2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第2講用樣本估計(jì)總體創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第2講用樣本估計(jì)總體[考綱解讀]1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能依據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并體會它們各自的特點(diǎn)．(重點(diǎn))2．理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的說明．3．會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．(難點(diǎn))4．會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決實(shí)際問題．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的一個熱點(diǎn)．預(yù)料2024年將會考查用樣本估計(jì)總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖或莖葉圖估計(jì)總體，利用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體．題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型．頻率分布直方圖與莖葉圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等學(xué)問綜合命題.1.作頻率分布直方圖的步驟2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的eq\o(□,\s\up1(01))中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著eq\o(□,\s\up1(02))樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，eq\o(□,\s\up1(03))組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．3．莖葉圖(1)莖葉圖的概念：統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．(2)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)：一是全部的信息都可以從這個莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布狀況．4．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)eq\o(□,\s\up1(01))最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊eq\o(□,\s\up1(02))中點(diǎn)的橫坐標(biāo)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但明顯它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最eq\o(□,\s\up1(03))中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積eq\o(□,\s\up1(04))相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些狀況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時(shí)也會成為缺點(diǎn)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之eq\o(□,\s\up1(05))和平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)牢靠性降低(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．1．概念辨析(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(2)從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的詳細(xì)數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．()(3)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的依次寫，右側(cè)的葉按從小到大的依次寫，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小題熱身(1)(2024·全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)當(dāng)用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.(2)若某校高一年級8個班參與合唱競賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92答案A解析由莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(1,2)×(91＋92)＝91.5，平均數(shù)是eq\f(1,8)×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.(3)港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速馬路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖(如圖)，依據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A．3000.25 B．3000.35C．600.25 D．600.35答案B解析由頻率分布直方圖，得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率為0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)為0.3×1000＝300，行駛速度超過90km/h的頻率為(0.05＋0.02)×5＝0.35.故選B.(4)(2024·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).題型一樣本數(shù)字特征的計(jì)算及應(yīng)用1．(2024·全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時(shí)，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.2．(2024·長沙二模)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大獨(dú)創(chuàng)”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的運(yùn)用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車運(yùn)用的人數(shù)分別為x1，x2，x3，…，x100，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其中掃碼支付運(yùn)用的人數(shù)分別為3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，方差為s′2，則eq\o(x,\s\up6(－))′，s′2分別為()A．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,3s2＋2 B．3eq\o(x,\s\up6(－))，3s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2 D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2＋2答案C解析依據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，…x100的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)(x1＋x2＋x3＋…＋x100)，s2＝eq\f(1,100)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x100－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，若3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，則eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,100)[(3x1＋2)＋(3x2＋2)＋…＋(3x100＋2)]＝3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，方差s′2＝eq\f(1,100)[(3x1＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋(3x2＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋…＋(3x100＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2]＝9s2.3．一組數(shù)據(jù)1,10,5,2，x,2，且2<x<5，若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的eq\f(2,3)倍，則該數(shù)據(jù)的方差為________．答案9解析依據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2，x,5,10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大?。?2)方差的簡化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．(3)平均數(shù)、方差的公式推廣①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.見舉例說明2.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.a．?dāng)?shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；b．?dāng)?shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.見舉例說明2.1．(2024·六安模擬)某樣本中共有5個個體，其中4個值分別為0,1,2,3，第5個值丟失，但該樣本的平均值為1，則樣本方差為()A．2 B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(30),5)答案A解析設(shè)第5個值為x，則由題意，得eq\f(1,5)×(0＋1＋2＋3＋x)＝1，解得x＝－1，所以樣本方差s2＝eq\f(1,5)×[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2]＝2.2．(2024·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為________．答案0.98解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.題型二扇形圖、折線圖1．(2024·株洲市高三摸底)某市2024年12個月的PM2.5的平均濃度指數(shù)如圖所示．由圖推斷，四個季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是()A．第一季度 B．其次季度C．第三季度 D．第四季度答案B解析依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，知第一季度的數(shù)據(jù)是72.15,43.96,93.13；其次季度的數(shù)據(jù)是66.5,55.25,58.67；第三季度的數(shù)據(jù)是59.16,38.67,51.6；第四季度的數(shù)據(jù)是82.09,104.6,168.05；視察得出其次季度的數(shù)據(jù)波動性最小，所以其次季度的PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小．故選B.2．(2024·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入改變狀況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案A解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M(1)通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清晰的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(依據(jù)常用比例放置)而改變的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此特別適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．(2024·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)“科技引領(lǐng)，布局將來”，科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動力氣.2007年至2024年，某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元．我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比．這12年間的研發(fā)投入(單位：十億元)用如圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用如圖中的折線圖表示．依據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯誤的是()A．2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2024年至2024年增量大B．2013年至2024年研發(fā)投入數(shù)量相比2024年至2024年增量小C．該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入逐年增加D．該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入占營收比逐年增加答案D解析由題圖可知，該企業(yè)在2008年至2009年、2013年至2024年和2024年至2024年研發(fā)投入占營收比是下降的，所以D錯誤．故選D.題型三莖葉圖及其應(yīng)用1．(2024·鄭州三模)某同學(xué)10次測評成果的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中位數(shù)為12.若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則4x＋2y的值是()A.12 B．14C．16 D．18答案A解析因?yàn)榭傮w的中位數(shù)為12，所以eq\f(10＋x＋10＋y,2)＝12，即x＋y＝4，所以總體的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(2＋2＋3＋4＋10＋x＋10＋y＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，只要(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2最?。?yàn)?10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2≥2×（eq\f(10＋x－11.4＋10＋y－11.4,2)）2＝0.72，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)等號成立，所以4x＋2y＝12.故選A.2．某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行比照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過視察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．解(1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過視察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．1．莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；其次步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左(右)側(cè)；有兩組數(shù)據(jù)時(shí)，寫在中間；第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè)．莖葉圖的繪制需留意：①“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不須要統(tǒng)一；②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特殊是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．2．莖葉圖的應(yīng)用莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否勻稱等．1．甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次競賽成果(單位：環(huán))如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動員平均成果相同，則成果較穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動員成果的方差為()A．2 B．4C．6 D．8答案A解析依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成果相同，即eq\f(1,5)×(87＋89＋90＋91＋93)＝eq\f(1,5)×(88＋89＋90＋91＋90＋x)，解得x＝2，所以平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝90；依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成果波動性小，較為穩(wěn)定(方差較小)，所以甲成果的方差為s2＝eq\f(1,5)×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.故選A.2．如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中的成果(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則x，y的值分別為()A．4,5 B．5,4C．4,4 D．5,5答案A解析由已知，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是124，則x＝4，即甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為124.所以eq\f(1,6)×(116＋116＋125＋120＋y＋128＋134)＝124，解得y＝5.故選A.題型四頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)1．黨的十九大報(bào)告指出：“脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得確定性進(jìn)展，六千多萬貧困人口穩(wěn)定脫貧，貧困發(fā)生率從百分之十點(diǎn)二下降到百分之四以下．”2024年各地依據(jù)實(shí)際進(jìn)行創(chuàng)新，精準(zhǔn)、高效地完成了脫貧任務(wù)．某地區(qū)對當(dāng)?shù)?000戶家庭的2024年所得年收入狀況調(diào)查統(tǒng)計(jì)，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千元)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，則年收入不超過6萬的家庭大約為()A．900戶 B．600戶C．300戶 D．150戶答案A解析由頻率分布直方圖得：年收入不超過6萬的家庭所占頻率為：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超過6萬的家庭大約為0.3×3000＝900.角度2求數(shù)字特征2．某市在對兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行的調(diào)查中，從兩千多名出租車司機(jī)中隨機(jī)抽選100名司機(jī)，已知這100名司機(jī)的年齡都在20歲至50歲之間，且依據(jù)調(diào)查結(jié)果得出的年齡狀況頻率分布直方圖如圖所示(部分圖表污損)．利用這個殘缺的頻率分布直方圖，可估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是()A．31.4歲 B．32.4歲C．33.4歲 D．36.4歲答案A解析由頻率分布直方圖可知[20,25)的頻率為0.1，[25,30)的頻率為0.3，[30,35)的頻率為0.35，因?yàn)?.1＋0.3<0.5<0.1＋0.3＋0.35，所以中位數(shù)x0∈[30,35)，由0.1＋0.3＋(x0－30)×0.07＝0.5，得x0≈31.4.故選A.3．(2024·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1．頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．見舉例說明1.(2)各小長方形的面積之和等于1.2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中位數(shù)；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．見舉例說明3.1．(2024·湘潭三模)統(tǒng)計(jì)某校n名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)同步練習(xí)成果(滿分150分)，依據(jù)成果分?jǐn)?shù)分成如下6組：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，并繪制頻率分布直方圖如圖所示，若已知不低于140分的人數(shù)為110，則n的值是()A．800 B．900C．1200 D．1000答案D解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得10×(0.031＋0.020＋0.016×2＋m＋0.006)＝1，解得m＝0.011，∵不低于140分的頻率為0.011×10＝0.11，∴n＝eq\f(110,0.11)＝1000.2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？解(1)頻率分布直方圖如圖．(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．組基礎(chǔ)關(guān)1．一個頻數(shù)分布表(樣本容量為30)不當(dāng)心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)上的頻率為0.8，則估計(jì)樣本在[40,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為()A．14 B．15C．16 D．17答案B解析由頻數(shù)分布表可知，樣本中數(shù)據(jù)在[20,40)上的頻率為eq\f(4＋5,30)＝0.3，又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在[20,60)上的頻率為0.8，所以樣本在[40,60)內(nèi)的頻率為0.8－0.3＝0.5，數(shù)據(jù)個數(shù)為30×0.5＝15.2．甲、乙、丙、丁四人參與國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽選拔賽，四人的平均成果和方差如表：甲乙丙丁平均成果eq\o(x,\s\up6(－))86898985方差s22.13.52.15.6從這四人中選擇一人參與國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽，最佳人選是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案C解析丙平均成果高，方差s2小(穩(wěn)定)，故最佳人選是丙．3．(2024·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)珍寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的狀況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案C解析解法一：設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為x，則x＋80－60＝90，解得x＝70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.解法二：用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關(guān)系如圖：易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.4．(2024·欽州模擬)某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個檢測，如圖是依據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量(單位：克)繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組，分別為[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]，則樣本的中位數(shù)在()A．第三組 B．第四組C．第五組 D．第六組答案B解析由圖可得，前四組的頻率為(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，則其頻數(shù)為40×0.55＝22，且第四組的頻數(shù)為40×0.1×2＝8，故中位數(shù)落在第四組，所以B正確．5．如圖所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB答案B解析由圖可知A組的6個數(shù)為2.5,10,5,7.5,2.5,10，B組的6個數(shù)為15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝6.25，eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)≈11.67.明顯eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B.又由圖形可知，B組的數(shù)據(jù)分布比A勻稱，改變幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以sA>sB，故選B.6．(2024·合肥一模)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖和90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不肯定正確的是()注：90后指1990年及以后誕生，80后指1980～1989年之間誕生，80前指1979年及以前誕生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C．90后從事運(yùn)營崗位的人數(shù)比80前從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的人數(shù)多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)比80后從事技術(shù)崗位的人數(shù)多答案D解析對于A，由餅狀圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占了56%，故A正確．對于B，由條形圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為39.6%，故B正確．對于C，由兩圖數(shù)據(jù)可計(jì)算出整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營崗位的90后占56%×17%＝9.52%，大于互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中的80前總?cè)藬?shù)，故C正確．對于D，因?yàn)?0后從事技術(shù)崗位的人數(shù)所占比例不清晰，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的90后人數(shù)不肯定比80后的人數(shù)多，故D錯誤．故選D.7．(2024·重慶名校聯(lián)盟調(diào)研)在樣本頻率分布直方圖中共有9個小矩形，若其中1個小矩形的面積等于其他8個小矩形面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為210，則該組的頻數(shù)為()A．28 B．40C．56 D．60答案D解析設(shè)該小矩形的面積為x,9個小矩形的總面積為1，則其他8個小矩形的面積和為eq\f(5,2)x，所以x＋eq\f(5,2)x＝1，所以x＝eq\f(2,7)，所以該組的頻數(shù)為eq\f(2,7)×210＝60.8．(2024·貴陽模擬)某地的中小學(xué)辦學(xué)條件在政府的教化督導(dǎo)下，快速得到改善．教化督導(dǎo)一年后，分別隨機(jī)抽查了初中(用A表示)與小學(xué)(用B表示)各10所學(xué)校，得到相關(guān)指標(biāo)的綜合評價(jià)得分(百分制)的莖葉圖如圖所示，則從莖葉圖可得出正確的信息為(80分及以上為優(yōu)秀)()①初中得分與小學(xué)得分的優(yōu)秀率相同②初中得分與小學(xué)得分的中位數(shù)相同③初中得分的方差比小學(xué)得分的方差大④初中得分與小學(xué)得分的平均值相同A．①② B．①③C．②④ D．③④答案B解析從莖葉圖可知抽查的初中得分的優(yōu)秀率為eq\f(3,10)×100%＝30%，小學(xué)得分的優(yōu)秀率為eq\f(3,10)×100%＝30%，故①正確；初中得分的中位數(shù)為75.5，小學(xué)得分的中位數(shù)為72.5，故②不正確；從莖葉圖可知初中得分比小學(xué)得分分散，所以初中得分的方差比小學(xué)得分的方差大，故③正確；初中得分的平均值為75.7，小學(xué)得分的平均值為75，故④不正確．所以正確的信息為①③，故選B.9．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為2，若數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差為8，則a的值為________．答案2解析依據(jù)方差的性質(zhì)，知a2×2＝8，解得a＝2.10．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周運(yùn)用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖．若從每周運(yùn)用時(shí)間在[15,20)，[20,25)，[25,30]三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從運(yùn)用時(shí)間在[20,25)內(nèi)的學(xué)生中應(yīng)選取的人數(shù)為________．答案3解析由頻率分布直方圖，知5×(0.01＋0.02＋a＋0.04＋0.04＋0.06)＝1，解得a＝0.03，即運(yùn)用時(shí)間在[15,20)，[20,25)，[25,30]三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為4∶3∶1，則從每周運(yùn)用時(shí)間在[15,20)，[20,25)，[25,30]三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從運(yùn)用時(shí)間在[20,25)內(nèi)的學(xué)生中應(yīng)選取的人數(shù)為eq\f(3,8)×8＝3.組實(shí)力關(guān)1．某校高二(1)班一次階段考試數(shù)學(xué)成果的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分如圖，依據(jù)圖中的信息，可確定被抽測的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為()A．20,2 B．24,4C．25,2 D．25,4答案C解析由頻率分布直方圖可知，組距為10，所以[50,60)的頻率為0.008×10＝0.08，由莖葉圖可知[50,60)的人數(shù)為2，設(shè)參與本次考試的總?cè)藬?shù)為N，則N＝eq\f(2,0.08)＝25，依據(jù)頻率分布直方圖可知[90,100]內(nèi)的人數(shù)與[50,60)的人數(shù)一樣，都是2.故選C.2．(2024·葫蘆島一模)一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差為2的等差數(shù)列{an}，若a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A．12,13 B．13,13C．13,12 D．12,14答案B解析依題意aeq\o\al(2,3)＝a1a7，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6×2)，解得a1＝4，所以此樣本的平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝13，中位數(shù)為eq