精-品解析：廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三階段考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期第三階段考試高一數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題人：遲菲審題人：劉嘉注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自已的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上.3.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.4.非選擇題的答案必須寫(xiě)在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.第一卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式后由交集運(yùn)算得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2.已知，則下列一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，則，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由可得，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)楹愠闪?，所以由可得，故D正確.故選：D3.若扇形的面積為1，且弧長(zhǎng)為其半徑的兩倍，則該扇形的周長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，由弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系求出，再由面積求出，即可求出扇形的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則弧長(zhǎng)，所以，扇形的面積，解得或（舍去），所以，則該扇形的周長(zhǎng)為.故選：C4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)分段求解函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：A.5.頭孢類藥物具有廣譜抗菌、抗菌作用強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，是高效、低毒、臨床應(yīng)用廣泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某種頭孢類藥物后，血漿中的藥物濃度在2h后達(dá)到最大值80mg/L，隨后按照確定的比例衰減，半衰期（血漿中的藥物濃度降低一半所需的時(shí)間）為2.4h，那么從服藥后開(kāi)始到血漿中的藥物濃度下降到8mg/L，經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.8h B.9h C.10h D.11h【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式求解即可.【詳解】設(shè)血漿中的藥物濃度從最大值80mg/L下降到8mg/L需要經(jīng)過(guò)，則，所以，則，故從服藥后開(kāi)始到血漿中的藥物濃度下降到8mg/L需要8+2=10（h）.故選：C.6.設(shè)實(shí)數(shù)，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式得到解集，根據(jù)兩個(gè)解集的包含關(guān)系，得到答案.【詳解】由，解得，由，可得或，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.記函數(shù)的最小正周期為.若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)周期公式求出，再由對(duì)稱性確定的值，即可得到函數(shù)解析式，最后代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒闈M足，所以，解得，又的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以解得，當(dāng)時(shí)，所以，則.故選：C8.已知函數(shù)，若存在，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得，求出，的余弦，再利用角的變換得解.【詳解】令，，則或，令，，則，又，，所以，，因?yàn)椋?，?故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列化簡(jiǎn)正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用二倍角公式判斷A、C，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式判斷B，利用兩角和的正切公式判斷D.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：BD10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的為（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)左加右減得到的解析式，A選項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)最小正周期公式求出A正確；B選項(xiàng)，無(wú)意義，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，整體法判斷出函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，計(jì)算出，故D正確.【詳解】由題意得，A選項(xiàng)，的最小正周期為，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)檎泻瘮?shù)沒(méi)有對(duì)稱軸，故不是的對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱，D正確.故選：AD11.已知，且，則（）A.的最大值為2 B.可能為3C.的最大值為2 D.的最小值為6【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，又，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BCD.12.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性以及作差的方法比較大小．【詳解】由題意得，即，又，則，令，又，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，可得，，兩邊同取?為底的對(duì)數(shù)得：，，移項(xiàng)得，兩邊同取以3為底的對(duì)數(shù)得，所以，所以，所以，且，，下面嚴(yán)格證明當(dāng)時(shí)，，，，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，有，，，下面證明：，，要證：，即證：，等價(jià)于證明，即證，此式開(kāi)頭已證明，對(duì)，左邊分子分母同除，右邊分子分母同除得，則故當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，則，，綜上，.故選：BC．三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則滿足上述條件的冪函數(shù)可以為_(kāi)_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用冪函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性得到指數(shù)滿足的條件，再寫(xiě)出一個(gè)滿足題意的冪函數(shù)即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由題意，得為奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以（）或（是奇數(shù)，且互質(zhì)），所以滿足上述條件的冪函數(shù)可以為.故答案為：（答案不唯一）.14.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則，所以.故答案為：.15.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)及所給關(guān)系求出函數(shù)周期即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，即函數(shù)周期，所以.故答案為：16.已知函數(shù)（其中）.為的最小正周期，且滿足.若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值一個(gè)最小值，的取值范圍是__________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意可得為的一條對(duì)稱軸，即可求得，再以為整體分析可得，計(jì)算可得.【詳解】由題意可得：的最小正周期，∵，且，則為的一條對(duì)稱軸，∴，解得，又∵，則，，故，∵，則，若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值一個(gè)最小值，則，解得，故的取值范圍是.故答案為：.第二卷四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的對(duì)稱軸；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由的范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，令，則，令，得，在區(qū)間上的對(duì)稱軸為；【小問(wèn)2詳解】對(duì)于，，，，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，即；當(dāng)或，即或時(shí)取得最小值，即；，所以函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為.18.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).（1）求的值；（2）用定義證明在上單調(diào)遞增.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得，求出值再驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)題意，取值、作差、變形、判斷符號(hào)，最后得到其單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，即，解得，下證當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù).，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù).小問(wèn)2詳解】由（1）得，任取，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而，，即，是上的單調(diào)增函數(shù).19.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）若，且.求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和差角的余弦公式求出答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，從而得到余弦和正切，利用正切二倍角公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】由已知，，，，20.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意都有，，且當(dāng)時(shí)，.（1）求；（2）已知，且，若，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）賦值得到，進(jìn)而得到；（2）利用定義法得到函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合，得到不等式，分和兩種情況，求出答案.【小問(wèn)1詳解】令得，，令，得，，令，得，；【小問(wèn)2詳解】任意，設(shè)，則，時(shí)，，，，是上的減函數(shù)，中，令得，故為奇函數(shù)，，且，又，，，即，則，當(dāng)時(shí)，，則，即，故；當(dāng)時(shí)，，則，即，則；綜上，的取值范圍為21.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OAB，其中，千米，為了增加人工湖的觀賞性，政府計(jì)劃在人工湖上建造兩個(gè)觀景區(qū)，其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形，噴泉觀景區(qū)的形狀為，且C在OB上，D在OA上，P在上，記．（1）試用θ分別表示矩形和的面積；（2）若在PD的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬(wàn)元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)的費(fèi)用為每平方千米16萬(wàn)元，建造荷花池的總費(fèi)用為6萬(wàn)元．求當(dāng)θ為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用．【答案】（1）矩形的面積為；的面積為：（2），萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，進(jìn)而求得矩形和的面積的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，得到總費(fèi)用為：，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，所以，，所以矩形PCOD的面積為，面積為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，可得建造觀景區(qū)所需總費(fèi)用為：，設(shè)，則，又由，所以，當(dāng)，即時(shí)，有，所以（萬(wàn)元），即當(dāng)平時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用為萬(wàn)元．22.設(shè)函數(shù).（1）設(shè)，在處取得最大值，求；（2）關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有12個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，其中，，進(jìn)而存在滿足題意，利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式可得，由對(duì)稱性可知還存在，同理可得，從而即可得答案；（2）由，可得函數(shù)為周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)周期性和對(duì)稱性可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，然后根據(jù)三角函數(shù)