=4”是“A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件【答案】B2．已知復數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（

）A．-i B．i C．0 D．1【答案】A3.在棱長為的正方體中，點是的中點．設在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合投影向量的定義可求得的值.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，由題意可知，，所以，.故選：C.4．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則直線必過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線方程可得，且焦點在x軸上，由題意和橢圓方程可得：，即可得，運算求解即可.【詳解】由雙曲線可知：，且焦點在x軸上，由題意和橢圓方程可得：，即，可得，所以直線必過定點.故選：A.5．為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線的標準方程可得拋物線的焦點坐標和準線方程,設出,由PF=4以及拋物線的定義列式可得,即,再代入拋物線方程可得點P的縱坐標,再由三角形的面積公式可得.【詳解】由可得拋物線的焦點F(1,0),準線方程為,如圖:過點P作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4,設,則,解得,將代入可得,所以△的面積為=.故選B.【點睛】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì),定義以及三角形的面積公式,關鍵是①利用拋物線的定義求P點的坐標;②利用OF為三角形的底,點P的縱坐標的絕對值為高計算三角形的面積.屬中檔題.6．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D7.已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是和．現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，則甲、乙分配獵物的比例應該是（）A.B.C. D.【答案】A【分析】計算出只有甲或只有乙打中獵物的概率，即可得出甲、乙分配獵物的比例.【詳解】因為甲、乙兩人射擊命中率分別是和，現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，只有甲打中獵物的概率為，只有乙打中獵物的概率為所以，甲、乙分配獵物的比例應該是.故選：A.8．圓錐曲線光學性質(zhì)（如圖1所示）：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.如圖2，一個光學裝置由有公共焦點，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與的反射，又回到點路線長為；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過兩次反射后又回到點路線長為.若與的離心率之比為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為,由橢圓與雙曲線的定義求出兩個圖形中三角形的周長,再出離心率的比值求得，把轉(zhuǎn)化為的關系得答案.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為,在圖2左邊圖形中,由橢圓定義可得：①，由雙曲線定義可得：②，由①②可得：∴△的周長為.在圖2右圖中,光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢反射后經(jīng)過橢圓的另一個焦點，即直線ED經(jīng)過，則△EDF1的周長為,又橢圓與雙曲線焦點相同,離心率之比為，所以，又兩次所用時間分別為m,n,而光線速度相同，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.在平面直角坐標系中，直線過原點，且點和點到直線的距離相等，則直線的斜率可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【分析】分析可知，或直線過線段的中點，即可得出直線的斜率.【詳解】因為，，所以，，故、、不共線，因為直線過原點，且點和點到直線的距離相等，（1）直線，則直線的斜率為；（2）直線過線段的中點，則直線的斜率為.故選：AC.10.已知為數(shù)列的前項和，且，則（）A.存在，使得B.可能是常數(shù)列C.可能是遞增數(shù)列D.可能是遞減數(shù)列【答案】ABD【分析】取，可判斷AB選項；利用反證法可判斷C選項；取，求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】因為為數(shù)列的前項和，且，對于A選項，取，則，則，A對；對于B選項，取，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，可能是常數(shù)列，B對；對于C選項，假設數(shù)列為遞增數(shù)列，則對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，但當時，，矛盾，故數(shù)列不可能是遞增數(shù)列，C錯；對于D選項，取，則，，，猜想，，當時，猜想成立，假設當時，猜想成立，即，則當時，，這說明當時，猜想也成立，故對任意的，，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，D對.故選：ABD.11．已知雙曲線，O為坐標原點，過的右焦點作的一條漸近線的平行線交于點，交的另一條漸近線于點，則（

）A．向量在上的投影向量為B．若為直角三角形，則為等軸雙曲線C．若，則的離心率為D．若，則的漸近線方程為【答案】ABD【分析】由題意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判斷A，由已知可得漸近線的傾斜角為，可判斷B，設，解得，可得，可判斷C，設,可得，代入雙曲線方程，化簡可求漸近線方程，判斷D.【詳解】對于A，由題意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,Q在OF上的投影為OF的中點，在上的投影向量為，故A正確；對于B，若△OQF為直角三角形，可得漸近線的傾斜角為，，，為等軸雙曲線，故B正確；對于C，若，設，則解得或(舍去)，設漸近線的傾斜角為，可得，，，，，，，故C錯誤；對于D，設直線的方程為，與漸近線的交點坐標為，若，則，設，，，在雙曲線上，，，，的漸近線方程為，即，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．13.設、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓上滿足的點的個數(shù)為______．【答案】【分析】分析可知，點在圓上，聯(lián)立圓與橢圓的方程，求出公共解的個數(shù)即可.【詳解】在橢圓中，，，則，若，易知原點為的中點，則，所以，點在以原點為圓心，半徑為的圓上，即點在圓上，聯(lián)立，可得，即點或，即滿足條件的點的個數(shù)為.故答案為：.14.佛山是全國著名的工業(yè)城市，這里生產(chǎn)的部分產(chǎn)品通過水路運輸?shù)饺珖酥寥澜纾聢D1是佛山一個貨運碼頭的吊機，其作用是完成集裝箱的裝船或卸船．為了研究其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，工程師把一個吊機的部分結(jié)構(gòu)（圖1中圈住部分）畫成圖2的空間幾何體．若四邊形是矩形，，，，，，，則直線與所成角的余弦值為______．【答案】##【分析】過點作交于點，連接，分析可知，直線與所成角為或其補角，計算出三邊邊長，結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，過點作交于點，連接，因為，，則四邊形為平行四邊形，則，，則，因為四邊形為矩形，則，則，因為，則直線與所成角為或其補角，由余弦定理可得.因此，直線與所成角的余弦值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題．共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知圓及直線.直線被圓截得的弦長為.(1)求的值；(2)求過點并與圓相切的切線的一般式方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理可得解；（2）易知點在圓外，當切線斜率存在時，設切線方程為，根據(jù)直線與圓相切，可得，又當斜率不存在時，直線與圓相切成立.【詳解】（1）由已知圓，即圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以弦長為，解得或（舍）；（2）由（1）得，則圓，圓心，半徑，則點在圓外，當切線斜率存在時，設切線方程為，即，此時，解得，則直線方程為，即；當切線斜率不存在時，直線方程為，此時滿足直線與圓相切，綜上所述，切線方程為或.16．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點.(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以A為原點，AB，AD，DA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，由證明；（2）由（1）平面，將求直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，由求解.【詳解】（1）以A為原點，AB，AD，DA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系.由題意得，，，.所以，，.設平面的一個法向量為.易知,令，得，所以.，，又平面,平面；（2）由（1）可知平面，故求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，因為，由（1）可知平面的一個法向量為，設直線到平面的距離為.則.17．男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運動員均進入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響．(1)求甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；(2)決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出甲運動員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【詳解】（1）由表中的數(shù)據(jù)可得甲運動員打中10環(huán)的概率為，所以甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為（2）因為甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，因為由題意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為，甲打中9環(huán)的概率為，打中10環(huán)的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為18．如圖，三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，中，，，點平面，點，分別為線段、的中點，且平面，.(1)證明：平面；(2)證明：四邊形為矩形；(3)求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】(1)結(jié)合已知條件，首先利用幾何關系證明，然后利用線面垂直判定定理證明即可；(2)利用線面垂直性質(zhì)和判定定理證明平面，進而得到四邊形為矩形，再結(jié)合的中位線性質(zhì)即可證明；(3)建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，然后利用面面夾角的向量公式求解即可.【詳解】（1）∵，，，∴，，∵是邊長為的等邊三角形，即，∴，故，即，又∵，，，平面，∴平面.（2）取的中點，連接、，如下圖所示：∵是邊長為的等邊三角形，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴平面，又∵平面，∴，即、、、四點共面，∵，，，從而四邊形為矩形，，∵為線段的中點，∴，從而，，∵為線段的中點，∴，，故四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形為矩形.（3）由（1）（2）知、、兩兩垂直