2021中考一輪幾何復(fù)習(xí) 直角三角形與勾股定理-答案

2021中考一輪幾何專題復(fù)習(xí)直角三角形與勾股

定理-講評(píng)卷

一、選擇題（本大題共io道小題）

i.如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（）

A.平移變換B.相似變換

C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換

【答案】B

2.如圖，△ABOsaC。。，若80=6,DO=3,CD=2,則A8的長(zhǎng)是)

A.2D.5

【答案】C

3.下列命題是真命題的是（）

A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為2；3

B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4；9

C.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為2；3

D.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4；9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為4；9

【答案】B

4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在A3和AC邊上，DE//BC,M為BC邊上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），連接AM交OE于點(diǎn)N,則（）

A

BMC

ADAN

A.而二而

BDMN

B.而二還

DNNE

C,BM=MC

DNNE

【答案】c［解析］根據(jù)。后〃8C,可得AADNsAABM,AANES^AMC,再應(yīng)

用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

DNAN

,JDN//BM,:.AADNsAABM,.,.麗=麗，'JNE//MC,：.△ANE^^AMC,

NEANDNNE

；.MC=AM,，麗=近故選C.

5.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與

△481。相似的是（）

【答案】B［解析］根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，同理利用勾股

定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長(zhǎng)，利用三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角

形相似可得結(jié)果，△AiBG各邊長(zhǎng)分別為1,也,6選項(xiàng)A中陰影三角形三

邊長(zhǎng)分別為:「，&3,三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相

似;選項(xiàng)B中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:業(yè)，2,回,三邊與已知三角形的各邊對(duì)

應(yīng)成比例，故兩三角形相似;選項(xiàng)C中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:1,4,2業(yè)，三

邊不與己知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)D中陰影三角形三

邊長(zhǎng)分別為：2,拜，眄三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不

相似，故選B.

6.如圖平行四邊形A3CD中，尸為8C中點(diǎn)，延長(zhǎng)AO至E,使。

連接EF交0c于點(diǎn)G,則SADEC:SACFG=()

A.2；3B.3：2D.4:9

【答案】D［解析］因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AO=BC因?yàn)镈E：

AD=\：3,F為BC中點(diǎn),所以DE.,。4？；3,因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BC。中，DE

//CF,所以ADEGsACFG,相似比為2：3,所以SADEG；SACFC=4；9.故選

D.

7.如圖①，長(zhǎng)、寬均為3,高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高為6,繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②

是此時(shí)的示意圖，則圖②中水面高度為（）

2420國(guó)

A.虧D.17

【答案】A［解析］如圖所示.設(shè)。M=x,則CM=8-x,

1

根據(jù)題意得:％8-x+8）x3x3=3x3x6,解得x=4,：.DM=4.

'：ZD=90°.

...由勾股定理得：

222

BM=1BD'2+DM=j4+3=5

過(guò)點(diǎn)B作8”，水平桌面于H,'：ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,

：.ZHBA=ZDBM,

,?NA”8=NO=90°,

BHBDBH32424

：.XABHS/\MBD,:.而=麗,即石=耳，解得8”=可，即水面高度為5

8.如圖所示，P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P垂直于AC的直線交

菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)，設(shè)AC=2,BD=1,AP=x,Z\AMN的面積為

y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是（）

【答案】C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和二

次函數(shù)的圖象和性質(zhì).解題思路：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)0,由于點(diǎn)P是菱形ABCD

AP

的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，所以0VxV2.當(dāng)OVxVl時(shí)，△AMNS^ABD=仄K=

畿，;=^[=MN=xo=42.此二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x=0,

JDU11z

此時(shí)y隨X的增大而增大.所以B和D均不符合條件.當(dāng)1VxV2時(shí)，ACMN

CPMN2—xMN11

0°ACBD=>7^=-^r=>-:-=~=MN=2—x=y=5x（2—x）=—5x2+x.止匕二次

K-XUJIJI4乙

函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸是x=l,此時(shí)y隨X的增大而減小.所以A不符

合條件.綜上所述，只有C是符合條件的.

9.如圖，弦CD垂直于。0的直徑AB,垂足為H,且CD=2/,BD=小,則

AB的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B【解析】由垂徑定理可得DH=，L所以BH=A/BD2—DH2=1,又

可得△DHBsaADB,所以有BD2=BH-BA,（小）2=1XBA,AB=3.

10.如圖，在放AABC中，ZC=90°,NCAB的平分線交BC于D,DE是AB

的垂直平分線，垂足為E.若BC=3,則DE的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A【解析】’.?A。是NBAC的平分線，AC1BC,AELDE,：.DC=DE,

AE=AC.又?.?OE是AB的垂直平分線，：.BE=AE,即AB=2AE=2AC,

r1

30。.設(shè)OE=x,則3。=3—x.在RtaBOE中，~-=彳，解得x=1,...OE的長(zhǎng)為

3—x2

二、填空題（本大題共6道小題）

11.如圖，在△ABC中，ZACD=ZB,若A￡>=2,BD=3,則AC長(zhǎng)為.

【答案】、1°［解析了.?NACD=N8,ZCAD=ZBAC,A△/ICD^AABC,

ACADAC2

：.AB='AC9即2+3=而,

，AC=J1°或AC=-M（舍去）.

12.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m,同時(shí)同地測(cè)得一棟樓

的影長(zhǎng)為90m,則這棟樓的高度為m.

【答案】54

13.如圖，在口ABC。中，過(guò)對(duì)角線BD上一點(diǎn)P作EF//BC,GH//AB,且CG=2BG,

SABPG=1,則

AHD

EP

BGC

【答案】4［解析］由“平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形”

可推出nAEP”的面積等于QPGCP的面積.

'：CG=2BG,：.BG：BC=lZ3,BG：PF：2.

?：XBPGs叢BDC,且相似比為1；3,

/.SABDC=9S&BPG=9.

BPGS/XPDF,且相似比為I；2,

/.SAPDF=4S&BPG=4.

/.SAEPH=SPGCF=9-1-4=4.

14.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題:“今有勾五步，股十二

步，問(wèn)勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為5步，股（長(zhǎng)

直角邊）長(zhǎng)為12步，問(wèn)該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步?”該問(wèn)題

的答案是步.

60

【答案】我［解析］如圖①，?.?四邊形。EF是正方形，.?.CD=ED=C￡

設(shè)ED=x,則CD=x,AD=l2-x.

'：DE//CF,：.ZADE=ZC,NAED=NB,

：.^ADE^AACB,

DEADx12-x60

：.BC=AC,.?.虧=F-,：.x=17.

AA

E

如圖②，四邊形DGFE是正方形，過(guò)C作CPA.AB于P,交。G于。

1160

SAABC=^ACBC=2AB-CP.則12x5=13CP,：.CP=^.

DGCQ

設(shè)同理得:△CDGsZ^C45,???麗二而，

60

正-y

上B至2絲

.,.13=15,y=229<17,

6060

...該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是F步，故答案為:五

15.如圖，△OAB與^OCD是以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形，相似比為3：4,

NOCD=90°,ZAOB=60°,若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【答案】(2,2琳)［解析］如圖,作AEL軸于E,

'：ZOCD=90°,ZAOB=6Q°,

：.ZABO=ZOAE=2>0°.

1

???點(diǎn)5的坐標(biāo)是(6,0),：.AO=^OB=3,

13

???OE=2OA=2,

22322

?AE-JOA-OF_J-(I)Jr

/33陰、

：.A\^~T).

。4?與4OCD是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，相似比為3；4,

/343^4.

點(diǎn)C的坐標(biāo)為~TX3),即(2,2A/3).

16.如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=\5,AC=20,點(diǎn)。在邊AC上，

AD=5,0EL3C于點(diǎn)￡,連接AE,則AABE的面積等于.

;

【答案】78【解析】如解圖，過(guò)A作AHLBC,VAB=15,AC=20,ZBAC

=90°,...由勾股定理得，BC=^/152+202=25,VAD=5,.*.DC=20-5=15,

VDE1BC,ZBAC=90°,AACDE^ACBA,二法=中/.CE=^x20=12.

CAUJDZJ

法-*：BC,AH=AB-AC,AH—口r——T7=12,SAABE=5X12x13=78.

DUZDz

,,一/-已--------%.A-/口CDED9x20

法—.：DE—,\/15-12=9,由△CDEsaCAH可得，「卜=口A‘AH——rz-=

'LAHAID

12,SAABE=2X12X13=78.

RHEC

三、解答題(本大題共5道小題)

17.如圖，ZkABC為銳角三角形，是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊EG

在BC上，頂點(diǎn)￡,“分別在AB,AC上，己知BC=40cm,49=30cm.

(1)求證:△AEH^AABC;

(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積.

BFDGC

【答案】

［解析］(1)根據(jù)EH//BC即可證明.

(2)設(shè)與EH交于點(diǎn)M,首先證明四邊形是矩形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為％,

EHAM

利用△AE”SA4BC,得前=而，列出方程即可解決問(wèn)題.

解:(1)證明:?.?四邊形EFG”是正方形，

J.EH//BC,

：.ZAEH=ZB,NAHE=/C,

ABC.

(2)如圖，設(shè)AD與E”交于點(diǎn)M.

/EFD=NFEM=NFDM=90°,

四邊形EFDM是矩形,

：.EF=DM.

設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為xcm,

VA

EHAMx30-x

：.^C=AD,：.40=30,

120

'.X=7,

120

，正方形EFGH的邊長(zhǎng)為〒cm,

14400

面積為49cm2.

18.如圖,A8是。。的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與O、B重合)，作ECLOB

交。。于點(diǎn)C,作直徑CD過(guò)點(diǎn)。的切線交08的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作A凡LPC于

點(diǎn)、F,連接CA

(1)求證：AC平分N物8；

(2)求證：BC2=CECP-,

(3)當(dāng)AB=4小且音=［時(shí)，求劣弧劭的長(zhǎng)度.

【答案】

(1)證明：尸切。。于點(diǎn)c,co是。。的直徑,

：.CD±PF,

XVAF1PC,

：.AF//CD,

：.ZOCA=ZCAF,

\'OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZCAF=ZOAC,

平分N物&

(2)證明：???AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

'：ZDCP=9Q°,

：.ZACB=ZDCP=^°,

又,：4BAC=/D,

AACB^ADCP,

：.ZEBC=ZP,

'：CELAB,

：.ZBEC=90°,

?.?CD是。。的直徑，

：.ZDBC=90°,

：.ZCBP=90°,

：./BEC=/CBP,

:.△CBEs^CPB,

?5C=CE

'，PC~CB,

BC2=CECP；

(3)解：平分NE48,CFLAF,CE1AB,

：.CF=CE,

..CF=3

,赤一加

.QE=3

,?CP-4J

設(shè)CE=3k,則CP=4k,

：.BC2=3k-4k=\2k1,

：.BC=2y[3k,

CE_3k

在RJBEC中，?；sinNEBC=BC=2^3k=2'

：.ZEBC=60°,

...△OBC是等邊三角形,

AZDOB=120°,

.12071-2^34V37T

??BD-180~3-

19.如圖，已知△ABCSAAIBICI,相似比為左伙>1),且AABC的三邊長(zhǎng)分別

為a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別為ai、b\>ci.

(1)若c=m,求證：a=kc；

(2)若c=ai,試給出符合條件的一對(duì)AABC和△AIBICI,使得a、b、c和小、歷、

a都是正整數(shù)，并加以說(shuō)明；

(3)若。=ai,c=b\,是否存在AABC和AAiBiCi使得攵=2?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明：???△ABCS^AIBICI,且相似比為依t>l),

a

??k.??u^kcix9J4?c=ai,??a=Zc.

31

(2)解：取Q=8,b=6,c=4,同時(shí)取ai=4,b\=3,c\=2.

abc

此時(shí)'_h_c_2,△SIII且c=ai.

aibici..ABC^ABC

(3)解：不存在這樣的AABC和△AiBiCi.理由如下：

若k=2,則a=2ai,b=2bi,c—2,c\.

乂?h=ct\>c=b\>

?*.ci~2tzi=28=4bi=4c,

，/?=2c.(12分)

.,.b-\-c=2c+c<4c=a,與。+c>a矛盾，

故不存在這樣的AABC和△AiBiCi,使得％=2.

20.如圖①，。。是△A8C的外接圓，A3是。。的直徑，0O〃AC,OD交00

于點(diǎn)E,且NCBD=NC。。.

(1)求證：B。是。。的切線；

(2)若點(diǎn)E為線段。。的中點(diǎn)，求證：四邊形OACE是菱形.

FG

(3)如圖②，作于點(diǎn)E連接A。交C尸于點(diǎn)G,求定的值.

AA

圖①圖②

【答案】

(1)證明：???AB是。0的直徑，

/.ZBCA=90°,

，ZASC+ZBAC=90°,

'.'OD//AC,/.ZACO=ZCOD.

'：OA=OC,：.ZBAC=ZACO,

又?：NCOD=NCBD,

:.NCBD=NBAC,

：.ZABC+ZCBD=90°,

：.NA8￡>=90。，

即OBLBD,

又「OB是。O的半徑，

...8。是。。的切線；

(2)證明：如解圖，連接CE、BE,

VOE=ED,ZOBD=90°,

：.BE=OE=ED,

...△OBE為等邊三角形，

：.ZBOE=60°,

^：AC//OD,

：.ZOAC=6Q°,

又?.?OA=OC,

.,.△OAC為等邊三角形，

.,.AC=OA=OE,

：.AC//OESLAC=OE,

二四邊形OACE是平行四邊形，而