2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．若橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B．2 C．或2 D．或3．設(shè)為實數(shù)，已知直線，若，則（

）A．6 B． C．6或 D．或34．已知空間向量，若向量共面，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，則線段的長為（

）A．5 B． C． D．6．若圓上恰好有兩點到點的距離為3，則整數(shù)的取值個數(shù)共有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個7．已知為坐標(biāo)原點，過點的直線分別與軸、軸交于兩點，使的面積為的直線恰有3條，則為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是上的一點，的內(nèi)切圓圓心為，當(dāng)時，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別為和，點為橢圓上的任意點，下列說法正確的有（

）A．B．的最大值為25C．的最小值為9D．若，則的面積為10．已知圓，直線過點，且交圓于兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．的最小值為C．若的方程是，則圓上僅有3個點到直線的距離為3D．圓在兩點處的切線的交點軌跡方程為11．如圖，在矩形中，是的中點，將沿著直線翻折得到.記二面角的平面角為，當(dāng)?shù)闹翟趨^(qū)間0,π范圍內(nèi)變化時，下列說法正確的有（

）A．存在，使得B．存在，使得C．若四棱錐的體積最大時，點到平面的距離為D．若直線與所成的角為，則三、填空題12．原點到動直線距離的最大值為.13．已知橢圓的右焦點關(guān)于直線對稱的點在橢圓上，則橢圓的離心率為．14．若為平面上兩個定點，則滿足為常數(shù)的動點的軌跡是直線，滿足的動點的軌跡是圓.將此性質(zhì)類比到空間中，解決下列問題：已知點為空間中四個定點，，且兩兩的夾角都是，若動點滿足，動點滿足，則的最小值是.四、解答題15．如圖，在四棱錐中，平面，，，且．(1)求直線與直線所成角的大小；(2)求直線PD與平面PAC所成角的正弦值．16．已知圓.(1)若直線與圓相交，求實數(shù)的取值范圍；(2)若點為軸上一點，過點作圓的切線，切點分別為和.①求四邊形面積的最小值；②當(dāng)點橫坐標(biāo)為4時，求直線的方程.17．已知橢圓上的左焦點為，點為橢圓上一點.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程.18．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是的中點，點在棱上，且.

(1)若平面平面，證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.19．已知點為坐標(biāo)原點，為橢圓上任一點，直線與橢圓相交于兩點.(1)求點到點距離的最小值；(2)求面積的最大值；(3)當(dāng)，直線斜率為1，且點在直線的上方時，的內(nèi)心是否在定直線上？若是，求出該定直線，不是，請說明理由.答案：1．D【詳解】由題意，直線，可得直線的斜率，即，又∵，所以，故選．2．D【詳解】當(dāng)，即焦點在軸上，則,故，解之可得，當(dāng)，即焦點在軸上，，，解之可得，綜上可得的值為或.故選：D3．A【詳解】因為，所以，解得：或.當(dāng)時，，平行；當(dāng)時，，可判斷此時重合，舍去.故選：A4．A【詳解】顯然不共線，故可設(shè)，即，從而，，，故.故選：A.5．C【詳解】因為，所以，所以，即線段的長為.故選：C6．B【詳解】命題等價于到的距離屬于，即，從而.故的所有可能取值為，共個.故選：B.7．B【詳解】由題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，令，得；令，得，則，所以的面積為，當(dāng)時，有，當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，得，此方程無解，所以滿足條件的直線有2條，故A錯誤；當(dāng)時，有，當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，得，解得，所以滿足條件的直線有3條，故B正確；當(dāng)時，有，當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，得，解得，所以滿足條件的直線有4條，故C錯誤；當(dāng)時，有，當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，得，解得，所以滿足條件的直線有4條，故D錯誤.故選：B.8．C【詳解】依題意，，設(shè)橢圓的半焦距為，點，令的內(nèi)切圓切的切點分別為，，聯(lián)立解得，則，消去得：，所以橢圓的離心率.故選：C9．AB【詳解】設(shè)Px,y，則，.對于A，有，，故A正確；對于B，有，且當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，有，故C錯誤；對于D，此時，所以.從而，故D錯誤.故選：AB.10．ABD【詳解】由題意可得，圓心，半徑，對于A，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，此時，故A正確；對于B，易知當(dāng)時，PQ最小，且，此時，故B正確；對于C，若的方程是，則圓心到直線的距離，所以圓上僅有2個點到直線的距離為3，故C錯誤；

對于D，設(shè)Mx,y，，且，，則，，，，所以，化簡可得①，，化簡可得②，①②可得，且在圓上，滿足，即，因此可得，故D正確；故選：ABD11．ACD【詳解】A選項，連接，取的中點，的中點，連接，則，故即為二面角的平面角，即，當(dāng)時，平面，因為平面，所以，因為矩形ABCD中，，，M是AD的中點，所以，故為等腰直角三角形，故，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，存在，使得，A正確；B選項，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，垂直于此平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，當(dāng)時，，此時，，故，故不存在，使得，B錯誤；C選項，當(dāng)時，平面，此時四棱錐的體積最大，此時，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，故點到平面的距離，C正確；D選項，，故，D正確.故選：ACD.12．【詳解】設(shè)原點到直線的距離為，則.當(dāng)時，.所以原點到直線的距離的最大值為2.故2.13．【詳解】如圖所示，點F關(guān)于直線的對稱點為P，交于直線于點M，直線的斜率為，即△MOF是一個的直角三角形，因為原點O為FF'的中點，且M為FP的中點，所以O(shè)M為△PF'F的中位線，所以，△PF'F也是一個直角三角形，且，從而，又.可得，又因為|FF'|＝2c，所以|PF|2+|PF'|2＝|FF'|2，所以，故離心率為．故答案為14．【詳解】設(shè)AB的中點為，一方面，有.所以.另一方面，有.所以，故，即.這就得到.當(dāng)，時，代入即可驗證滿足條件，且.所以的最小值是.故答案為.15．(1)(2)【詳解】（1）由于平面，平面，所以，由于，所以兩兩相互垂直.以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)直線與直線所成角為，則，由于，所以.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線PD與平面PAC所成角為，則.16．(1)(2)①；②【詳解】（1）命題等價于到直線的距離小于，即，解得的取值范圍是.（2）①易知，所以，等號對成立，故最小值是；②因為，所以四點共圓，圓心為的中點，因為，所以圓的半徑為，方程為，即，直線AB為兩圓公共弦所在直線方程，兩圓方程相減整理得直線AB的方程為.17．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)右焦點，則，得，又，故，故橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線垂直于軸時，顯然不符合題意；②當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx聯(lián)立方程則得，故直線的方程為，即.18．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為四邊形正方形，所以.因為平面平面，所以平面.又因為平面，平面平面，所以.因為平面平面，所以平面.（2）因為四邊形是正方形，所以.又因為平面，所以平面.因為，所以平面，因為平面，所以，.由，得.所以.以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.點到平面的距離為，

點到平面的距離為.則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得.設(shè)平面的法向量為，則，取，可得.設(shè)平面與平面的夾角為，則令，則.當(dāng)時，取得最小值，最小值為，所以的最大值為，此時，.故平面與平面的夾角的余弦值的最大值為.19．(1)(2)(3)是，【詳解】（1）依題意可得得，故由于，故當(dāng)時，，即求