2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題22 直角三角形【十六大題型】（舉一反三）（解析版）

專(zhuān)題22直角三角形【十六大題型】

?題型梳理

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】..............................................................3

【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】..........................................................8

【題型3利用勾股定理求解】....................................................................14

【題型4判斷勾股數(shù)問(wèn)題】......................................................................17

【題型5勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題】.................................................................20

【題型6利用勾股定理解決折疊問(wèn)題】...........................................................27

【題型7勾股定理與無(wú)理數(shù)】....................................................................34

【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】.....................................................36

【題型9勾股定理的證明方法】.................................................................43

【題型10以弦圖為背景的計(jì)算】.................................................................48

【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】.......................................................54

【題型12利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題】...........................................................57

【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】.............................................................61

【題型14利用勾股定理逆定理求解】.............................................................67

【題型15圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】.................................................71

【題型16用勾股定理解決實(shí)際生活問(wèn)題】.........................................................76

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)直角三角形】

1.直角三角形的性質(zhì)與判定

直角三角形的定義:有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

直角三角形的性質(zhì):I)直角三角形兩個(gè)銳角互余.

2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3)在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形的判定:1)兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

2)有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)三角

形是直角三角形。

面積公式：=lcm（其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長(zhǎng)）

m

b

2.勾股定理

勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為C,那么。2+匕2=。2

變式：Q2=C2—/）2,b2=c2—a2,c=Va24-b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

勾股定理的證明方法（常見(jiàn)）：

方法一（圖一）：4sA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4x：ab+（b—a）?=c?，化簡(jiǎn)可證.

方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4xjab+c2=2ab+，C2

大正方形面積為S=（a+b）2=a2+2ab4-b2,所以a?+b2=c2

方法三（圖三）：S梯形="a+b＞（a+b），S梯形=2S「DE+SAABE=2?|ab+1c2,化簡(jiǎn)得證a?+b2=c2

。_________________「ba八人a?

口D

HQ：L

AcBabBbc

圖一圖二圖三

勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù)，1即Q2+/J2=C2中，a,b,c為正整

數(shù)時(shí)，稱(chēng)Q,b,C為一組勾股數(shù).

常見(jiàn)的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.

判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個(gè)正整數(shù)a,b,c；

2）確定最大的數(shù)c；

3）計(jì)算較小的兩個(gè)數(shù)的平方。2+匕2是否等于‘a(chǎn).

3.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+垓=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】

【例1】（2023?內(nèi)蒙古包頭?包頭市第三十五中學(xué)?？既＃┤鐖D，在正方形48。）中，點(diǎn)E、/分別在邊CD,BC

上，RDE=CF,連接尸,DG平分乙4。尸交力8于點(diǎn)G,若=70°,則/AG。的度數(shù)為.

【答案】55。/55度

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得=OC，/-ADE=Z.C=I.DAG=90°,AD\\BC,從而證明

DCF（SAS）,得〃ED=4DFC=LADF=70°,再由角平分線的定義可得乙40G=^ADF=35°,再根據(jù)直

角二角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：:四邊形4BCD是正方形，

：.AD=DC,^ADE=Z.C=^DAG=90°,AD\\BC,

：.LADF=乙DFC,

^.LADE^LOC尸中，

（AD=DC

N4OE=ZC,

（DE=CF

/.AADE會(huì)△DCF（SAS）,

：.LAED=Z-DFC=Z-ADF=70°,

???DG平分4ADr，

：.AADG=^ADF=35°,

：.AAGD=90°-乙40G=55°,

故答案為:55。.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌

握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ADE-△DCF是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023?北京平谷?統(tǒng)考一模）如圖,Rt△48c中，乙4cB=90。,CD_LAB于點(diǎn)。,則下列結(jié)論不

一定成立的是（）

A.zl+z2=90°B.41=30°C.zl=z4D.z2=z3

【答案】B

【分析】借助直角三角形兩銳角互余，依次判斷即可.

【詳解】解：Rt/k/lBC中，

*：LACB=90°,

r.zl+Z2=90°,故A正確；

CDLAB,

???〃DC=zCDB=90。，

Azi+Z3=90°,

'：LACB=90°,

.,.Z3+Z4=9O°

.*.zl=z4,故C正確；

VzCDF=90°,

；?42+匕4=90。，

Vz3+z4=90°

???/2=乙3,故D正確；

?.?/l不一定是30。，故B符合題意

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題.主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形兩銳角互余這一性質(zhì)來(lái)解題是關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模）如圖，分別以△4BC的邊4C和48向外作等腰RtzMCE和等腰心△

ABD,點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，若MN=26，則四邊形BCED的面積為一.

D

BMC

【答案】24

【分析】連接BE,CD交于點(diǎn)H,根據(jù)三角形中位線定理可得BE=2MN=46，然后證明

DAC(SAS),可得BE1CD,再利用對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，連接BE,CD交于點(diǎn)H,BE交AD于G,

???點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，MN=24

BE=2MN=48，

在等腰Rt△%(;￡1和等腰Rt/iABD,AB=AD,AE=AC,ABAD=Z-CAE=90°,

???/.BAD+Z.DAE=Z.CAE4-Z.DAE,

???Z.BAE=Z-DAC,

在AD4C中，

(AB=AD

l^BAE=/-DAC，

IAE=AC

.-.ABAEaDACHAS'),

BE=DC,乙ABE—Z.ADC?

v/.ABE+乙BGA=90°,

.-.Z.ADC+Z.BGA=90°,

???/.BGA=乙DGH,

???Z.ADC+乙DGH=90°,

:.Z.DHG=90°,

:.BE1CD,

vBE=DC=4百，

二四邊形8CED的面積=-xBE-CD=-x4x/3x473=24.

22

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查「全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直的四邊形面積，三

角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是得到^BAEDAC.

【變式1-3］(2023?河南信陽(yáng)?二模)【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點(diǎn)。重疊在一起.如圖2固

定三角板4。氏將三角板C。。繞點(diǎn)。以每秒15。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為￡秒，當(dāng)。。邊與。8邊重合時(shí)

停止轉(zhuǎn)動(dòng).

【解決問(wèn)題】

(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)畛鲆?0C、乙8。。之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)440C、△4。8、乙80c中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱(chēng)射線0C是乙1。8的“優(yōu)線”，請(qǐng)直接寫(xiě)

出所有滿足條件的t值.

［答案］(l)AAOC+乙BOD=180°

(2)有，。。平分4/1。氏。8平分"OD,理由見(jiàn)解析

(3)t=2,3,4,9,12

【分析】(1)由題意，根據(jù)題目分析、然后畫(huà)出圖形可得結(jié)論;

(2)依據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然后分別計(jì)算出角的度數(shù)可得解；

(3)依據(jù)題意，將所有可能情形杭理并分類(lèi)討論可得￡的值.

【詳解】(1)解：①如圖，Z-AOC+Z-BOD=180°,理由如下：

由題意得，2。。4=90。一乙4OC,^COB=90°-^AOC.

：.LAOC+Z-BOD=Z.AOC+Z.DOA+Z,AOC+乙COB

=LAOC+90°-Z,AOC+Z.AOC+90°-Z.AOC

=180°,

A

②如圖，/.AOC+Z-BOD=180",埋由如下：

由題意得，/-DOA=900-Z,DOBt乙COB=90。一乙DOB.

：,LAOC+乙BOD=Z.DOA+乙DGB+乙COB+乙BOD

=90°-乙DOB+乙DOB+90°-乙DOB+乙BOD

=180°,

綜上，/-AOC+乙BOD=180°.

故答案為：Z.AOC+LBOD=180°；

(2)解：有，0。平分乙AOB,。8平分4COO.

如圖所示，理由如下：

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，Z/10C=15ox9=135o,

：,LBOC=Z-AOC-Z-AOB=135°-90°=45°.

■:乙COD=90°,

:.4BOD=乙COD-乙BOC=90°-45°=45°,

:.乙BOC=乙BOD=45°,

，08平分乙。0。，

LBOD=45°=、AO8,

，0。平分乙力。8；

（3）解：由題意得，/-AOB=90%Z,AOC=（15t）°.

當(dāng)/80C=244。。時(shí)，LAOC=30%

/.15t=30,解得t=2；

當(dāng)，為0B=2440C,OC在ZAOB內(nèi)部時(shí)，^AOC=45°,

/.15t=45,解得￡=3；

當(dāng)/4OC=2/B0C時(shí)，^AOC=60°,

A15t=60,解得￡=4；

當(dāng)，4。8=24B0CI時(shí)，Z.AOC=135°,

A15t=135,解得￡=9；

當(dāng)/40C=2N/O2U寸，Z.AOC=180%

A15t=180,解得t=12；

綜上，t=2,3,4,9,12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，解題時(shí)需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】

【例2】（2023?福建漳州?統(tǒng)考一模）在下列條件中：①乙4+48=",②N4482c=1:5:6,③N4=90°-

乙B,@44=乙5=乙（；中，能確定△力8c是直角三角形的條件有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，能證明有一個(gè)角是90度即可.確定△48C是直角三角形.

【詳解】解：由三角形內(nèi)角和定理得乙力+乙8+乙。=180。，

①當(dāng)"1+乙B=4C時(shí)，2zC=180°,zC=90°,能確定△力8c是直角三角形；

②當(dāng)44N&4c=1:5:6時(shí)，zC=-4—X18O°=9O°,能確定A48C是直角三角形；

1+5+6

③當(dāng)乙4=90。一48時(shí)，LA+Z-B=Z.C=90°,能確定△力8C是直角三角形；

④當(dāng)乙4=匕8=4。時(shí)，Z/4+zF=ZC=60°,不能確定△48C是直角三角形；

綜上可知，能確定△48C是直角三角形的條件有3個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直角二角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二角形內(nèi)角和定理.

【變式2-1］（2023?陜西西安?一模）如圖，已知銳角三角形A8C,用尺規(guī)作圖法在BC上作一點(diǎn)P,使得乙8+

^PAB=90°.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】過(guò)點(diǎn)A作力P18C于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

???Z.APB=90°,

???Z.B+乙PAB=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【變式2-2］（2023?湖北武漢?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)4,C及4B的中點(diǎn)0,且D是AC的

中點(diǎn).

B

D/

A,C

O

(I)求證：△/IBC是直角三角形；

(2)若。。的半徑為1,求極：8C的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)4

【分析】(1)連接CD,根據(jù)。是向C的中點(diǎn)，可得￡M=OC,所以乙再根據(jù)點(diǎn)。是力B的中點(diǎn),

可推得DC=OB,所以NB=NOCB,然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；

(2)連接。。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接4E,證明△/1/)￡1?△C8A,可得當(dāng)二,，代入值即可解決問(wèn)題.

CBBA

【詳解】(1)證明：如圖，連接CD,

?.?。是此的中點(diǎn)，

???DA=DC,

：.z.DAC=Z.DCA,

???點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

：,DA=DB,

：.DC=DB,

=乙DCB,

'：LBAC++Z,ACB=180°,

：,LBAC++Z.DCA+乙DCB=180°,

???24+=180°,

???血C+iB=90。，

???AABC是直角三角形；

(2)解：如圖，連接。。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接力E,

???DE是。0的直徑，

/.zDi4F=90°,

???。是/if的中點(diǎn),

，曲=CD,

：,LDEA=Z.BAC,

*：￡DAE=LBCA=90%

**?AADEs&CBA,

?ADDE

??—CB———BA

〈O。的半徑為1,點(diǎn)。是的中點(diǎn),

：,DE=2,AD=-AB,

2

???泗”，

BCAB

：-\AB2=2BC,

：,AB2=4BC,

：.AB2'.BC=4.

B

E

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形用似的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考一模)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，頂點(diǎn)為4(1,1),且與直線y=%-2

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo);

⑵求證：AASC是直角三角形；

(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN_Lx軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以。，M,N為頂點(diǎn)的

三角形與aABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-/+2%；C(-1,-3)

(2)見(jiàn)解析

(3)存在，N點(diǎn)、,其坐標(biāo)為0)或《,0)或(一1,0)或(5,0)

【分析】(1)可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)

坐標(biāo)；

(2)分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作"由的垂線，交x軸于。、E兩點(diǎn)，得出ZiBEC和△AD8為等腰直角三角形,進(jìn)而可

得出/ABC=90。,即可得到答案；

(3)設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)AMON和△A8C相似時(shí)，利用

三角形相似的性質(zhì)可得粵=能或罌=等，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).

ABBCBCAB

【詳解】(1)???頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-I/+1,

又1?拋物線過(guò)原點(diǎn)，

AO=a(0-I)2+1,

解得。=-1,

???拋物線的解析式為y=-(x-1產(chǎn)+1,即y=-x2+2x,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得?=一"+2”，

(y=x-2

解噬記或仁二;，

???B(2,0),C(-l,-3)；

(2)如圖，分別過(guò)4、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸F。、E兩點(diǎn)，

???AZ10B和△8EC為等腰直角三角形，

：.AABO=/-CBO=45°,即248c=90°,

???A/8C是直角三角形；

(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為停,0)或6,0)或(一1,0)或(5,0),理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N,

設(shè)押(%,0),則MQ—/+2x),

.'.ON=|x|,MN=\-x2+2x|,

由(2)在和CEB中，可分別求得48=BC=3yf2,

???MNJL》軸于點(diǎn)N,

：.Z.ABC=乙MNO=90°,

???當(dāng)4MNC^A/IBC相似時(shí)有翳=，或黃=等，

①當(dāng)翳=,時(shí)，則有^^件二界，即|訃|-無(wú)+2|=拉|,

???當(dāng)％=0時(shí)，M、。、N不能構(gòu)成三角形，

，x工0,

/.\-x+2|=^,即一x+2=±5

解得％=(或%=孑此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為信0)或((,0)；

②當(dāng)翳=等時(shí)，則有上青=3即田?1+2|=3|訃

BCAB3V2VZ

：.\-x+2\=3,

即-X+2=±3,解得'=-1或x=5,此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0)或(5,0).

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為C，0)或6,0)或(-1,0)或(5,0).

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、直角三角形的判定、勾

股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論等.在（1）中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的

坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對(duì)應(yīng).本題考查知

識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度稍大.

【題型3利用勾股定理求解】

【例3】（2023?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,。是矩形的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)E、F分

別在邊力0、BC上,連接。OF,若AE=3F=2,則?！?。5的值為（）

j二ED

BFC

A.2V2B.5V2C.V5D.275

【答案】D

【分析】連接AC，BD,過(guò)點(diǎn)。作。M14D于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N,利用勾股定理求得0E的長(zhǎng)即可解題.

【詳解】解：如圖，連接AC,BD.過(guò)點(diǎn)。作。M_L4。于點(diǎn)M,交8C于點(diǎn)N,

??泗邊形A8C。是矩形，

0A=0D=0B

0M1AD

???AM=DM=3

1

0M=2AB=2

???AE=2

???EM=AM-AE=1

0E=>JEM2+OM2=+22=Vs

同理可得OF=VS

OE+OF=2x/5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

【變式3-1](2023?河北保定?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,2),8(-3/)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，b的

值為()

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得b的值.

【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得：

AB=7(-3-l)2+(b-2)2=J16+(匕一2產(chǎn),

當(dāng)匕=2時(shí)，AB有最小值，最小值為4.

因此當(dāng)=2時(shí)，4。最短，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)的最值，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】(2023上?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四邊形A8CQ的對(duì)角線力C,BD交于點(diǎn)O.若

ACLBD,AB=4,CD=通,則BC?+4。2=

【答案】21

【分析】根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】解：-AC1FD,AB=4,CD=V5,

.?.在Rta/lOB中，。/12+。^2=4#=42=16,

.?.在RtaCOO中，OU+。。2=亦=（佝2=5,

又??在Rt△力。。葉上OA2+0D2=AD2,

在中，OB2+0C2=BC2,

22

ABC+AD

222

=（OB+OC）+（OA+。。2）

=(OB2+OA2)+(0。2+。。2)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?河南濮陽(yáng)?統(tǒng)考三模)如圖，在△480中，^BAD=90°,AB=2,AD=2A/3,將力B繞點(diǎn)

4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<90),得到力P,當(dāng)△4。。是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)。到4D的距離為.

【答案】寫(xiě)或1

【詳解】本題考存了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，先在Rt^ABD中，利用勾股定理求出BD=4,

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AP=2,然后分兩種情況：當(dāng)O4=DP時(shí)；當(dāng)P4=PD時(shí)；最后分別進(jìn)行計(jì)

算，即可解答.

【解答】解：=90。，AB=2,AD=273,

???BD=>JAB2+AD2=J22+(275)2=4,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AP=2,

分兩種情況：

當(dāng)DA=DP時(shí)，如圖：

過(guò)點(diǎn)。作OF_L4P,垂足為F,過(guò)點(diǎn)尸作PE_LAO,垂足為E,

AF=FP=^AP=1,

DF=y/AD2-AF2=J(2>/3)2-l2=/1T,

???△AOP的面積=^AD?PE=^AP-DF,

2\[3PE=2xy/11,

解得：PE=亨，

???點(diǎn)P至IJAD的E叵離為斗;

當(dāng)PA=PD時(shí),如圖:

當(dāng)點(diǎn)P落在8。的中點(diǎn)時(shí)，^iBP=BD=^BD=2,

vPA=PD=2,PGLAD,

???AG—DG,

PG是△ABD的中位線，

PG=-2AB=1,

二點(diǎn)P至必。的距離為1；

綜上所述：點(diǎn)P到力0的距離為亨或I,

故答案為：口等或1.

?5

【題型4判斷勾股數(shù)問(wèn)題】

【例4】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考二模）倜髀算經(jīng)》是中國(guó)最占老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于公元前1世

紀(jì).《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）

和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5,后人簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”.觀察下列勾股數(shù)：3,4,5；

5,12,13；7,24,25；…，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù),

弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù),如:6,8,10：8,15,17；...?若某個(gè)此類(lèi)勾股數(shù)的勾為16,則其弦是.

【答案】65

【分析】根據(jù)題意可得，勾為m（m為偶數(shù)且mN4,根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，勾為m（為偶數(shù)且mN4）,則另一條直角邊（￡）2-1,弦（5丫+L

2

則弦為.（蔡）+1=65,

故答案為：65.

【點(diǎn)睛】本題考杳勾股數(shù)的定義，數(shù)字類(lèi)的規(guī)律問(wèn)題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023?黑龍江牡丹江?校考模擬預(yù)測(cè)）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”的“生長(zhǎng)”過(guò)程：如圖①，一個(gè)邊長(zhǎng)

為a的正方形，經(jīng)過(guò)第一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三

角形；再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后變成了圖②；如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”卜去，則第2015次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”

上所有正方形的面積和為

圖①圖②

【答案】2016a2

【分析】運(yùn)用歸納的方法，根據(jù)勾股定理，先求出前幾次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”上所有正方形的面積和，然

后找到變化的規(guī)律，猜測(cè)第〃次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”上所有正方形的面積和，從而獲解.

【詳解】解：生長(zhǎng)之前面積設(shè)為So,第〃次“生長(zhǎng)”后的面積為％,

:.=a2,

Si=Q2+Q2=2a2,

222

Sz=2a4-a=3a,

2

Sn=（n+l）a,

22

當(dāng)n=2015時(shí)，S2OOo=（2015+l）a=2016a；

故答案為:2016a2.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律、勾股定理，正確理解題中圖形的變化規(guī)律、準(zhǔn)確用代數(shù)式表示規(guī)律是解

答此題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上

第一次給出勾股數(shù)公式的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中a,b均小于c,Q=

c=|TH2+m是大于1的奇數(shù)，則力=（用含m的式子表示）.

【答案】m

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到a,b為直用邊，c為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到匕的

值.

【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)小b,C,其中a,b均小于c,

??.a,Z?為直角邊，。為斜邊，

???a2+b2=c2,

.5

得到:nf*-^m2+；+爐=Am4-1m2+:,

b2=m2,

:.b=±771,

,J7R是大于1的奇數(shù)，

:?b=m.

故答案為：m.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚a,b為直角邊，c為斜邊是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾

2

股數(shù)a,b,。的計(jì)算公式：Q=g(m2-n2),b=mn,c=+n),其中m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇

數(shù).下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是()

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

【答案】C

【分析】首先證明出小+爐=。2,得到小〃是直角三角形的直角邊然后由血>九>o,m,71是互質(zhì)的奇數(shù)

逐項(xiàng)求解即可.

[詳解】,.,?=!(m2—n2),b=mn,c=1(m2+n2),

：,a2+b2=[l(m2-n2)]2+(mn)2=i(?n2-n2)2+m2n2=+^m2n2

Vc2=[i(m2+n2)]2=^(m2+n2)2=4-im2n2+^n4,

.*.G2+h2=c2.

"〃是直角三角形的直角邊，

Vm,九是互質(zhì)的奇數(shù)，

A.3=1x3?

；?當(dāng)m=3,九=1時(shí)，a=^(ni2-n2)=4,b=mn=3,c=^(m24-n2)=5,

，3,4,5能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出;

B.5=1x5,

22

.?.當(dāng)m=5,九=1時(shí)，Q=:（m2一/2）=12,/7=mn=5,c=|（ni+n）=13,

???5,12,13能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出；

C.6=2x3?8=2x4,

V?n,n是互質(zhì)的奇數(shù)，

???6,8,1（）不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出：

D.7=1x7,

22

.?.當(dāng)血=7,〃=1時(shí)，Q=乙(血2一/2)=24,b=inn=7,c=-(m+n)=25,

22

：?7,24,25能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個(gè)條件去求得符合題意的t的

值是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題】

【例5】（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫(huà)出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形：

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

圖1圖2

⑴直接寫(xiě)出紙板上Z4BC與紙盒上“出心的大小關(guān)系;

⑵證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】(1)4

(2)證明見(jiàn)解析?.

【分析】(1)和A4181cl均是等腰直角三角形,幺BC=44津￡=45。；

(2)證明△ABC是等腰直角三角形即可.

【詳解】(1)解：乙=

(2)證明：連接4C,

C

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1,則4c=BC=71?+2?=遍,AB=Vl2+32=V10,

vAC2+BC2=5+5=業(yè)，

??.△A8C為等腰直角三角形，

FiCi=BG=1,41cl1B1C1,

???△48傳1為等腰直角三角形，

???乙ABC=Z-A1B1C1=45°,

故乙48c=乙4181G

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在2x4的方格紙4BCD中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1.已

知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求畫(huà)格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上).

(1)在圖中畫(huà)一個(gè)等腰三角形PEF,使底邊長(zhǎng)為近，點(diǎn)E在8c上，點(diǎn)尸在AD上，再畫(huà)出該三角形繞矩形力BCD

的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

(2)在圖中畫(huà)一個(gè)Rt使NP=45。，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)R在AD上，再畫(huà)出該三角形向右平移1個(gè)單位

后的圖形.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）底邊長(zhǎng)為企即底邊為小方格的對(duì)角線，根據(jù)要求面出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在

格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰△PEF,然后根據(jù)中心旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出繞矩形4BCD的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，按要求構(gòu)造等腰直角三角形，然后按平移的規(guī)律作出平移后圖形即可.

【詳解】（1）（1）畫(huà)法不唯一，如圖1（PF=V2,PE=EF=y/S）,或圖2（PE=五PF=EF=回.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，靈活畫(huà)出相等的線段和互相垂直或平行的

線段.

【變式5-2】（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,C,D

均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

⑴畫(huà)出線段A8關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng)的線段A]Bi：

（2）將線段力8向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段必為，畫(huà)出線段&B2；

（3）描山線段48上的點(diǎn)M及直線CO上的點(diǎn)N,使得直線MN垂史平分

【答案】（I）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找到4B關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，4,B],連接力1，/，則線段4當(dāng)即為所求;

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段人82即為所求；

（3）勾股定理求得=BM=Vl2+32=V10,MN=Vl2+32=V10,則AM=MN證明△NPM=△MQA

得出NNMP+41MQ=90。，則則點(diǎn)M,N即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段451即為所求;

一（1―/vUA1干?,J,

KT,

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（2）解：如圖所示，線段力2%即為所求;

（3）解：如圖所示，點(diǎn)M,N即為所求

'：AM=BM=Vl2+32=同,MN=Vl2+32=V10,

：.AM=MN,

又NP=MQ=1,MP=AQ=3,

AANPM三△MQ4

:?乙NMP=4MAQ,

又/M4Q+Z.AMQ=90°,

：.LNMP+Z.AMQ=90°

：.AM1MN,

.??時(shí)/7垂直平分力從

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊

長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).點(diǎn)4、8均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中

按下列要求作△/8C,點(diǎn)C在格點(diǎn)上.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，△4BC的面積為土

(2)在圖②中，△力BC的面積為5

(3)在圖③中，△4BC是面積為T(mén)的速角三角形.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

⑶見(jiàn)解析

【分析】(1)以4B=3為底，設(shè)45邊上的高為九，依題意得SMbcng/B—n(解得九=3,即點(diǎn)。在48上

方且到距離為3個(gè)單位的線段上的格點(diǎn)即可；

(2)由網(wǎng)格可知，AB=V32+I2=710,以AB=為底，設(shè)AB邊上的高為h,依題意得S。8c=^AB-h=

5,解得/i=VT5,將48繞A或B旋轉(zhuǎn)90。，過(guò)線段的另一個(gè)端點(diǎn)作的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C；

(3)作力B=V§,過(guò)點(diǎn)。作CDIL48,交于格點(diǎn)C,連接A、B、C即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，

以48=3為底，設(shè)邊上的面為h,

依題意得：S^ABC=\AB-h=\

解得：h=3

即點(diǎn)C在48上方且到48距離為3個(gè)單位的線段上的格點(diǎn)即可，

答案不唯一:

(2)由網(wǎng)格可知，

AB=啟+12=V10

以=為底，設(shè)48邊上的高為h,

依題意得：?h=5

解得：h=V10

將48繞A或8旋轉(zhuǎn)90。，過(guò)線段的另一個(gè)端點(diǎn)作48的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,

(3)如圖所示，

作8。=48=遙，過(guò)點(diǎn)。作CDIL48,交于格點(diǎn)C,

圖③

由網(wǎng)格可知，

BD=AB=V22+I2=V5,AD=V10,

??.A是直角三角形，且481BD

\'CD\\AB

??SUBC-*80=

【點(diǎn)睛】本題考杳了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長(zhǎng)度，與三角形II勺高的有關(guān)計(jì)算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)

格作平行線或垂直.

【題型6利用勾股定理解決折疊問(wèn)題】

【例6】（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形力BCD的邊4）=5,040。=1:4,將

矩形A8C。沿宜線OE折疊到如圖所示的位置，線段。5恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)G位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)

是（）

【答案】D

【分析】首先證明^力?！?△5G。，求出AB=CD=2,連結(jié)OC,設(shè)BC與。Ci交于點(diǎn)P,然后求出0C=

OC=2V5,可得q尸二2花一2,再用含EF的式子表示出EG，最后在RtafiTCi中，利用勾股定理構(gòu)建方

程求出EF即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：?.?矩形力BCD的邊力。=5,OA-.OD=1:4,

：,0A=1,OD=4,BC=5,

由題意知A8II0G，

LABO=Z.D1OClt

又?.?匕8力。="DG=90°,

AAOBDiG。，

?OA_D]C]

9

?AB~ODr'

由折疊知。。i=OD=4,0傳1=DC=AB,

.I_AB

??布=7'

：.AB=2,即CO=2,

連接。C,設(shè)BC與OC1交于點(diǎn)F,

：.0C=y/OD24-CD2=V42+22=2低

'CLFOA=LOAB=匕ABF=90°,

???四邊形04BF是矩形，

：,AB=OF=2,Z.BFO=90°=乙EFC\,OA=BF=1,

：.CF=5-1=4,

由折疊知OG=OC=2V5,EG=EC=CF-EF=4—EF,

:?CiF=OG-OF=2V5-2,

???在RtAEFG中，E產(chǎn)+G產(chǎn)=EQ2,

:.EF2+（275-2）2=（4-EF）2,

解得：EF=遙-1,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1一遍,2）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí),

通過(guò)證明三角形相似、，利用相似三角形的性質(zhì)求出48的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)￡、尸分別在邊AO、BC

上，將正方形沿著Er翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)夕處，如果四邊形力BFE與四邊形E/C。的面積比為

3：5,那么線段rC的長(zhǎng)為.

【答案】I

【分析】連接8丁，過(guò)點(diǎn)廣作FHIAD于點(diǎn)”，設(shè)CF=x,則Z)H=%,MBF=1-x,根據(jù)已知條件，分別表

示出4瓦EH,HD,證明三(ASA),得出EH="。=：-2%,在RtZkB'FC中，BrF2=B'C24-

CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接BB',過(guò)點(diǎn)尸作尸，14D于點(diǎn)，，

???正方形48CD的邊長(zhǎng)為1,四邊形4B/E與四邊形E"D的面積比為3:5,

???5四邊形48戶￡=6、1=~?

設(shè)CF=x,則0”=x,WijFF=l-x

i3

???S四邊形人川^二之。^9+8F)xAB=-

即：G4E+1-x)x1=1

：,AE=x--

4

：.DE=l-AE=--x,

4

：,EH=ED-HD=--x-x=--2x,

44

???折疊,

：.BBf±EF,

Azl+42=Z.BGF=90°,

Vz2+Z3=9O°,

Azl=Z3,

又FH=BC=l/EHF=zf

:.公EHFw^B'CB(ASA),

:?EH=B'C=--2x

4

在RtaB'/T中，B'F2=B'C2+CF2

即（1一%）2=%2+?一2。2

解得：%=，

o

故答案為；o

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折登的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?遼寧盤(pán)錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8CD是矩形，AB=瓜,BC=6.點(diǎn)E為邊BC的

中點(diǎn)，點(diǎn)?為邊上一點(diǎn)，將四邊形力8EP沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)ZT,過(guò)點(diǎn)夕

作B'HIBC于點(diǎn)從若夕，=2々，則尸。的長(zhǎng)是.

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)￡左側(cè)時(shí)，設(shè)夕E交4。于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EM_LA0于點(diǎn)M,則四邊形力3EM為

矩形AB=ME=V5,AM=BE=3,由折疊可知BE=B'E=3,乙BEF=cB'EF,由平行線的性質(zhì)可得

乙GFE=乙BEF,于是乙GFE=LB'EF,FG=EG,利用勾股定理求得EH=1,證明△EMG?△8'HE,利用

相似三角形的性質(zhì)求得EG=學(xué)=FG,MG=y,于是FM=FG-MG=瓜力尸=3—V5,則FC=AD-

A凡代入計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，設(shè)交BC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作FK1BC于點(diǎn)K,同理可得

B'E=3,FP=EP,四邊形KCDF為矩形，F(xiàn)K=AB=灰，利用相似三角形的性質(zhì)求得“=^-=EP,PK=

―,進(jìn)而去除EK=EP-PK=^-蟲(chóng)=V5,則0F=CK=以＜一EK,代入計(jì)算即可求解.

222

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作_L于點(diǎn)M,

則"ME=90°,

???點(diǎn)￡為邊8c的中點(diǎn),

BE=CE=-BC=3,

2

???四邊形為BCD為矩形，BC=6,

AD=BC=6,Z-A=/.B=90°.AD\\BC,

:.Z.AMH=z_A==9U°,

四邊形/BEM為矩形，

AB=ME=V6,AM=BE=3,

由折疊可知，BE=B'E=3,乙BEF=￡B'EF,

?：AD\\BC,

???Z.GFE=乙BEF,

：.￡GFE=(B'EF,UPzGFF=Z.CEF,

FG=EG,

???B'H1BC,

:.￡B'HE=90°,

在中，EH=y/B'E2-BrH2=J32-(2V2)2=1,

???ME±BC,B'H_LBC,

：,Z.EMG=乙B'HE=90°,

???ADWBC,

Z.EGM=乙B'EH,

???△EMGB'HE,

EM__EG__MG_prjEG_MG_

E'H~B'E~HE'~3~1-