高職高等數(shù)學(xué)教案第四章不定積分

第四章不定積分§4-1不定積分的概念與性質(zhì)一、不定積分的概念1.原函數(shù)定義定義1：如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，即對(duì)任一，都有或，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。例：，則是的一個(gè)原函數(shù)；，則都是的原函數(shù)。2.原函數(shù)性質(zhì)定理1：如果在區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間原函數(shù)一定存在。定理2：如果是的一個(gè)原函數(shù)，則是的全體原函數(shù)，且任一原函數(shù)與只差一個(gè)常數(shù)。例：驗(yàn)證都是的原函數(shù)證：，則三個(gè)函數(shù)都是的原函數(shù)3.不定積分定義定義2：的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記作，其中稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。說(shuō)明：如果是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則就是的不定積分，即例1：求解：因?yàn)?，所以是的一個(gè)原函數(shù)則例2：求解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以4.不定積分幾何意義在相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)處切線是平行的，切線斜率都為，可由沿軸平移得到。OOxy例：一條積分曲線過(guò)點(diǎn)，且平移后與重合，求該曲線方程解：設(shè)由于曲線過(guò)則，二、不定積分性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：三、基本積分表(1)(k是常數(shù))(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)例1：求解：例2：求解：例3：求解：例4：求解：注：根式或多項(xiàng)式函數(shù)需化成形式，再利用公式。例5：求解：例6：求解：例7：求解：例8：求解：例9：求解：注：三角函數(shù)不定積分問(wèn)題需要利用三角函數(shù)常用平方和公式及二倍角公式?！?-2換元積分法一、第一類換元積分法定理：如果，則，其中為關(guān)于的任意可微函數(shù)。第一類換元積分法（湊微分法）：對(duì)于不定積分中被積函數(shù)，如果可以將整理成的形式，則設(shè)，則原式例1：求解：設(shè)，則原式例2：求解：設(shè)，則原式例3：求解：設(shè)，則原式注：變量代換熟練后，可省略中間變量換元過(guò)程，直接利用湊微分形式解決問(wèn)題。例4：求解：例5：求解：例6：求解：即同理可得例7：求解：即同理可得含三角函數(shù)（為非負(fù)整數(shù)）形式的積分：（1）若中有一個(gè)奇數(shù)，則將奇次冪分為一次冪與偶次冪的乘積，并將一次冪與湊微分。（2）若同為偶數(shù)，利用三角函數(shù)的倍角公式例8：求解：例9：求解：例10：求（選講）解：即例11：求（選講）解：即例12：求（選講）解：即二、第二類換元積分法定理：設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，又設(shè)有原函數(shù)，是的反函數(shù)，則有例1：求解：設(shè)，則，例2：求解：設(shè)，則，注：若被積函數(shù)中含有被開(kāi)方因式為一次式的根式，如，可設(shè)消去根式，再求積分。例3：求解：設(shè)，則，ttax如圖由于則，，因此例4：求解：設(shè)，則，ttax如圖由于則因此，其中例5：求解：設(shè)，則，ttax如圖由于，則，其中常用積分公式補(bǔ)充：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)§4-3分部積分法1.引入分部積分公式：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為：經(jīng)過(guò)移項(xiàng)可得：兩邊求不定積分可得：，即此公式稱為分部積分公式。2.直接利用分部積分公式例1：求解1：令，則解2：令，則注：1．通過(guò)例子可以看出解2中利用分部積分公式后積分變得更加復(fù)雜，因此應(yīng)恰當(dāng)選擇2．利用分部積分公式后要比容易求解3．選擇的方法：按“反對(duì)冪指三”的順序，靠前為，靠后為例2：求解：令，則例3：求解：令，則例4：求解：令，則注：熟練后可不寫(xiě)出3.多次使用分部積分公式例1：求解：例2：求解：