2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第9講離散型隨機(jī)變量的均值創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第9講離散型隨機(jī)變量的均值、方差和正態(tài)分布[考綱解讀]1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，并能依據(jù)分布列正確求出期望與方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．借助直方圖相識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，駕馭正態(tài)曲線的相關(guān)性質(zhì)，并能進(jìn)行正確求解．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講是高考中的熱點(diǎn)題型．預(yù)料2024年將會(huì)考查：①與分布列相結(jié)合求期望與方差，通過(guò)設(shè)置親密貼近現(xiàn)實(shí)生活的情景，考查概率思想的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；②正態(tài)分布的考查，尤其是正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)的概率．題型為解答題中的一問(wèn)，試題難度不會(huì)太大，屬中檔題型.1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝eq\o(□,\s\up1(01))x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的eq\o(□,\s\up1(02))平均水平．(2)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的eq\o(□,\s\up1(03))平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝eq\o(□,\s\up1(01))aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝eq\o(□,\s\up1(02))a2D(X)(a，b為常數(shù))．3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差XX聽(tīng)從兩點(diǎn)分布X～B(n，p)E(X)eq\o(□,\s\up1(01))peq\o(□,\s\up1(02))npD(X)eq\o(□,\s\up1(03))p(1－p)eq\o(□,\s\up1(04))np(1－p)4．正態(tài)曲線(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線(μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差)．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關(guān)于直線eq\o(□,\s\up1(01))x＝μ對(duì)稱；③曲線在eq\o(□,\s\up1(02))x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ肯定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ肯定時(shí)，曲線的形態(tài)由σ確定，eq\o(□,\s\up1(03))σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；eq\o(□,\s\up1(04))σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．

5.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示假如對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿意P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx(即x＝a，x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝eq\o(□,\s\up1(01))0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝eq\o(□,\s\up1(02))0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝eq\o(□,\s\up1(03))0.9974.1．概念辨析(1)隨機(jī)變量不行以是負(fù)數(shù)，隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)的概率可以是負(fù)數(shù)，隨機(jī)變量的均值不行以是負(fù)數(shù)．()(2)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．()(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小.()(4)一個(gè)隨機(jī)變量假如是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就聽(tīng)從或近似聽(tīng)從正態(tài)分布．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小題熱身(1)已知隨機(jī)變量X的分布列如下，X－202Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則E(X)與D(X)的值分別為()A．0,2 B.0，eq\f(8,3)C．2,0 D.eq\f(8,3)，0答案B解析E(X)＝(－2)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝0，D(X)＝(－2－0)2×eq\f(1,3)＋(0－0)2×eq\f(1,3)＋(2－0)2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3).(2)設(shè)ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝15，D(ξ)＝11.25，則n＝()A．45 B.50C．55 D.60答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Eξ＝np＝15，,Dξ＝np1－p＝11.25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝0.25，,n＝60.))(3)(2024·涼山州模擬)已知隨機(jī)變量ξ，且ξ～N(μ，σ2)，若P(－3<ξ<－1)＝P(3<ξ<5)，則μ＝()A．4 B.2C．1 D.0答案C解析依題意，P(－3<ξ<－1)＝P(3<ξ<5)，又區(qū)間(－3，－1)和(3,5)關(guān)于x＝1對(duì)稱，結(jié)合正態(tài)分布的學(xué)問(wèn)，關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)域所對(duì)應(yīng)的概率相等，所以μ＝1.(4)已知X的分布列為，且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，則a為()A．1 B.2C．3 D.4答案B解析先求出E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).再由Y＝aX＋3，得E(Y)＝aE(X)＋3.∴eq\f(7,3)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋3.解得a＝2.題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差角度1離散型隨機(jī)變量均值與方差的計(jì)算問(wèn)題1．不透亮袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個(gè)紅球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從中逐個(gè)不放回地摸出小球，直到取出全部紅球?yàn)橹?，則摸取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()A.eq\f(18,5) B.eq\f(9,2)C.eq\f(36,7) D.eq\f(16,3)答案D解析當(dāng)x＝k時(shí)，第k次取出的必定是紅球，而前k－1次中，有且只有1次取出的是紅球，其余次數(shù)取出的皆為黑球，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(1,k－1),C\o\al(2,7))＝eq\f(k－1,21)，于是得到X的分布列如下．X234567Peq\f(1,21)eq\f(2,21)eq\f(1,7)eq\f(4,21)eq\f(5,21)eq\f(2,7)故E(X)＝2×eq\f(1,21)＋3×eq\f(2,21)＋4×eq\f(1,7)＋5×eq\f(4,21)＋6×eq\f(5,21)＋7×eq\f(2,7)＝eq\f(16,3).2．(2024·濟(jì)南模擬)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則P(X<1)＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)答案eq\f(2,3)解析∵E(X)＝0，D(X)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－12×a＋02×b＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))又a，b，c∈[0,1]，∴a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4)，P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2,3).角度2二項(xiàng)分布的均值、方差問(wèn)題3．(2024·南陽(yáng)模擬)設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，隨機(jī)變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則D(3Y＋1)＝()A．2 B.3C．6 D.7答案C解析∵隨機(jī)變量X～B(2，p)，P(X≥1)＝eq\f(5,9)，∴P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＝eq\f(4,9).∴p＝eq\f(1,3)，∴D(Y)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，∴D(3Y＋1)＝9D(Y)＝6.4．(2024·泉州模擬)2024年，依托用戶碎片化時(shí)間的消遣需求、共享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起．與此同時(shí)，移動(dòng)閱讀方興未艾，從側(cè)面反映了人們對(duì)精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾消遣所帶來(lái)的短暫愉悅后，部分用戶照舊對(duì)有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊(yùn)的肅穆閱讀青睞有加．某讀書(shū)App抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日運(yùn)用時(shí)長(zhǎng)(單位：分)，繪制成頻率分布直方圖如下，其中日運(yùn)用時(shí)長(zhǎng)不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．(1)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)以下2×2列聯(lián)表，并推斷是否有99.5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)？活躍用戶不活躍用戶總計(jì)城市M城市N總計(jì)(2)以頻率估計(jì)概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該讀書(shū)App還統(tǒng)計(jì)了2024年4個(gè)季度的用戶運(yùn)用時(shí)長(zhǎng)y(單位：百萬(wàn)小時(shí))，發(fā)覺(jué)y與季度(x)線性相關(guān)，得到回來(lái)直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^)).已知這4個(gè)季度的用戶平均運(yùn)用時(shí)長(zhǎng)為12.3百萬(wàn)小時(shí)，試以此回來(lái)方程估計(jì)2024年第一季度(x＝5)該讀書(shū)App用戶運(yùn)用時(shí)長(zhǎng)約為多少百萬(wàn)小時(shí)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828解(1)由已知條件可得以下2×2列聯(lián)表：活躍用戶不活躍用戶總計(jì)城市M6040100城市N8020100總計(jì)14060200因?yàn)镵2＝eq\f(200×60×20－80×402,100×100×140×60)＝eq\f(200,21)≈9.524>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為用戶是否活躍與所在城市有關(guān)．(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，城市M中活躍用戶占eq\f(3,5)，城市N中活躍用戶占eq\f(4,5).設(shè)從城市M中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,5))).設(shè)從城市N中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)為Y，則Y聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，其中P(Y＝1)＝eq\f(4,5).由題意可得，ξ的全部可能的取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(X＝0)·P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\f(1,5)＝eq\f(4,125)；P(ξ＝1)＝P(X＝0)·P(Y＝1)＋P(X＝1)·P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\f(4,5)＋Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,5)·eq\f(2,5)·eq\f(1,5)＝eq\f(28,125)；P(ξ＝2)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,5)·eq\f(3,5)·eq\f(4,5)＋Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2·eq\f(1,5)＝eq\f(57,125)；P(ξ＝3)＝P(X＝2)·P(Y＝1)＝Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2·eq\f(4,5)＝eq\f(36,125).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(4,125)eq\f(28,125)eq\f(57,125)eq\f(36,125)E(ξ)＝0×eq\f(4,125)＋1×eq\f(28,125)＋2×eq\f(57,125)＋3×eq\f(36,125)＝2.(3)由已知條件得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5.又eq\o(y,\s\up6(－))＝12.3，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得12.3＝4×2.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝2.3，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋2.3.將x＝5代入上式，得eq\o(y,\s\up6(^))＝4×5＋2.3＝22.3(百萬(wàn)小時(shí))，所以2024年第一季度該讀書(shū)App用戶運(yùn)用時(shí)長(zhǎng)約為22.3百萬(wàn)小時(shí)．角度3超幾何分布的均值、方差問(wèn)題5．(2024·青島二中模擬)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和個(gè)人收入的提高，自2018年10月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率依法進(jìn)行調(diào)整．其中，納稅人的工資、薪金所得，先行以每月收入額減除費(fèi)用五千元以及專項(xiàng)扣除和依法確定的其他扣除后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：個(gè)人所得稅稅率表(調(diào)整前)免征額3500元級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率(%)1不超過(guò)1500元的部分32超過(guò)1500元至4500元的部分103超過(guò)4500元至9000元的部分20………個(gè)人所得稅稅率表(調(diào)整后)免征額5000元級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率(%)1不超過(guò)3000元的部分32超過(guò)3000元至12000元的部分103超過(guò)12000元至25000元的部分20………(1)假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入為7500元(無(wú)專項(xiàng)扣除和依法確定的其他扣除)，請(qǐng)你幫小李算一下調(diào)整后小李的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少？(2)某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同級(jí)別員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入/元[3000，5000)[5000，7000)[7000，9000)[9000，11000)[11000，13000)[13000，15000]人數(shù)304010875先從收入在[3000,5000)及[5000,7000)的員工中按分層抽樣抽取7人，再?gòu)闹羞x4人作為新納稅法學(xué)問(wèn)宣講員．用a表示抽到作為宣講員的收入在[3000,5000)元的人數(shù)，b表示抽到作為宣講員的收入在[5000,7000)元的人數(shù)．設(shè)隨機(jī)變量Z＝|a－b|，求Z的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．解(1)由于小李的工資、薪金等所得稅前收入為7500元，按調(diào)整前起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為1500×3%＋2500×10%＝295(元)．按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為2500×3%＝75(元)．比較兩個(gè)納稅方案可知，按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅比調(diào)整前少交220元．所以調(diào)整后小李的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了220元．(2)①由頻數(shù)分布表可知從收入在[3000,5000)及[5000,7000)的員工中抽取7個(gè)，其中收入在[3000,5000)內(nèi)的有3人，收入在[5000,7000)內(nèi)的有4人，再?gòu)倪@7人中選4人，所以Z的全部可能的取值為0,2,4.P(Z＝0)＝P(a＝2，b＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(Z＝2)＝P(a＝1，b＝3)＋P(a＝3，b＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3)C\o\al(1,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(16,35)，P(Z＝4)＝P(a＝0，b＝4)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).所以Z的分布列如下，Z024Peq\f(18,35)eq\f(16,35)eq\f(1,35)數(shù)學(xué)期望E(Z)＝0×eq\f(18,35)＋2×eq\f(16,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(36,35).方差D(Z)＝eq\f(18,35)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(36,35)))2＋eq\f(16,35)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(36,35)))2＋eq\f(1,35)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(36,35)))2＝eq\f(1504,1225).(1)求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟①理解X的意義，寫(xiě)出X的全部可能取值．②求X取每個(gè)值的概率．③寫(xiě)出X的分布列．④由均值的定義求E(X)．⑤由方差的定義求D(X)．(2)留意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機(jī)變量X的均值為E(X)，則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aX＋b的均值是aE(X)＋b，方差為a2D(X)．(3)假如ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大削減計(jì)算量．見(jiàn)舉例說(shuō)明3.1．(2024·南充市高三摸底)設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，又X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3，則a－b＝()A.eq\f(1,10) B.0C．－eq\f(1,10) D.eq\f(1,5)答案A解析設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，∴(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，a＝eq\f(1,10)，b＝0，∴a－b＝eq\f(1,2．(2024·沈陽(yáng)模擬)隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮．為調(diào)查某款訂餐軟件上商家的服務(wù)狀況，統(tǒng)計(jì)了10次訂餐“送達(dá)時(shí)間”(單位：分)，得到莖葉圖如下：(1)請(qǐng)計(jì)算“送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)與方差；(2)依據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下表：送達(dá)時(shí)間35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)超過(guò)35分鐘頻數(shù)AB頻率CD(3)在(2)的狀況下，以頻率代替概率．現(xiàn)有3個(gè)客戶用此軟件訂餐，求出在35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)X的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望．解(1)“送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為eq\f(28＋29＋32＋34＋34＋35＋36＋38＋41＋43,10)＝35(分)，方差為eq\f(1,10)×[(28－35)2＋(29－35)2＋(32－35)2＋(34－35)2＋(34－35)2＋(35－35)2＋(36－35)2＋(38－35)2＋(41－35)2＋(43－35)2]＝20.6.(2)A＝6，B＝4，C＝0.6，D＝0.4.(3)由題意知，在35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)X的全部可能的取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.60×0.43＝0.064；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.6×0.42＝0.288；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×0.4＝0.432；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.63×0.40＝0.216.所以X的分布列如下，X0123P0.0640.2880.4320.216所以E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8(或X聽(tīng)從二項(xiàng)分布B(3,0.6)，E(X)＝3×0.6＝1.8)．3．(2024·漳州二模)某市電視臺(tái)舉辦紀(jì)念紅軍長(zhǎng)征成功學(xué)問(wèn)回答活動(dòng)，宣揚(yáng)長(zhǎng)征精神，首先在甲、乙、丙、丁四個(gè)不同的公園進(jìn)行支持簽名活動(dòng)．公園甲乙丙丁獲得簽名人數(shù)45603015然后在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運(yùn)之星回答問(wèn)題，從10個(gè)關(guān)于長(zhǎng)征的問(wèn)題中隨機(jī)抽取4個(gè)問(wèn)題讓幸運(yùn)之星回答，全部答對(duì)的幸運(yùn)之星獲得一份紀(jì)念品．(1)求此活動(dòng)中各公園幸運(yùn)之星的人數(shù)；(2)若乙公園中每位幸運(yùn)之星對(duì)每個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為eq\f(\r(2),2)，求乙公園中恰好2位幸運(yùn)之星獲得紀(jì)念品的概率；(3)若幸運(yùn)之星小李對(duì)其中8個(gè)問(wèn)題能答對(duì)，而另外2個(gè)問(wèn)題答不對(duì)，記小李答對(duì)的問(wèn)題數(shù)為X，求X的分布列、期望及方差．解(1)甲、乙、丙、丁四個(gè)公園幸運(yùn)之星的人數(shù)分別為eq\f(45,150)×10＝3，eq\f(60,150)×10＝4，eq\f(30,150)×10＝2，eq\f(15,150)×10＝1.(2)依據(jù)題意，乙公園中每位幸運(yùn)之星獲得紀(jì)念品的概率為Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))4＝eq\f(1,4)，所以乙公園中恰好2位幸運(yùn)之星獲得紀(jì)念品的概率為Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,128).(3)由題意，知X的全部可能取值2,3,4，聽(tīng)從超幾何分布，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(2,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8)C\o\al(1,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,15)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,8)C\o\al(0,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,3).所以X的分布列為X234Peq\f(2,15)eq\f(8,15)eq\f(1,3)期望E(X)＝2×eq\f(2,15)＋3×eq\f(8,15)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(16,5)，方差D(X)＝eq\f(2,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(16,5)))2＋eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(16,5)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(16,5)))2＝eq\f(32,75).題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用(2024·南昌模擬)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈運(yùn)用壽命都超過(guò)5000小時(shí)．經(jīng)銷商對(duì)B型節(jié)能燈運(yùn)用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖，某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年．新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5只(同種型號(hào))即可正常營(yíng)業(yè)．經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝．已知A型和B型節(jié)能燈每只的價(jià)格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí)．假定該店面正常營(yíng)業(yè)一年的照明時(shí)間為3600小時(shí)，若正常營(yíng)業(yè)期間燈壞了馬上購(gòu)買同型燈更換．(用頻率估計(jì)概率)(1)若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，求一年內(nèi)恰好更換了2只燈的概率；(2)若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)由頻率分布直方圖可知，B型節(jié)能燈運(yùn)用壽命超過(guò)3600小時(shí)的頻率為0.0010×(3800－3600)＝0.2.用頻率估計(jì)概率，得B型節(jié)能燈運(yùn)用壽命超過(guò)3600小時(shí)的概率為eq\f(1,5).所以一年內(nèi)一只B型節(jié)能燈在運(yùn)用期間須要更換的概率為eq\f(4,5).所以一年內(nèi)5只節(jié)能燈恰好更換了2只的概率為Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(32,625).(2)該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．理由如下：一共須要安裝5只同種節(jié)能燈．若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870(元)．若選擇B型節(jié)能燈，由于B型節(jié)能燈一年內(nèi)需更換的只數(shù)聽(tīng)從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(4,5)))，所以一年需更換燈的只數(shù)的數(shù)學(xué)期望為5×eq\f(4,5)＝4(只)．所以一年共需花費(fèi)(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．因?yàn)?67.3>870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．解離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問(wèn)題的方法(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的全部可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)要留意視察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算，則更為簡(jiǎn)潔．(3)在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時(shí)，就須要用D(ξ1)與D(ξ2)來(lái)比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度．即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案.(2024·湖北四地七校聯(lián)考)有甲、乙兩家公司都須要聘請(qǐng)求職者，這兩家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司職位ABCD職位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1(1)依據(jù)以上信息，假如你是該求職者，你會(huì)選擇哪一家公司？說(shuō)明理由；(2)某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場(chǎng)人士，就選擇這兩家公司的意愿做了統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)分布：選擇意愿人員結(jié)構(gòu)40歲以上(含40歲)男性40歲以上(含40歲)女性40歲以下男性40歲以下女性選擇甲公司11012014080選擇乙公分析選擇意愿與年齡這兩個(gè)分類變量，計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值為k1＝5.5513，則得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是多少？并用統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)問(wèn)分析，選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879解(1)設(shè)甲公司與乙公司的月薪分別為隨機(jī)變量X，Y，則E(X)＝6000×0.4＋7000×0.3＋8000×0.2＋9000×0.1＝7000，E(Y)＝5000×0.4＋7000×0.3＋9000×0.2＋11000×0.1＝7000，D(X)＝(6000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(8000－7000)2×0.2＋(9000－7000)2×0.1＝10002，D(Y)＝(5000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(9000－7000)2×0.2＋(11000－7000)2×0.1＝20002，則E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，我希望不同職位的月薪差距小一些，故選擇甲公司；或我希望不同職位的月薪差距大一些，故選擇乙公司．(2)因?yàn)閗1＝5.5513＞5.024，依據(jù)表中對(duì)應(yīng)值，得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是0.025，由數(shù)據(jù)分布可得選擇意愿與性別兩個(gè)分類變量的2×2列聯(lián)表如下：選擇甲公司選擇乙公司總計(jì)男250350600女200200400總計(jì)4505501000計(jì)算K2＝eq\f(1000×250×200－350×2002,600×400×450×550)＝eq\f(2000,297)≈6.734，且K2＝6.734＞6.635，比照臨界值表得出結(jié)論“選擇意愿與性別有關(guān)”的犯錯(cuò)誤的概率上限為0.01，由0.01＜0.025，所以與年齡相比，選擇意愿與性別關(guān)聯(lián)性更大．題型三正態(tài)分布的應(yīng)用1．設(shè)X～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是()(注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝95.44%)A．7539 B.6038C．7028 D.6587答案D解析∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，∵P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.26%，∴則P(0＜X≤2)＝68.26%，則P(1＜X≤2)＝34.13%，∴陰影部分的面積為0.6587，∴點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P＝eq\f(0.6587,1)＝0.6587.∴正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是6587.故選D.條件探究若將本例中“正方形”改為“矩形”，“X～N(1,1)”變?yōu)椤癤～N(－1,1)，陰影部分如圖所示”，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是________．答案9547解析對(duì)于正態(tài)分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，故P(0<X≤1)＝eq\f(1,2)×[P(－3<X≤1)－P(－2<X≤0)]＝eq\f(1,2)×[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P＝eq\f(1×3－0.1359,1×3)＝0.9547，投入10000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為10000×0.9547＝9547.2．(2024·蚌埠三模)我市高三年級(jí)其次次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)成果X近似聽(tīng)從正態(tài)分布N(82，σ2)，且P(74<X<82)＝0.42.已知我市某校有800人參與此次考試，據(jù)此估計(jì)該校數(shù)學(xué)成果不低于90分的人數(shù)為_(kāi)_______．答案64解析因?yàn)閿?shù)學(xué)成果X近似聽(tīng)從正態(tài)分布N(82，σ2)，所以數(shù)學(xué)成果X關(guān)于X＝82對(duì)稱，因?yàn)镻(74<X<82)＝0.42.所以P(82<X<90)＝0.42.P(X≥90)＝P(X≤74)＝eq\f(1－0.42×2,2)＝0.08，所以我市某校有800人參與此次考試，據(jù)此估計(jì)該校數(shù)學(xué)成果不低于90分的人數(shù)為0.08×800＝64.正態(tài)分布下兩類常見(jiàn)的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性探討相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的學(xué)問(wèn)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要留意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè).1．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B.μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D.μ1＞μ2，σ1＞σ2答案A解析μ反映正態(tài)分布的平均水平，x＝μ是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，由圖知μ1<μ2，σ反映正態(tài)分布的離散程度，σ越大，曲線越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲線越“高瘦”，表明越集中，由圖知σ1<σ2.2．(2024·九江三模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：千克)聽(tīng)從正態(tài)分布N(90,64)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在區(qū)間(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544)()A．8185件 B.6826件C．4772件 D.2718件答案A解析依題意，μ＝90，σ＝8，∴P(82<X<106)＝0.9544－eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.8185，∴質(zhì)量在區(qū)間(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有10000×0.8185＝8185件．組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·保定二模)已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.1，則P(2≤ξ<4)為()A．0.7 B.0.5C．0.4 D.0.35答案C解析由P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.1，可得μ＝4，且P(2≤ξ<4)＝eq\f(1,2)×(1－0.1×2)＝0.4.2．已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是()A．6和2.4 B.2和2.4C．2和5.6 D.6和5.6答案B解析由已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.故選B.3．(2024·湖南湘西二模)已知甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同一種零件，X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時(shí)間，X，Y的分布列分別是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此推斷()A．甲比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好B．乙比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好C．甲與乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量相同D．無(wú)法推斷答案A解析E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好．4．(2024·浙江嘉興適應(yīng)性訓(xùn)練)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A．2 B.3C．4 D.5答案C解析p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2?a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1.∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.5．(2024·廣州二模)從某班6名學(xué)生(其中男生4人，女生2人)中任選3人參與學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝()A.eq\f(4,5) B.1C.eq\f(7,5) D.2答案B解析因?yàn)棣危?,1,2，所以P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，因此E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.6．(2024·浙江金麗衢十二校第一次聯(lián)考)五人進(jìn)行過(guò)關(guān)嬉戲，每人隨機(jī)出現(xiàn)左路和右路兩種選擇．若選擇同一條路的人數(shù)超過(guò)2人，則他們每人得1分；若選擇同一條路的人數(shù)小于3人，則他們每人得0分，記小強(qiáng)嬉戲得分為ξ，則E(ξ)＝()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,16)C.eq\f(5,8) D.eq\f(1,2)答案B解析五人進(jìn)行過(guò)關(guān)嬉戲，每人隨機(jī)出現(xiàn)左路和右路兩種選擇．若選擇同一條路的人數(shù)超過(guò)2人，則他們每人得1分；若選擇同一條路的人數(shù)小于3人，則他們每人得0分，∴P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(11,16)，P(ξ＝0)＝1－eq\f(11,16)＝eq\f(5,16)，∴E(ξ)＝1×eq\f(11,16)＋0×eq\f(5,16)＝eq\f(11,16).7．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中記隨機(jī)變量ξ＝“|a－b|的取值”，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為()A.eq\f(8,9) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,3)答案A解析由于對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故－eq\f(b,2a)＜0，故a，b同號(hào)，基本領(lǐng)件有3×3×7×2＝126，ξ的可能取值有0,1,2三種．P(ξ＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9)，故期望值為0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9)，故選A.8．(2024·日照模擬)某市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成果ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.40，若按成果分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為_(kāi)_______．答案10解析P(ξ>120)＝eq\f(1,2)[1－2P(80<ξ≤100)]＝0.10，所以應(yīng)從120分以上的試卷中抽取100×0.10＝10份．9．(2024·綿陽(yáng)模擬)一個(gè)盒子裝有3個(gè)紅球和2個(gè)藍(lán)球(小球除顏色外其他均相同)，從盒子中一次性隨機(jī)取出3個(gè)小球后，再將小球放回．重復(fù)50次這樣的試驗(yàn)．記“取出的3個(gè)小球中只有2個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球”發(fā)生的次數(shù)為ξ，則ξ的方差是________．答案12解析由題意知ξ～B(n，p)，其中n＝50，P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以D(ξ)＝50×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝12.10．一個(gè)人將編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)叫做放對(duì)了，否則叫做放錯(cuò)了．設(shè)放對(duì)的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的期望值為_(kāi)_______．答案1解析將四個(gè)小球放入四個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，共有Aeq\o\al(4,4)種不同放法，放對(duì)的個(gè)數(shù)ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝eq\f(9,A\o\al(4,4))＝eq\f(3,8)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，所以E(ξ)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,24)＝1.組實(shí)力關(guān)1．已知5臺(tái)機(jī)器中有2臺(tái)存在故障，現(xiàn)須要通過(guò)逐臺(tái)檢測(cè)直至區(qū)分出2臺(tái)故障機(jī)器為止．若檢測(cè)一臺(tái)機(jī)器的費(fèi)用為1000元，則所需檢測(cè)費(fèi)用的均值為()A．3200 B.3400C答案C解析設(shè)檢測(cè)的機(jī)器的臺(tái)數(shù)為X，則X的全部可能取值為2,3,4.P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3)A\o\al(3,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，所以E(X)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝3.5，所以所需檢測(cè)費(fèi)用的均值為1000×3.5＝3500.2．(2024·巢湖模擬)某次考試共有12個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題的分值為5分，每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，A學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握，最終選擇題的得分為X，B學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能推斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，對(duì)其他三個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握，選擇題的得分為Y，則D(Y)－D(X)的值為()A.eq\f(125,12) B.eq\f(35,12)C.eq\f(27,4) D.eq\f(23,4)答案A解析設(shè)A學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為m，則得分X＝5m(分)，m～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(1,4)))，D(m)＝12×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,4)，所以D(X)＝25×eq\f(9,4)＝eq\f(225,4).同理，設(shè)B學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為n，則得分Y＝5n(分)，n～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(1,3)))，D(n)＝12×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，所以D(Y)＝eq\f(8,3)×25＝eq\f(200,3)，所以D(Y)－D(X)＝eq\f(200,3)－eq\f(225,4)＝eq\f(125,12).3．(2024·梧州一模)某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位數(shù)，A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位數(shù)中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3)，記X＝a2＋a3＋a4＋a5，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________；方差D(X)＝________.答案eq\f(8,3)eq\f(8,9)解析由題意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴數(shù)學(xué)期望E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，方差D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9).4．(2024·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)某工廠有甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人．為比較兩個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率，采納分層抽樣的方法抽取工人．甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作其次組，并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時(shí)間(單位：min)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，依據(jù)[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]進(jìn)行分組，得到下列統(tǒng)計(jì)圖．(1)分別估算兩個(gè)車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于75min的人數(shù)；(2)分別估計(jì)兩個(gè)車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間的平均值，并推想哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高；(3)從第一組生產(chǎn)時(shí)間少于75min的工人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時(shí)間少于65min的工人人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解(1)由題意，得第一組工人有20人，其中在75min內(nèi)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，∴甲車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于75min的人數(shù)為6×10＝60.其次組工人有40人，其中在75min內(nèi)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40×(0.025＋0.050)×10＝30(人)，∴乙車間的工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于75min的人數(shù)為30×10＝300.(2)第一組的平均時(shí)間為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(60×2＋70×4＋80×10＋90×4,20)＝78(min)，其次組的平均時(shí)間為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝60×0.25＋70×0.50＋80×0.20＋90×0.05＝70.5(min)．∵eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，∴乙車間工人生產(chǎn)效率更高．(3)由題意，得第一組生產(chǎn)時(shí)間少于75min的工人有6人，其中生產(chǎn)時(shí)間少于65min的有2人，從中抽取3人，則X可能的取值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\