《數(shù)字信號處理-基于數(shù)值計(jì)算》課件-第7章

第7章多采樣率信號處理7.1采樣率降低7.2采樣率提高7.3抽取與內(nèi)插的FIR結(jié)構(gòu)7.4采樣率變換在A/D和D/A轉(zhuǎn)換器中的應(yīng)用7.5正交鏡像濾波器組7.6樹狀結(jié)構(gòu)濾波器組

7.1采樣率降低

降低采樣率通常采用整數(shù)倍抽取(Decimation)的方法來實(shí)現(xiàn)。假設(shè)M為整數(shù)，對序列x(n)進(jìn)行M倍抽取的過程為：將序列x(n)每M個(gè)采樣值中抽取出一個(gè)。如果原序列的采樣周期為T，則抽樣后的序列周期T′與T具有如下關(guān)系：(7.1.1)抽取后信號的采樣頻率為(7.1.2)式中：fs為原序列的采樣頻率?？梢?，抽取后信號的采樣頻率降低為原來的M分之一。

下面討論抽取過程對頻域產(chǎn)生的影響。設(shè)有模擬信號xa(t)如圖7.1.1(a)所示，它的頻譜|Xa(jΩ)|如圖7.1.1(b)所示，圖中信號最高頻率為Ωh。按采樣頻率fs采樣，得到采樣信號x(n)如圖7.1.1(c)所示，則采樣信號的頻譜X(ejω)為(7.1.3)如圖7.1.1(d)所示(圖中：Ωs=2πfs)。如果對采樣信號x(n)進(jìn)行M倍抽取，抽取后信號y(n)如圖7.1.1(e)所示(圖中假設(shè)M=3)，抽取后信號的頻譜Y(ejω)為如圖7.1.1(f)所示，圖中：(7.1.5)圖7.1.1M倍抽取后信號和頻譜的關(guān)系令，即將圖7.1.1(d)和圖7.1.1(f)中的模擬域頻率變換為數(shù)字域頻率，得到結(jié)果如圖7.1.2所示。圖中：

根據(jù)式(7.1.5)可得ωh2=Mωh1

(7.1.6)圖7.1.2M倍抽取前后頻譜變化因其周期性，即以±k2π(k=0，1，2，…)無限地重復(fù)，故可能存在頻率混迭。為了避免抽取后出現(xiàn)頻率混疊，必須保證ωh2<π。為此，要求抽取前信號的最高頻率ωh1<(π/M)?？刹捎美硐氲屯V波器進(jìn)行濾波，假設(shè)濾波器的特性為：(7.1.7)其單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則整個(gè)的抽取過程如圖7.1.3所示，圖中：↓M為M倍抽取器符號。圖7.1.3M倍抽取過程假設(shè)圖7.1.3中的低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則濾波器的輸出為(7.1.8)(7.1.9)M倍抽取后的輸出y(m)為它表示M倍抽取器的運(yùn)算。

M倍抽取過程的頻譜變化如圖7.1.4所示。其中：圖(a)為輸入信號的頻譜；圖(b)為低通濾波器的頻率特性曲線；圖(c)為低通濾波輸出信號的頻譜；圖(d)為M倍抽取后輸出信號的頻譜；數(shù)字角頻率ω和ω′分別表示信號頻率對采樣頻率fs和fs′的歸一化。比較圖(c)和圖(d)，可以看出，M倍抽取后數(shù)字域頻譜拉伸了M倍。圖7.1.4M倍抽取后的頻譜變化將式(7.1.8)代入式(7.1.9)，得令l=Mm－k，代入上式進(jìn)行變量代換后得上式將濾波和抽取兩個(gè)過程統(tǒng)一起來。實(shí)際的低通濾波器不可能是理想低通濾波器，下面討論非理想低通濾波器的影響。首先將w(n)按M倍抽取得到的信號定義為(7.1.11)式中為周期為M的單位脈沖序列，將其進(jìn)行傅立葉級數(shù)展開，并代入式(7.1.11)，得(7.1.12)因此(7.1.13)(7.1.14)將式(7.1.12)代入上式，得(7.1.15)式(7.1.15)中W(·)表示w(n)的z變換，即(7.1.16)又因?yàn)閃(z)=H(z)X(z)，所以(7.1.17)令z=ejω′，代入上式得(7.1.18)式中：ω′=2πfT′?？梢?，輸入信號x(n)經(jīng)過濾波、抽取后的頻譜是M段信號頻譜疊加在一起的結(jié)果。如果低通濾波器非常接近理想特性，則(7.1.19)

【例7.1.1】

用MATLAB編程，顯示一個(gè)N=50，信號頻率為0.042Hz的時(shí)域正弦序列，然后以抽取因子為3進(jìn)行降采樣率處理，顯示相應(yīng)的處理結(jié)果，比較兩者在時(shí)域上的特點(diǎn)。

解

MATLAB程序代碼如下：

M=3；%down-samplingfactor=3；

fo=0.042；%signalfrequency=0.042；

%generatetheinputsinusoidalsequence

N=50

n=0：N-1；

x=sin(2*pi*fo*n)；

%generatethedown-samplingsquence

y=x([1：M：length(x)])；

subplot(2，1，1)

stem(n，x(1：N))；

title(′輸入序列′)；

xlabel(′時(shí)間/n′)；

ylabel(′幅度′)；

subplot(2，1，2)

m=0：M：length(x)-1

stem(m，y)；

title([′輸出序列，抽取因子為′，num2str(M)])；

xlabel(′時(shí)間/n′)；ylabel(′幅度′)；

MATLAB中提供一個(gè)downsample函數(shù)用于信號抽取，其語句格式為

y=downsample(x，M)

請讀者自行將上述程序修改為使用downsample函數(shù)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果如圖7.1.5所示。圖7.1.5正弦信號和降采樣率后的輸出序列

7.2采樣率提高

如果要提高采樣頻率，可通過插值(Interpolation)來實(shí)現(xiàn)。假設(shè)要將采樣頻率增加到整數(shù)L倍，可通過在每對采樣值間內(nèi)插L－1個(gè)新樣本來實(shí)現(xiàn)。內(nèi)插后采樣周期T′與原序列的采樣周期T的關(guān)系為則相應(yīng)的采樣頻率為(7.2.2)(7.2.1)可見采樣頻率提高了L倍。由于這L－1個(gè)新樣本并非已知，因此關(guān)鍵問題是如何求出這L－1個(gè)新樣本。從理論上講，可以將已知的采樣序列通過D/A轉(zhuǎn)換成模擬信號，再采用較高的采樣頻率進(jìn)行采樣，使采樣頻率提高。但這種方法不經(jīng)濟(jì)，而且會損傷信號。在實(shí)際的應(yīng)用過程中，采用的方法是：先在每對采樣值間插入L－1個(gè)0，再通過低通濾波器進(jìn)行平滑濾波，如圖7.2.1所示，圖中↑L表示L倍內(nèi)插器。圖7.2.1L倍內(nèi)插過程下面討論內(nèi)插后信號頻譜的變化。假設(shè)輸入序列x(n)及其頻譜如圖7.2.2(a)所示，則經(jīng)過L倍內(nèi)插后輸出信號w(m)可以表示為(7.2.3)它的z變換為令z=ejω′，代入上式得(7.2.4)式中：ω′=2πfT′。序列w(m)及其頻譜如圖7.2.2(b)所示。由圖可見，w(m)頻譜中不僅包含基帶頻率分量，還包含諧波分量，為了恢復(fù)基帶信號，必須用一低通數(shù)字濾波器進(jìn)行濾波。這一數(shù)字低通濾波器的特性應(yīng)逼近理想特性要求。

假設(shè)數(shù)字低通濾波器接近于如下理想特性：(7.2.5)則濾波輸出y(m)的頻率響應(yīng)為(7.2.6)輸出序列y(m)及其頻譜如圖7.2.2(c)所示。圖7.2.2L倍內(nèi)插后的頻譜變化當(dāng)n=0時(shí)，有(7.2.7)令ω=ω′L，代入上式，得(7.2.8)可見，如果要求y(0)=x(0)，則應(yīng)有G=L，即對理想的內(nèi)插器要求能恢復(fù)抽取前的信號，數(shù)字低通濾波器的增益Ｇ必須等于Ｌ。設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(m)，則有(7.2.9)將式(7.2.3)代入，得令(k/L)=r，代入上式，得上式為將內(nèi)插過程和低通濾波統(tǒng)一起來的算法。

MATLAB中提供一個(gè)upsample函數(shù)用于信號內(nèi)插，其語句格式為

y=upsample(x，L)請讀者自行將【例7.1.1】中程序修改為使用upsample函數(shù)實(shí)現(xiàn)5倍內(nèi)插。上面我們討論的采樣率轉(zhuǎn)換都是整數(shù)倍的提高或者降低，而在實(shí)際應(yīng)用中通常都不是整數(shù)倍的變換。例如：廣播系統(tǒng)的采樣率fs=32kHz，DAT的采樣率fs=48kHz，從DAT變換到廣播系統(tǒng)采樣率要按2/3降低。很明顯，我們可以通過先進(jìn)行2倍內(nèi)插，再進(jìn)行3倍抽取來實(shí)現(xiàn)。推廣到一般情況，當(dāng)采樣率變換不是整數(shù)倍而為一個(gè)有理數(shù)L/M時(shí)，可以通過先進(jìn)行L倍內(nèi)插，再進(jìn)行M倍抽取來實(shí)現(xiàn)，如圖7.2.3所示。圖中低通濾波器為內(nèi)插器和抽取器的低通濾波器的級聯(lián)，它的性能指標(biāo)請讀者自己確定。圖7.2.3有理因數(shù)L/M倍采樣率變換采樣率轉(zhuǎn)換也稱為重采樣，MATLAB中的resample函數(shù)就是用于實(shí)現(xiàn)重采樣的函數(shù)，其語句格式為

y=resample(x，L，M)

該函數(shù)實(shí)現(xiàn)L倍內(nèi)插，再進(jìn)行M倍抽取，L、M必須為正整數(shù)；輸出序列y的長度為length(x)*L/M取整；抗混疊低通FIR數(shù)字濾波器采用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)。

【例7.2.1】

假設(shè)原始信號為x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n)，試編程實(shí)現(xiàn)對該信號的重采樣。%分?jǐn)?shù)倍采樣率變換示例

clf；

N=input(′Lengthofinputsignal=′)；

L=input(′Up-samplingfactor=′)；

M=input(′Down-samplingfactor=′)；

f1=input(′Frequencyoffirstsinusoid=′)；

f2=input(′Frequencyofsecondsinusoid=′)；

%Generatetheinputsequence

n=0：N-1；

x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n)；

%Generatetheresampledoutputsequence

y=resample(x，L，M)；

%Plottheinputandtheoutputsequences

subplot(2，1，1)

stem(n，x(1：N))；

title(′Inputsequence′)；xlabel(′Timeindexn′)；ylabel(′Amplitude′)；

subplot(2，1，2)

m=0：N*L/M-1；

stem(m，y(uint8(1：N*L/M)))；

title(′Outputsequence′)；xlabel(′Timeindexn′)；ylabel(′Amplitude′)；[ZK)]

運(yùn)行程序，根據(jù)提示輸入以下參數(shù)：

Lengthofinputsignal=100；

Up-samplingfactor=5

Down-samplingfactor=8

Frequencyoffirstsinusoid=1000

Frequencyofsecondsinusoid=2000

得到重采樣后的序列如圖7.2.4所示。圖7.2.45/8倍重采樣變換

7.3抽取與內(nèi)插的FIR結(jié)構(gòu)

7.3.1抽取的FIR結(jié)構(gòu)

對于圖7.1.3所示的M倍抽取過程，當(dāng)所用的濾波器h(n)是FIR濾波器且單位脈沖響應(yīng)的長度為N時(shí)，可以采用圖7.3.1(a)來實(shí)現(xiàn)。因?yàn)閤(n)為高采樣率，x(n)的每個(gè)采樣點(diǎn)都要與FIR濾波器的系數(shù)相乘，運(yùn)算量大，而y(m)是經(jīng)過M倍抽取輸出的，所以，計(jì)算結(jié)果中每M個(gè)樣點(diǎn)只有一個(gè)作為y(m)輸出，其余均被舍棄?？梢?，這種運(yùn)算結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了冗余的計(jì)算。

改進(jìn)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)是先抽取再相乘，根據(jù)式(7.1.10)，由于采用FIR數(shù)字濾波器，將該式改寫為FIR形式：

(7.3.1)實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)如圖7.3.1(b)所示。由圖可見，x(n)輸入經(jīng)過延遲后先進(jìn)行抽取，再和h(n)相乘，由于工作在抽取后的低采樣率狀態(tài)，系統(tǒng)的運(yùn)算效率提高了M－1倍。另外一種改進(jìn)是采用多相(Polyphase)濾波器結(jié)構(gòu)。令式中k=Mq+i，其中i=0，1，…，M－1，q=0，1，…，N/M－1，N取M的整數(shù)倍，則(7.3.2)圖7.3.1抽取過程的FIR結(jié)構(gòu)(7.3.3)抽取的多相濾波器結(jié)構(gòu)如圖7.3.2所示。圖7.3.2抽取過程的多相濾波器結(jié)構(gòu)7.3.2內(nèi)插的FIR結(jié)構(gòu)

對于圖7.2.1的L倍內(nèi)插過程，當(dāng)圖中h(n)為長度為N的FIR濾波器時(shí)，可以采用與抽取過程類似的結(jié)構(gòu)得到提高運(yùn)算效率的內(nèi)插FIR結(jié)構(gòu)，如圖7.3.3所示。改進(jìn)的結(jié)構(gòu)是先相乘再內(nèi)插，h(n)以低的運(yùn)算速率與x(n)相乘后再內(nèi)插零，使運(yùn)算量降低了L－1倍。

仿照抽取器的多相濾波器結(jié)構(gòu)，假設(shè)低通濾波器h(n)的長度N為L的整數(shù)倍，則可以將其分解為L個(gè)子濾波器：(7.3.4)根據(jù)式(7.3.2)可以得到內(nèi)插的多相濾波器結(jié)構(gòu)如圖7.3.4所示。圖7.3.3內(nèi)插過程的FIR結(jié)構(gòu)圖7.3.4內(nèi)插過程的多相濾波器結(jié)構(gòu)7.4采樣率變換在A/D和D/A轉(zhuǎn)換器中的應(yīng)用

7.4.1過采樣A/D和D/A轉(zhuǎn)換器

對于A/D轉(zhuǎn)換器，假定被轉(zhuǎn)換模擬信號的最高頻率為fc，而采樣頻率為fs，fc<fs/2，則根據(jù)采樣信號頻譜之間的關(guān)系可知，抗混疊濾波器的指標(biāo)可以采用如圖7.4.1(a)和圖7.4.1(b)所示的兩種方案之一。圖7.4.1抗混疊濾波器的指標(biāo)分配上述矛盾可以采用過采樣技術(shù)來解決。圖7.4.2為過采樣A/D轉(zhuǎn)換器的原理框圖，圖中A/D轉(zhuǎn)換器的采樣頻率fs′選擇遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2fc，這樣就大大降低對抗混疊濾波器的指標(biāo)要求，而后面的L倍的抽取器將采樣頻率降低了L倍，選擇合適的L值可以使抽取后的采樣頻率fs略大于2fc，使采樣的數(shù)據(jù)量降低，也就降低了對系統(tǒng)的運(yùn)算速率的要求。圖7.4.2過采樣D/A變換器對于D/A轉(zhuǎn)換器，在將采樣信號轉(zhuǎn)換為模擬信號的過程中，D/A輸出的模擬信號為階梯狀，產(chǎn)生了許多頻率高于fs/2的鏡像分量，這些信號分量通過一個(gè)抗鏡像分量的后置模擬濾波器來濾除。這個(gè)抗鏡像分量的后置模擬濾波器的性能指標(biāo)如圖7.4.1(b)所示，阻帶邊界頻率為fs/2，過渡帶為fs/2－fc，當(dāng)fc越靠近fs/2時(shí)，過渡帶越窄，對抗混疊濾波器的要求高，實(shí)現(xiàn)非常困難。這個(gè)問題同樣可以采用過采樣技術(shù)來解決。圖7.4.3為過采樣D/A轉(zhuǎn)換器的原理框圖，圖中的L倍內(nèi)插器將輸入采樣信號的采樣頻率fs提高了L倍，變?yōu)閒s′，使后面的D/A轉(zhuǎn)換器的輸入信號的采樣頻率fs′遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2fc，這樣就大大降低對鏡像分量的后置模擬濾波器的指標(biāo)要求，實(shí)現(xiàn)變得非常簡單。圖7.4.3過采樣D/A轉(zhuǎn)換器的原理框圖7.4.2噪聲抑制技術(shù)

在過采樣中，隨著采樣率的提高，每個(gè)樣本的位數(shù)也相應(yīng)減少，由此帶來的量化噪聲的增加，可以通過噪聲整形量化器進(jìn)行補(bǔ)償。使用噪聲整形量化器的A/D轉(zhuǎn)換器稱為Sigma-Delta量化器。圖7.4.4為一階Sigma-DeltaA/D轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的原理框圖。圖中左邊部分電路為一個(gè)Sigma-Delta反饋環(huán)路，由求和電路、一階積分器、A/D轉(zhuǎn)換器和D/A轉(zhuǎn)換器組成。其中的A/D轉(zhuǎn)換器的采樣頻率fs′遠(yuǎn)大于信號的上限頻率，使加在輸入信號x(t)前面的抗混疊濾波器的結(jié)構(gòu)大大簡化，并且A/D轉(zhuǎn)換器和D/A轉(zhuǎn)換器的位數(shù)b′只要很小，通常取1。圖中右邊部分電路為一抽取器，用于降低采樣頻率并將每一個(gè)樣本A/D轉(zhuǎn)換的位數(shù)提高到b位。那么，它是如何實(shí)現(xiàn)的呢？下面分析它的工作原理。圖7.4.4一階Sigma-DeltaA/D轉(zhuǎn)換器原理框圖為了分析方便，將圖7.4.4中的一階Sigma-Delta反饋環(huán)路看成是全部都工作在數(shù)字域，這樣輸入信號x(t)等效為量化成數(shù)字信號，我們用x(m)表示。一階模擬積分器等效為數(shù)字積分器，假設(shè)積分器的系統(tǒng)函數(shù)為(7.4.1)由于A/D轉(zhuǎn)換過程會產(chǎn)生量化噪聲，因此A/D轉(zhuǎn)換器等效為加入一個(gè)量化噪聲e(m)可以用一個(gè)加法器表示，則一階Sigma-Delta反饋環(huán)路可以用如圖7.4.5所示的等效模型表示。圖7.4.5一階Sigma-Delta反饋環(huán)路的等效模型圖中，輸出信號用y(m)表示，它與x(m)的采樣頻率都為

fs′，位數(shù)都是b′；X(z)、Y(z)、E(z)分別表示x(m)、y(m)、e(m)的z變換。因此，有

Y(z)=H(z)[X(z)－Y(z)]+E(z)

(7.4.2)

解得

記為式(7.4.4)中：(7.4.3)(7.4.4)(7.4.5)可見Hx(z)是一個(gè)純延時(shí)器。而(7.4.6)令z=ejω，代入式(7.4.6)，并求其幅頻平方特性，得(7.4.7)可見，HNS(z)是一個(gè)簡單的高通濾波器。將式(7.4.5)和式(7.4.6)代入式(7.4.4)可得(7.4.8)Y(z)=z－1X(z)+(1－z－1)E(z)對應(yīng)時(shí)域的差分方程為

y(m)=x(m－1)+ε(m)

(7.4.9)

式中ε(m)為高通濾波后的量化噪聲，即

ε(m)=e(m)－e(m－1)

(7.4.10)

由于輸出信號y(m)經(jīng)過抽取器的低通抽取濾波器，因此濾波后將使得量化噪聲分量變得很小。同時(shí)，低通抽取濾波器還濾除了超過fs/2以上的頻率分量。

y(m)經(jīng)過低通抽取濾波器后進(jìn)行抽取，假設(shè)進(jìn)行L倍抽取后得到

y(n)=x(n)+e(n)

(7.4.11)式中：e(n)是在[－fs/2，fs/2]區(qū)間均勻分布的白噪聲，其方差為(7.4.12)式中：σ2e′是低精度高采樣率的量化噪聲方差，fs′=Lfs。由于L大于1，因此，σ2e必將小于σ2e′。有由此可求出抽取后A/D轉(zhuǎn)換器的有效位數(shù)b為(7.4.14)(7.4.13)可見，抽取后A/D轉(zhuǎn)換器的有效位數(shù)b將增加。以上分析的是一階Sigma-DeltaA/D轉(zhuǎn)換器，對于高階Sigma-DeltaA/D轉(zhuǎn)換器，其噪聲濾波模型為(7.4.15)相應(yīng)的高通濾波器的幅度特性為(7.4.16)可以進(jìn)一步使抽取后A/D轉(zhuǎn)換器的有效位數(shù)b增加。對于D/A轉(zhuǎn)換器，它的噪聲整形量化器由內(nèi)插器和噪聲整形再量化器組成，如圖7.4.6所示。圖中內(nèi)插器實(shí)現(xiàn)將輸入數(shù)字信號的采樣率提高L倍，即fs′=Lfs，數(shù)據(jù)位數(shù)保持為b位。圖7.4.6D/A轉(zhuǎn)換器的噪聲整形量化器噪聲整形再量化器中的量化器Q的輸入為b位的w(n)；輸出分為兩部分，高b′位稱為wMSB(n)，作為系統(tǒng)的輸出，其余低位wLSB(n)=w(n)－wMSB(n)，為量化誤差，它經(jīng)過環(huán)路濾波器H(z)濾波后與內(nèi)插器的b位輸出相減形成w(n)。這樣噪聲整形再量化器可以用圖7.4.7所示的等效原理圖表示。

對圖7.4.7右邊的兩個(gè)加法運(yùn)算進(jìn)行分析可得量化輸出：

y(n)=w(n)+e(n)

(7.4.17)

y(n)－w(n)=e(n)

(7.4.18)

做z變換可得：

Y(z)=W(z)+E(z)

(7.4.19)圖7.4.7噪聲整形再量化器的等效原理圖對圖7.4.7左邊的加法運(yùn)算進(jìn)行分析，并做z變換可得：

W(z)=X(z)－H(z)E(z)

(7.4.20)

將式(7.4.20)代入式(7.4.19)，得

Y(z)=X(z)+(1－H(z))

E(z)=X(z)+HNS(z)E(z)

(7.4.21)

式中：HNS(z)=1－H(z)。由式(7.4.21)可以看出：它是一個(gè)僅對噪聲濾波的濾波器，因此被稱為等效的噪聲整形濾波器。由于它由環(huán)路濾波器決定，因此，我們很容易通過選擇不同的環(huán)路濾波器H(z)來得到一階、二階甚至高階的高通濾波器HNS(z)。例如：如果選擇H(z)=z－1，則HNS(z)=1－z－1,即一階高通濾波器；如果選擇H(z)=2z－1－z－2，則HNS(z)=(1－z－1)2，即二階高通濾波器。

7.5正交鏡像濾波器組

在許多應(yīng)用中，一個(gè)離散時(shí)間信號首先被分成幾個(gè)子帶信號，然后各子帶信號經(jīng)過處理形成輸出信號。各個(gè)子帶信號由于所占的頻帶變窄，所以可以被抽取，對被抽樣后信號的處理比對原信號處理更高效。數(shù)字濾波器組(DigitalFilterBanks)是一組具有公共輸入或輸出的濾波器，如圖7.5.1所示。圖7.5.1(a)實(shí)現(xiàn)將輸入x(n)分解為R個(gè)不同的子帶信號，稱為分析器。圖7.5.1(b)實(shí)現(xiàn)將多個(gè)信號合成到公共的輸出信號中，稱做綜合器。圖7.5.1數(shù)字濾波器組7.5.1正交鏡像濾波器組

正交鏡像濾波器組是由兩個(gè)1/2頻帶的濾波器組分析器以及兩個(gè)1/2頻帶的濾波器組綜合器構(gòu)成的，如圖7.5.2所示。圖中濾波器h0(n)和h1(n)分別為1/2頻帶的低通濾波分析器和1/2頻帶的高通濾波分析器；濾波器g0(n)和g1(n)分別為1/2頻帶的低通濾波綜合器和1/2頻帶的高通濾波綜合器；而信號x0(m)和x1(m)分別為1/2頻帶的低通信號和1/2頻帶的高通信號。圖7.5.2正交鏡像濾波器組設(shè)X(ejω)、X0(ejω)、X1(ejω)、H0(ejω)和H1(ejω)分別是x(n)、x0(m)、x1(m)、h0(n)和h1(n)的DTFT，由式(7.1.18)可以得到(7.5.1)(7.5.2)同理，設(shè)X0(ejω)、X1(ejω)、G0(ejω)、G1(ejω)和X(ejω)分別是x0(m)、x1(m)、g0(n)、g1(n)和x(n)的DTFT，由式(7.2.6)可以得到∧∧∧∧∧∧(7.5.3)將分析器的輸出作為綜合器的輸入，即令，

并將它們代入式(7.5.3)，結(jié)合式(7.5.1)和式(7.5.2)，得式中的第一項(xiàng)代表信號的變換，第二項(xiàng)則是不希望出現(xiàn)的頻率混疊分量。為了消去頻率混疊分量，就要求滿足：(7.5.5)那么如何設(shè)計(jì)滿足這個(gè)條件呢？方法是先設(shè)計(jì)一個(gè)公共低通濾波器h(n)，再由它得到所有的分析和綜合濾波器。首先，令：

h0(n)=h(n)

(7.5.6)

h1(n)=(－1)nh(n)

(7.5.7)

假設(shè)H(ejω)為h(n)的DTFT，則

H0(ejω)=H(ejω)

(7.5.8)

H1(ejω)=H(ej(ω+π))

(7.5.9)

可見，濾波器H0(ejω)和H1(ejω)對于頻率ω=π/2是鏡像對稱的，其特性如圖7.5.2(b)所示，圖中陰影部分是兩者的混疊區(qū)域。為了減少混疊區(qū)域，一般希望H(ejω)逼近理想低通條件，即(7.5.10)將式(7.5.8)和式(7.5.9)代入式(7.5.5)，得

H(ej(ω+π))G0(ejω)+H(ejω)G1(ejω)=0

(7.5.11)

下面討論如何確定G0(ejω)、G1(ejω)。

由于G0(ejω)必須是一個(gè)低通濾波器，并考慮綜合器使用2倍內(nèi)插，因此令

G0(ejω)=2H(ejω)

(7.5.12)

即

g0(n)=2h(n)

(7.5.13)

將式(7.5.12)代入式(7.5.11)，得

G1(ejω)=－2H(ej(ω+π))

(7.5.14)

即

g1(n)=－2(－1)nh(n)

(7.5.15)

可見，只要設(shè)計(jì)出公共低通濾波器h(n)，數(shù)字濾波器組的分析器和綜合器就可以根據(jù)上述公式計(jì)算出來。將式(7.5.8)、式(7.5.9)、式(7.5.12)、式(7.5.14)代入式(7.5.4)，得(7.5.16)可見，當(dāng)公共低通濾波器H(ejω)滿足：(7.5.17)7.5.2基于FIR濾波器的QMF公共低通濾波器設(shè)計(jì)

假設(shè)h(n)為一個(gè)長度為N的具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器，其系數(shù)對稱關(guān)系為

h(n)=h(N－1－n)，n=0，1，2，…，N－1

(7.5.18)

則h(n)的DTFT可以寫為

H(ejω)=H(ω)e－jω(N－1)/2

(7.5.19)

式中：幅度函數(shù)H(ω)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，有

H(ω)=±|H(ejω)|

(7.5.20)

將式(7.5.19)和式(7.5.20)代入式(7.5.16)，得(7.5.21)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，(7.5.22)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，(7.5.23)設(shè)ω=(π/2)，則(7.5.24)由于，因此，不能滿足要求?？梢姡琋只能選擇偶數(shù)。另外，考慮式(7.5.22)中e－jω(N－1)是一個(gè)線性相位項(xiàng)，表示輸出信號具有一個(gè)群延時(shí)，因此，濾波器的約束條件變?yōu)?7.5.25)|H(ejω)|2+|H[ej(ω+π)]|2=1通常被稱為平坦重建約束條件。

這樣，設(shè)計(jì)一個(gè)長度為N的具有線性相位的FIRQMF公共低通濾波器h(n)的約束條件為式(7.5.10)和式(7.5.25)，可以采用常規(guī)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、頻率采樣法等設(shè)計(jì)，并用MATLAB工具軟件輔助設(shè)計(jì)。

【例7.5.1】

用漢明窗設(shè)計(jì)一長度為40的線性相位QMF濾波器組。

解采用MATLAB設(shè)計(jì)，調(diào)用fir2函數(shù)設(shè)計(jì)公共低通濾波器，參數(shù)缺省，即為漢明窗，程序如下：

clearall

N=40

b1=fir2(N-1,[0,0.4,0.48,0.55,0.6,1]，[1,1,1,0.20,0,0])；fork=1：Nb2(k)=((-1)^(k-1))*b1(k)；

end

[H1z，w]=freqz(b1，1，256)；

h1=abs(H1z)；

g1=20*log10(h1)；

[H2z，w]=freqz(b2，1，256)；

h2=abs(H2z)；

g2=20*log10(h2)；

figure(1)；

plot(w/pi，g1，′-′，w/pi，g2，′--′)；

axis([0，1，-80，5])；

grid

xlabel(′頻率(＼omega/＼pi)′)；ylabel(′幅度，dB′)；

sum=h1.*h1+h2.*h2；

d=10*log10(sum)；

figure(2)

plot(w/pi，d)；grid；

xlabel(′頻率(＼omega/＼pi)′)；ylabel(′誤差，dB′)；

axis([0，1，-0.1，0.1])；

圖7.5.3是一個(gè)N=40的漢明窗設(shè)計(jì)結(jié)果，圖中實(shí)線表示H0(ejω)=H(ejω)的頻率響應(yīng)，虛線表示它的鏡像H1(ejω)=H[ej(ω+π)]的頻率響應(yīng)。圖7.5.4是這兩個(gè)濾波器的頻響的平方和，也是正交鏡像濾波器組的頻響的幅度函數(shù)|H(ejω)|2+|H[ej(ω+π)]|2。從圖7.5.4可見，重建誤差最大值為±0.04dB;并且可以看出，最大重建誤差發(fā)生在這個(gè)濾波器的通帶邊界和過渡帶內(nèi)，這是由于漢明窗設(shè)計(jì)的頻率響應(yīng)在通帶中近乎是平坦的緣故。圖7.5.3線性相位公共低通濾波器及其鏡像圖7.5.4正交鏡像濾波器的重建誤差由于fir2設(shè)計(jì)函數(shù)是基于頻率采樣法的設(shè)計(jì)思想，因此，如果改變邊界頻率和相應(yīng)的幅度采樣值，將可以進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。例如將程序作如下優(yōu)化：

b1=fir2(N-1，[0，0.4，0.485，0.55，0.6，1]，[1，1，1，0.154，0，0])；

則設(shè)計(jì)結(jié)果如圖7.5.5所示，重建誤差最大值小于±0.04dB。如果要進(jìn)一步優(yōu)化，則可以將這個(gè)問題歸結(jié)為一個(gè)非線性最優(yōu)化問題，采用最優(yōu)化搜索算法，利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)求出最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果。圖7.5.5優(yōu)化后的正交鏡像濾波器的重建誤差

7.6樹狀結(jié)構(gòu)濾波器組

7.6.1倍頻程分隔的分析濾波器組

利用正交鏡像濾波器組可以構(gòu)成倍頻程分隔的分析濾波器組，如圖7.6.1(a)所示。圖中左邊的H0(z)和H1(z)為一組互補(bǔ)的低通濾波器和高通濾波器，設(shè)它們對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)分別為h0(n)和h1(n)，則它們組成的正交鏡像分析器可以簡化為用右邊的符號表示。將輸入信號X(z)用正交鏡像分析器濾波，濾波輸出的高通部分作為第一級的輸出，濾波輸出的低通部分再采用相同正交鏡像分析器濾波，以后各級均采用相同方式處理，如圖7.6.1(b)所示。它有三級：第一級將輸入信號的頻譜分成兩個(gè)相等的部分，然后經(jīng)過抽取這兩個(gè)信號的采樣率降低到原來的一半，輸出采樣率降低一半的高通信號X3(z)；第二級將第一級的低通信號的頻譜再分成兩個(gè)相等的部分，經(jīng)過抽取后這兩個(gè)信號的采樣率為X(z)的1/4，輸出采樣率為X(z)的1/4的高通信號X2(z)；第三級將第二級的低通信號的頻譜再分成兩個(gè)相等的部分，經(jīng)過抽取后輸出采樣率為X(z)的1/8的兩個(gè)信號：X1(z)、X0(z)。由于圖中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈樹形分支形狀，所以這種分析濾波器組稱為樹狀結(jié)構(gòu)濾波器組。圖7.6.1分析濾波器組樹狀結(jié)構(gòu)分析濾波器組的頻率劃分如圖7.6.2所示，圖中：X0、X1、X2、X3分別代表X0(z)、X1(z)、X2(z)、X3(z)所占有的頻帶。樹狀結(jié)構(gòu)濾波器組各級的分支并不限定為兩個(gè)，分支數(shù)可以是3個(gè)或4個(gè)，視需要而定；而且各級中的分支數(shù)并不要求相同。在分析濾波器組中如果某一級的分支數(shù)為3，則該級中的抽取因子也應(yīng)為3。圖7.6.2分析濾波器組的頻率劃分7.6.2倍頻程分隔的綜合濾波器組

倍頻程分隔的綜合濾波器組是倍頻程分隔的分析濾波器組的逆過程，如圖7.6.3(a)所示。圖中左邊的G0(z)和G1(z)為一組互補(bǔ)的低通濾波器和高通濾波器，設(shè)它們對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)分別為g0(n)和g1(n)，則它們組成正交鏡像綜合器可以簡化為用右邊的符號表示。圖7.6.3(b)中第一級輸入低通信號X0(z)和高通信號X1(z)分別被插零后進(jìn)行低通和高通濾波，兩個(gè)濾波器的輸出相加構(gòu)成一個(gè)滿帶的低通信號。由于經(jīng)過內(nèi)插，這個(gè)信號的采樣率提高了一倍。第二級輸入的低通信號是第一級的輸出，輸入的高通信號為X2(z)，采用相同的處理，輸出一個(gè)滿帶的低通信號，這個(gè)信號的采樣率又提高了一倍。第三級輸入的低通信號是第二級的輸出，輸入的高通信號為X3(z)，采用相同的處理，輸出一個(gè)滿帶的低通信號X(z)，這個(gè)信號的采樣率又提高了一倍。∧

圖7.6.3綜合濾波器組7.6.3兩通道PRQMF濾波器組的MATLAB設(shè)計(jì)

多抽樣率濾波器組已成為信號處理領(lǐng)域強(qiáng)有力的工具，PRQMF濾波器組(PerfectReconstructionQuadratureMirrorFilterBank)最大的優(yōu)點(diǎn)是在對信號進(jìn)行抽取后可根據(jù)每個(gè)子帶的不同特征分別進(jìn)行處理，而插值和合成環(huán)節(jié)又能消除信號失真的各種因素，因此其被廣泛用于語音處理、圖像處理、國防通信和小波變換中。

一個(gè)典型的兩通道濾波器組結(jié)構(gòu)如圖7.6.4所示，圖中H0(z)和H1(z)分別是分析濾波器組中的低通和高通濾波器，G0(z)和G1(z)分別是綜合濾波器組中的低通和高通濾波器。它的輸入和輸出關(guān)系為

為了實(shí)現(xiàn)信號的完全重構(gòu)，即使X(z)是X(z)純延遲后的信號，則完全重構(gòu)條件為：

H0(－z)G0(z)+H1(－z)G1(z)=0

(7.6.2)

T(z)=H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=cz－k

(7.6.3)

式中：k為整數(shù)。(7.6.1)∧圖7.6.4兩通道濾波器組結(jié)構(gòu)目前，PR-QMF濾波器組設(shè)計(jì)有多種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，如特征值法、最小二乘法、遺傳算法、多項(xiàng)式分解法等。這些設(shè)計(jì)方法都能將信號失真降到很小的范圍，但是計(jì)算復(fù)雜，參數(shù)不易確定，程序編寫較難。這里我們介紹利用MATLAB的firpr2chfb函數(shù)設(shè)計(jì)PRQMF濾波器組，只需知道各濾波器的階數(shù)N和h0的通帶截止頻率w，就可以得到PRQMFB的分析綜合濾波器組的時(shí)域形式h0、h1、g0、g1，并能得到令人滿意的結(jié)果。注意：N必須為奇數(shù)，w必須小于0.5。設(shè)輸入信號為正弦波，N=33，w=0.45，則程序代碼如下：n=1：150；

x=sin(2*pi*n/25)；

subplot(2，1，1)

plot(n，x)

xlabel(′n′)；ylabel(′輸入信號，x(n)′)；

N=33

w=0.45

[h0，h1，g0，g1]=firpr2chfb(N，w)；%PR-QMF設(shè)計(jì)

hlp=mfilt.firdecim(2，h0)；%FIR多相濾波器抽取

hhp=mfilt.firdecim(2，h1)；%FIR多相濾波器抽取

glp=mfilt.firinterp(2，g0)；%FIR多相濾波器內(nèi)插

ghp=mfilt.firinterp(2，g1)；%FIR多相濾波器內(nèi)插

x0=filter(hlp，x)；

x0=filter(glp，x0)；

x1=filter(hhp，x)；

x1=filter(ghp，x1)；

xtilde=x0+x1；

subplot(2，1，2)

plot(n，xtilde)

xlabel(′n′)；ylabel(′重建信號，xtilde(n)′)；

程序運(yùn)行結(jié)果如圖7.6.5所示，由圖可見，兩通道濾波器組重建信號為輸入信號的純延時(shí)，為全重構(gòu)。得到的分析器和綜合器為：h0=[0.16450.40110.44820.1729-0.1408-0.1498

0.05410.1150-0.0223-0.08890.00930.0699

-0.0037-0.05610.00190.0449-0.0013-0.0363

0.00160.0291-0.0019-0.02340.