5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值（基礎(chǔ)知識(shí)+基本題型）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

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wèn)題．我們可以根據(jù)函數(shù)圖象在坐標(biāo)軸中的位置不同，結(jié)合極值的大小確定參數(shù)的范圍．例5設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？解析：（1）．令，則或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：（，1）1+0－0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的極大值是，極小值是．（2）函數(shù)，由此，知取足夠大的正數(shù)時(shí)有，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有，所以曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合的單調(diào)性，知當(dāng)?shù)臉O大值，即當(dāng)時(shí)，它的極小值也小于0，故曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在內(nèi)；當(dāng)?shù)臉O小值，即當(dāng)時(shí)，它的極大值也大于0，故曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在內(nèi)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例6．求下列函數(shù)的最值：（1）；（2）；（3），且為常數(shù)解：（1）因?yàn)楹愠闪ⅲ栽谏鲜菃握{(diào)遞減的．故當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值．①（2）因?yàn)?，所以，解得．②又因?yàn)?，令，解得，所以在?nèi)的極值為．又因?yàn)?，所以函?shù)的最大值為，最小值為－1．（3）．若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值．若，令，解得．③因?yàn)?，所以．④①若，即，?dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：01+0－0單調(diào)遞增↗單調(diào)遞減↘當(dāng)時(shí)，有．若，即，則；若，即，則．②若，即1，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，最小值為，最大值為0；當(dāng)時(shí)，最小值為，最大值為；當(dāng)時(shí)，最小值為0，最大值為；當(dāng)1時(shí)，最小值為0，最大值為．在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時(shí)，只需先求出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極值，再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可．例7．已知函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，，使在上取得最大值3，最小值．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：求出在上的解，研究函數(shù)的單調(diào)性，在極值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得最大值3和最小值－29，構(gòu)建方程（組）解出．解：因?yàn)椋裕@然，否則為常數(shù)函數(shù)，與已知矛盾．故令，解得（舍去）．若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．則是函數(shù)在上的極大值，且是最大值，即．故．因?yàn)?，所以，所以，解得．若，同理可得，．綜上所述，存在滿足條件的分別為或．對(duì)于含參函數(shù)，因?yàn)閰?shù)的不同取值往往會(huì)帶來(lái)函數(shù)單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，所以對(duì)這一類題目需要對(duì)參數(shù)分類討論進(jìn)行求解．分類依據(jù)：①導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)；②導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．考點(diǎn)五函數(shù)最值的應(yīng)用例8．已知曲線，直線，當(dāng)時(shí)，直線恒在曲線C的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：由題意，知當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則．令，解得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在(-3，-1)內(nèi)單調(diào)遞減；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，．所以在（－1，3）內(nèi)單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，故．（1）構(gòu)造法與函數(shù)思想的應(yīng)用：恒成立恒成立，恒成立恒成立，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）分離參數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：恒成立恒成立，即把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題．例9．已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的最小值；（3）若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍．分析：（1）求函數(shù)定義域，就是解不等式，需對(duì)進(jìn)行分類討論；（2）要求復(fù)合函數(shù)在內(nèi)的最小值，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以考慮求的最小值；（3）不等式恒成立問(wèn)題，用分離參數(shù)法求解．解：（1）由，得．當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?）設(shè)，因?yàn)楫?dāng)