河北省衡水名校2025屆高三第三次測評數學試卷含解析

河北省衡水名校2025屆高三第三次測評數學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味．著名數學家傅立葉研究了樂聲的本質，他證明了所有的樂聲都能用數學表達式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍，稱為基本音的諧波．下列函數中不能與函數構成樂音的是（）A． B． C． D．2．展開式中x2的系數為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12803．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm4．已知復數，其中為虛數單位，則（）A． B． C．2 D．5．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數為（）A． B． C． D．6．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a7．為比較甲、乙兩名高二學生的數學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數學建模素養(yǎng)優(yōu)于數學抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數據分析最差8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B．4C． D．59．已知，，，若，則正數可以為（）A．4 B．23 C．8 D．1710．的展開式中的系數為()A．－30 B．－40 C．40 D．5011．己知集合，，則（）A． B． C． D．12．甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四人中只有一個人說的是真話，則年紀最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中各項系數之和為32，則展開式中x的系數為_____14．雙曲線的左焦點為，點，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的實軸長為________，離心率為________.15．設定義域為的函數滿足，則不等式的解集為__________．16．實數滿足，則的最大值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列滿足，公差，等比數列滿足，，．求數列，的通項公式；若數列滿足，求的前項和．18．（12分）已知，，為正數，且，證明：（1）；（2）.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（，為參數），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線上的點M對應的參數，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.21．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，，，M是橢圓E上的一個動點，且的面積的最大值為.（1）求橢圓E的標準方程，（2）若，，四邊形ABCD內接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.22．（10分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當的面積最小時，求的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數的周期與頻率,考查理解分析能力.2、A【解析】

根據二項式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據二項式的展開式得到可以第一個括號里出項，第二個括號里出項，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點睛】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.3、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.4、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.5、B【解析】

因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.6、C【解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點睛】本題考查復數的概念，屬于基礎題.7、C【解析】

根據題目所給圖像，填寫好表格，由表格數據選出正確選項.【詳解】根據雷達圖得到如下數據：數學抽象邏輯推理數學建模直觀想象數學運算數據分析甲454545乙343354由數據可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數據處理能力和應用意識.8、B【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.9、C【解析】

首先根據對數函數的性質求出的取值范圍，再代入驗證即可；【詳解】解：∵，∴當時，滿足，∴實數可以為8.故選：C【點睛】本題考查對數函數的性質的應用，屬于基礎題.10、C【解析】

先寫出的通項公式，再根據的產生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數是展開式中的系數與的系數之和.令，可得的系數為；令，可得的系數為；故的展開式中的系數為.故選：C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數的求解，關鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎題.11、C【解析】

先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎題.12、C【解析】

分別假設甲乙丙丁說的是真話，結合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答案.【詳解】①假設甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，年紀最大的不是甲；②假設乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，年紀最大的也不是乙；③假設丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，年紀最大的也不是乙；④假設丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年紀最大的，故假設成立，年紀最大的是丙.綜上所述，年紀最大的是丙故選：C.【點睛】本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結論，說明這種情形不會發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2025【解析】

利用賦值法，結合展開式中各項系數之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數.【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數之和，考查二項式展開式指定項系數的求法，屬于基礎題.14、22【解析】

設雙曲線的右焦點為，根據周長為，計算得到答案.【詳解】設雙曲線的右焦點為.周長為：.當共線時等號成立，故，即實軸長為，.故答案為：；.【點睛】本題考查雙曲線周長的最值問題，離心率，實軸長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.15、【解析】

根據條件構造函數F（x），求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論．【詳解】設F（x），則F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函數F（x）在定義域上單調遞增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解為故答案為：【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵．16、．【解析】

畫出可行域，解出可行域的頂點坐標，代入目標函數求出相應的數值，比較大小得到目標函數最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當直線過點時直線的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數的最優(yōu)解問題.線性目標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數求出相應的數值，從而確定目標函數的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，；.【解析】

由，公差，有，，成等比數列，所以，解得.進而求出數列，的通項公式；當時，由，所以，當時，由，，可得，進而求出前項和．【詳解】解：由題意知，，公差，有1，，成等比數列，所以，解得．所以數列的通項公式．數列的公比，其通項公式．當時，由，所以．當時，由，，兩式相減得，所以．故所以的前項和，．又時，，也符合上式，故.【點睛】本題主要考查等差數列和等比數列的概念，通項公式，前項和公式的應用等基礎知識；考查運算求解能力，方程思想，分類討論思想，應用意識，屬于中檔題．18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中檔題.19、（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數，即得曲線的直角坐標方程；再求解，利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得曲線的直角坐標方程；（2）由于，可設，，代入曲線直角坐標方程，可得的關系，轉化，可得解.【詳解】（1）將及對應的參數，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數，所以曲線的直角坐標方程為．設圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標方程為（或），將點代入，得，即，所以曲線的極坐標方程為，所以曲線的直角坐標方程為．（2）由于，故可設，代入曲線直角坐標方程，可得，，所以．【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標，參數方程和一般方程的互化以及極坐標的幾何意義的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.20、（1），（2）最大值，最小值【解析】

（1）由曲線的參數方程，得兩式平方相加求解，根據直線的極坐標方程，展開有，再根據求解.（2）因為曲線C是一個半圓，利用數形結合，圓心到直線的距離減半徑即為最小值，最大值點由圖可知.【詳解】（1）因為曲線的參數方程為所以兩式平方相加得：因為直線的極坐標方程為.所以所以即（2）如圖所示：圓心C到直線的距離為：所以圓上的點到直線的最小值為：則點M(2，0)到直線的距離為最大值：【點睛】本題主要考查參數方程，普通方程及極坐標方程的轉化和直線與圓的位置關系，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，求出，即可得答案；（2）根據題意可知，，因為，所以可設直線CD的方程為，將直線代入曲線的方程