2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題13 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的極值問題5題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的極值問題5題型分類1、函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．（一）函數(shù)極值、極值點(diǎn)的辨識(shí)解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查在哪個(gè)區(qū)間上為正，哪個(gè)區(qū)間上為負(fù)，在哪個(gè)點(diǎn)處與x軸相交，在該點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨?fù)值，則在該點(diǎn)處取得極大值；若是由負(fù)值變?yōu)檎?，則在該點(diǎn)處取得極小值．題型1：函數(shù)極值、極值點(diǎn)的辨識(shí)1-1．（2024·遼寧）設(shè)函數(shù)滿足則時(shí)，A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值【答案】D【詳解】函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對(duì)問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則．A．當(dāng)k=1時(shí),f(x)在x=1處取到極小值 B．當(dāng)k=1時(shí),f(x)在x=1處取到極大值C．當(dāng)k=2時(shí),f(x)在x=1處取到極小值 D．當(dāng)k=2時(shí),f(x)在x=1處取到極大值【答案】C【詳解】當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f(x)=(ex?1)(x?1).求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=ex(x?1)+(ex?1)=(xex?1)f′(1)=e?1≠0，f′(2)=2e2?1≠0，則f(x)在x=1處與在x=2處均取不到極值，當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)f(x)=(ex?1)(x?1)2.求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=ex(x?1)2+2(ex?1)(x?1)=(x?1)(xex+ex?2)∴當(dāng)x=1，f′(x)=0，且當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x0<x<1時(shí)(x0為極大值點(diǎn))，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；在(x0,1)上是減函數(shù)，從而函數(shù)f(x)在x=1取得極小值．對(duì)照選項(xiàng)．故選C.1-3．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx，則（）A．x=為f(x)的極大值點(diǎn) B．x=為f(x)的極小值點(diǎn)C．x=2為f(x)的極大值點(diǎn) D．x=2為f(x)的極小值點(diǎn)【答案】D【詳解】，由得，又函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)．故選D．考點(diǎn)：函數(shù)的極值．題型2：函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))的圖象與極值(點(diǎn))關(guān)系2-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】D【詳解】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個(gè)交點(diǎn)：從左向右看，第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，是極大值點(diǎn)，第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，是極小值點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，沒有變號(hào)，所以不是極值點(diǎn)，第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，是極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有1個(gè)，故選：A2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論．【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯(cuò)誤，故選：A.2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到和為極大值，為極小值，從而得到答案.【詳解】在內(nèi)的圖像如下，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故為函數(shù)極大值點(diǎn)，為極大值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故為函數(shù)極小值點(diǎn)，為極小值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故為函數(shù)極大值點(diǎn)，為極大值，故函數(shù)在內(nèi)的極小值有1個(gè).故選：A（二）求已知函數(shù)的極值、極值點(diǎn)1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．注：（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．題型3：求已知函數(shù)的極值、極值點(diǎn)3-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）極小值【分析】（Ⅰ）因，故由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故在處取得極小值本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a的值；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，【分析】（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等列方程求的值即可；（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，先研究的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)求解在上的極值即可．【詳解】（1）．因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與x軸平行，所以，即，

所以．（2）．

令，則或．

①當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)無極值點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)．+0-0+↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值是；③當(dāng)，即時(shí)．+0-0+↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值是．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).求的極值；【答案】，沒有極小值.【分析】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)解得，然后結(jié)合的單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值；【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，沒有極小值.3-4．（2024·廣西南寧·一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，，且和的零點(diǎn)均在集合中，求的極小值．【答案】(1)切點(diǎn)坐標(biāo)為，；(2).【分析】（1）把代入，求出并設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出和的零點(diǎn)，分類探討求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出極小值作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，于是切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，即有，解得或，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）當(dāng)，時(shí)，，求導(dǎo)得，令，得或，依題意，，都在集合中，且，，當(dāng)時(shí)，，且，則，，，當(dāng)時(shí)，，且，則，，不符合題意，因此，，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為.3-5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極值點(diǎn)為，并求取最大值時(shí)的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析，(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，求得，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間及有唯一的極值點(diǎn)為，由，令，設(shè)，求得，得出取得最大值，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，由，得到極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)的概念，即可求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)，時(shí)，，可得的定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有唯一的極小值，即有唯一的極值點(diǎn)為，由，令，設(shè)，可得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一的極大值，即取得最大值，所以當(dāng)?shù)淖畲笾禃r(shí)，.（2）解：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，且，①?dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，所以極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，即（i）當(dāng)，即時(shí)，可得，即對(duì)恒成立，即在上無變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；（ii）當(dāng)，即時(shí)，設(shè)的兩零點(diǎn)為，且，，，可得即在上有個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.（三）根據(jù)函數(shù)的極值、極值點(diǎn)求參數(shù)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用在上有解，分離參數(shù)求解作答.（2）由（1）的信息，分析函數(shù)的極值情況，再建立不等式求解作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式在上有解，即在上成立，而函數(shù)在上遞減，顯然，于是，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，即，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極小值，于是，即，當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，解得，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.4-2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．【答案】B【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把極值點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)則可等于0，再把極值點(diǎn)代入原函數(shù)則可得到極值，解方程組即可得到，從而算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.故選：B4-3．（2024高三下·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知條件和導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，要使函數(shù)在處取得極小值，則，故選：B.4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用極值的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)闊o極值，所以，解得，所以a的取值范圍為．故選：A.4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則，，所以存在唯一，使得，所以函數(shù)在時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以的最大值為3，故選:B.題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)．(1)時(shí)，求的極小值點(diǎn)；(2)若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)【分析】（1）將代入求得的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性即可求得極小值點(diǎn)為0；（2）根據(jù)解析式求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分情況討論，分別判斷出不同情況下的單調(diào)性，求出滿足題意的情況即可得出的取值范圍．.【詳解】（1）時(shí)，令，解得，所以在上單調(diào)遞增；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以的極小值點(diǎn)為0（也可寫）（2）易知，且，令，則，且，①時(shí)，也即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，單調(diào)遞減，同理當(dāng)，單調(diào)遞增是的極小值點(diǎn)，符合題意②時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，，即，所以單調(diào)遞增，是的極小值點(diǎn)，符合題意③時(shí)，，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，這與是的極小值點(diǎn)矛盾，舍去④時(shí)，，令，則；單調(diào)遞增，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，也是最小值，即當(dāng)，可得在上單調(diào)遞增，此時(shí)不是的極小值點(diǎn)，舍去綜上可知，的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是求得以后進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)再重新求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)的取值根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行合理分類討論，解出符合題意的的取值范圍即可.5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；（2）將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，可求得，分別討論、和的情況，結(jié)合的正負(fù)可得的單調(diào)性，結(jié)合可確定的正負(fù)，從而確定單調(diào)性，由此可得到符合題意的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，又，在點(diǎn)處的切線為：，即.（2）由題意知：，恒成立；是的極大值點(diǎn)，存在，使得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，則，.；①若，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；②若，即時(shí)，；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；③若，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、根據(jù)極值點(diǎn)定義求解參數(shù)范圍的問題；本題求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于函數(shù)在左右兩側(cè)的單調(diào)性的討論問題，進(jìn)而再次轉(zhuǎn)化為關(guān)于在左右兩側(cè)的正負(fù)的討論問題.5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用分解因式整理導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；（2）由函數(shù)存在為唯一極值點(diǎn)，可得導(dǎo)數(shù)等于存在唯一零解，根據(jù)分解因式的結(jié)果，討論各個(gè)因式與零的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，令得或者，令，，，所以只有一個(gè)實(shí)根.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)有唯一的正實(shí)根，且在兩邊取值正負(fù)號(hào)相反.所以或者在上恒成立．顯然時(shí)，符合要求.當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，令，，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時(shí)取最大值，因此.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的整理方法一般分為分解因式以及再次求導(dǎo)研究其單調(diào)性兩種方法.5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍．【詳解】解：，令，得：當(dāng)，即此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，反之，當(dāng)，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).綜上得：.故選：A.5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用多次求導(dǎo)的方法，列不等式來求得的取值范圍.【詳解】的定義域是，，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，此時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：D【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可利用二次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.在求解的過程中，要注意原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一、單選題1．（2024·全國）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，因?yàn)?，所以，，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A．【名師點(diǎn)睛】（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設(shè)函數(shù)一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，所以錯(cuò)；對(duì)于B中的是將的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以是其極大值點(diǎn),錯(cuò)誤；對(duì)于C中的是將的圖象關(guān)x軸對(duì)稱，所以才是其極小值點(diǎn)，錯(cuò)誤；而對(duì)于D中的是將的圖象關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，故是其極小值點(diǎn)，正確.故選D.3．（2024高三上·全國·單元測(cè)試）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)【答案】B【詳解】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．5．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（

）A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間最值求得，進(jìn)而判斷在上的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由，則時(shí)，時(shí)，所以在上遞增，上遞減，而，在上的最大值為k，所以，即，此時(shí)在上遞減，且無極大值和最大值.故選：D6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到的取值情況，即可得到的單調(diào)性，即可得到極值點(diǎn)數(shù).【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.所以在處取得極小值，在處取得極大值，故極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：B7．（2024高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是函數(shù)的極小值點(diǎn)B．是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在處的切線斜率小于零【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)定義，即可容易判斷選擇.【詳解】由圖象得時(shí)，，時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)選項(xiàng)D：顯然，故D錯(cuò)誤.故選：C．8．（2024·陜西）對(duì)二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是A．是的零點(diǎn) B．1是的極值點(diǎn)C．3是的極值 D．點(diǎn)在曲線上【答案】A【詳解】若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確，，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，是的極值，所以，即，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、C、D正確，故選A．【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極小值作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，，，則由，得或，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以函數(shù)的極小值為.故選：A10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖像如圖所示，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求得，將已知條件，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，是的兩個(gè)根，再根據(jù)韋達(dá)定理求解即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像過原點(diǎn)，所以．又，即，解得，所以，則，又，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是的兩個(gè)根，所以，，所以．故選：C．11．（2024高二下·吉林長春·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點(diǎn)為，極大值為，則等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，可得．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，所以，由，得，令，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以時(shí)，函數(shù)取得極小值，時(shí)，函數(shù)取得極大值．因?yàn)榍€的極大值點(diǎn)為，極大值為，所以，，即．所以，所以，故選：A．12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①x=-2是函數(shù)的極值點(diǎn)；②x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)；③的圖象在處切線的斜率小于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，與函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合圖象即可作出判斷.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，-2是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，且-2的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)異號(hào)，故-2是極值點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，1不是極值點(diǎn)，因?yàn)?的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)一致，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，0處的導(dǎo)函數(shù)值即為此點(diǎn)的切線斜率顯然為正值，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，導(dǎo)函數(shù)在恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，故④正確.故選：D【點(diǎn)睛】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系很容易分析單調(diào)性，然后要注意對(duì)極值點(diǎn)的理解，極值點(diǎn)除了是導(dǎo)函數(shù)得解還一定要保證在導(dǎo)函數(shù)值在此點(diǎn)兩側(cè)異號(hào).13．（2024高二下·全國·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的極小值點(diǎn) B．是的極小值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)定義，即可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項(xiàng)，從而得出答案.【詳解】由圖像知，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，是的極大值點(diǎn)，3是的極小值點(diǎn)，故ABC錯(cuò)誤；又因?yàn)椋郧€在處切線斜率小于零，故D正確.故選：D.14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿足，則至少有（

）個(gè)單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系分析判斷.【詳解】若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，則至少有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，若有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域?yàn)?，若，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域?yàn)閮?nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，例如的定義域?yàn)?，則，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，且，滿足題意，此時(shí)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.故選：B.15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出判斷.【詳解】由題圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)c<x<e時(shí)，；當(dāng)x>e時(shí)，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．16．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】結(jié)合充分、必要條件定義及極值點(diǎn)的概念即可可判斷.【詳解】只有當(dāng)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，在上才有兩個(gè)極值點(diǎn)，故充分性不成立；若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件，故選：D.二、多選題17．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）

A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．為函數(shù)的極大值C．有兩個(gè)極小值 D．為的極小值【答案】BC【分析】利用函數(shù)圖象判斷符號(hào)，從而判斷的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)極值點(diǎn)、極值的概念判斷即可.【詳解】由題圖知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有三個(gè)極值點(diǎn)，為函數(shù)的極大值，和為的極小值.故AD錯(cuò)誤，BC正確.故選：BC18．（2024·全國）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.19．（2024·全國）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD20．（江西省豐城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（

）

A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．是的極小值點(diǎn)C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．是的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】A.利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系判斷；B.利用極小值點(diǎn)的定義判斷；C.利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系判斷；D.利用極小值點(diǎn)的定義判斷；【詳解】解：根據(jù)圖象知當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．故A、C正確；當(dāng)時(shí)，取得極小值，是的極小值點(diǎn)，故B正確；當(dāng)時(shí)，取得是極大值，不是的極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．21．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和的圖像都是上連續(xù)不斷的曲線，如果，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（

）A．1是的極大值，也是的極大值 B．1是的極大值，也是的極小值C．1是的極小值，也是的極小值 D．1是的極小值，也是的極大值【答案】ABC【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)圖象滿足題干依次判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?是的極小值，則在1的附近存在，使得，又1也是的極大值，則在1的附近存在，使得，所以在1的附近存在與，使得，不合題意，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在處取得極大值C．在區(qū)間上有2個(gè)極大值點(diǎn)D．在處取得最大值【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可分析出的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷各選項(xiàng).【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.故A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB23．（2024高三上·廣西百色·階段練習(xí)）函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得A正確；利用韋達(dá)定理和的范圍可確定BC正確；構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)可求得，由此可確定D正確.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，，解得：，A正確；對(duì)于B，，，，又，，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，，，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題求解參數(shù)范圍的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解，根據(jù)方程根的分布來構(gòu)造不等關(guān)系；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)㈦p變量的問題轉(zhuǎn)化為單一變量的問題，從而構(gòu)造關(guān)于單一變量的函數(shù)來求解.24．（2024·全國）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.25．（2024高三上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．在上有兩個(gè)極值點(diǎn) B．在處取得最小值C．在處取得極小值 D．函數(shù)在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合極值可作出的圖象，結(jié)合圖象依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，，，恒成立；可作出圖象如下圖所示，

對(duì)于A，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，A正確；對(duì)于B，不是的最小值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在處取得極小值，C正確；對(duì)于D，由圖象可知，有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC.26．（2024高三上·福建福州·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的零點(diǎn) B．為函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最大值【答案】BC【分析】由已知，根據(jù)題意給出的的圖像可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及其極大值和極小值點(diǎn)，故可選出正確選項(xiàng)B，C，而選項(xiàng)A不能判斷，選項(xiàng)D極小值一定不是最大值.【詳解】由已知，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；所以和為函數(shù)的極小值點(diǎn)，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，選項(xiàng)A，并不能確定為函數(shù)的零點(diǎn)；選項(xiàng)B，正確；選項(xiàng)C，正確；選項(xiàng)D，是函數(shù)的極小值，一定不是最大值，故不正確.故選：BC.三、填空題27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值點(diǎn)和極大值分別為，【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得函數(shù)的極大值點(diǎn)與極大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，，所以當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：x（0，e）e（e，＋∞）＋0－單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極大值為.故答案為：；.28．（2024·全國）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值為；極小值為.【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，進(jìn)而可求出極值.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，，令得或，列表：100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表看出，當(dāng)時(shí)，取得極小值，為；當(dāng)時(shí)，取得極大值，為，故答案為：；.30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，在時(shí)有極大值，則的極大值為【答案】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)極大值點(diǎn)求參，再根據(jù)極大值舍去不合題意的參數(shù)，最后計(jì)算極大值即可.【詳解】由得，∵在處取得極大值，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令得，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴在處取得極小值，故不滿足題意舍去，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在處取得取大值，符合題意．綜上，．則的極大值為故答案為:.31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.【答案】2【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)引入兩個(gè)函數(shù)與，由它們的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出的解的個(gè)數(shù)，從而確定的正負(fù)，得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】依題意，得，令，得，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知這兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．所以有2個(gè)極值點(diǎn).故答案為：2.

32．（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在時(shí)有極值為0，則.【答案】11【分析】由題意，代入解出，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，或，?dāng)時(shí)，，則與題意在時(shí)有極值矛盾，舍去，故，所以.故答案為：1133．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得令，即，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出的圖象，如圖所示，可得當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題34．（2024·北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個(gè)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點(diǎn)判斷即可得解.35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)（1）求b、c的值．（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）根據(jù)g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函數(shù)，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值；（2）對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，g'（x）＞0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，g'（x）＜0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間．g'（x）=0時(shí)的x函數(shù)g（x）取到極值．【詳解】（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．從而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c是一個(gè)奇函數(shù)，所以g（0）=0得c=0，由奇函數(shù)定義得b=3；（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，從而g'（x）=3x2﹣6，當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，x＜﹣或x＞，當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，﹣＜x＜，由此可知，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣），（，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，）；g（x）在x=﹣時(shí)取得極大值，極大值為4，g（x）在x=時(shí)取得極小值，極小值為4．【點(diǎn)睛】求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值.36．（2007·安徽）設(shè)函數(shù)，其中．將的最小值記為．(1)求的表達(dá)式；(2)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．【答案】(1)(2)增區(qū)間是，主，減區(qū)間是．極大值為4，極小值為2．【分析】（1）由二倍角公式降冪后，化函數(shù)為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)，二次函數(shù)性質(zhì)得；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，同時(shí)可得極值．【詳解】（1）,因?yàn)?，所以時(shí)，；（2），或時(shí)，，時(shí)，，所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．極大值為，極小值為．37．（2024·山東）設(shè)函數(shù)，其中．證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值．【答案】證明見解析；當(dāng)時(shí)，若，有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為，若，有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為.【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和極值點(diǎn)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，如果，則恒成立，在上單調(diào)遞增；如果，則恒成立，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，令得（舍去），，當(dāng)時(shí)，在上小于0，在上大于0，故有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為.當(dāng)時(shí)，在上大于0，在上小于0，故有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為.綜上所述當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為，若，有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為.38．（2024·福建）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.【答案】(1)，；的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；(2)詳見解析.【分析】（1）利用條件可得兩個(gè)關(guān)于的方程，然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）利用（1）的結(jié)論，分情況討論區(qū)間和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系即得．【詳解】（1）由函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，即，又，則，而的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得，∴，∴，于是，由得或，由，可得，故的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）由（1）得，令得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：02＋0－0＋增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由此可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，無極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，無極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無極值；綜上得，當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值；當(dāng)或時(shí)，無極值．39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）分、、時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)極值與單調(diào)性的關(guān)系可求出函數(shù)的極值.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，空.（2）解：因?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)?，則，分以下幾種情況討論：①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，極小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，極小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)的極值．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）由，解得．根據(jù)a≥1，分和，由求解；（2）由（1）的結(jié)論，利用函數(shù)極值點(diǎn)與極值的定義求解．【詳解】解：由已知得，令，解得．（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：x0+00極大值極小值

從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值1，在處取得極小值．41．（2024·全國）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，由對(duì)稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.42．（2024·北京）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，構(gòu)建等量關(guān)系，解方程可得參數(shù)的值；（2）對(duì)分及兩種情況進(jìn)行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進(jìn)而可求參數(shù)的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?，所?，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得極小值.若，則當(dāng)時(shí)，，所以.所以1不是的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.①當(dāng)，即a=1時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)類問題是高考數(shù)學(xué)中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個(gè)：①考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間問題；③利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值最值問題；④關(guān)于不等式的恒成立問題.解題時(shí)需要注意的有以下兩個(gè)方面：①在求切線方程問題時(shí)，注意區(qū)別在某一點(diǎn)和過某一點(diǎn)解題步驟的不同；②在研究單調(diào)性及極值最值問題時(shí)常常會(huì)涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立問題屬于高考中的難點(diǎn)，要注意問題轉(zhuǎn)換的等價(jià)性.43．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求在上的值域；(2)若的極大值為4，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，從而可確定函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，通過比較端點(diǎn)處函數(shù)值與極值，從而可得函數(shù)的最值，即可得函數(shù)值域；（2）根據(jù)極值的概念對(duì)函數(shù)求導(dǎo)之后，確定函數(shù)單調(diào)性及極值情況，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）時(shí)，，，令，得或，∴在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增又，，，∴的值域?yàn)?（2），令，解得：或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極值，舍；當(dāng)時(shí)，或，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在時(shí)取得極大值，又，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，或，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在時(shí)取得極大值，故，解得.綜上得，.44．（2024·北京）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．【答案】(1)1

(2)（，）【詳解】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時(shí)f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.45．（2024高三上·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若存在極值點(diǎn)，且，求的值，并分析是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)．【答案】(1)(2)，是的極小值點(diǎn)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；（2）根據(jù)和可推導(dǎo)得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值，知方程有唯一解，進(jìn)而求得的值；將代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)定義可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，又，在處的切線方程為：，即.（2），，即①；，，，，又，，即，，，代入①式得：，令，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，有唯一解，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是的極小值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切線方程、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值點(diǎn)的問題；本題根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)求解參數(shù)的關(guān)鍵是能夠利用極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值為零，結(jié)合原函數(shù)的函數(shù)值可構(gòu)造關(guān)于極值點(diǎn)的方程，從而采用構(gòu)造函數(shù)的方式確定方程的根.46．（2024·廣東）設(shè)，集合（1）求集合D（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn).【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意先求不等式的解集，通過討論，Δ＜0分別進(jìn)行求解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由，可得x＝a或x＝1，結(jié)合（1）中的a的范圍的討論可分別求D，然后由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求極值【詳解】（1）令，則①當(dāng)時(shí)，，方程的兩個(gè)根分別為，，所以的解集為因?yàn)椋瑒t，；②當(dāng)時(shí)，Δ＜0，恒成立，綜上所述：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2），令，得x＝a或x＝1，①當(dāng)時(shí)，由（1）知，因?yàn)樗?，所以隨的變化情況如下表極大值所以的極大值點(diǎn)為，沒有極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由（1）知，所以隨的變化情況如下表極大值極小值所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為綜上所述：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過分類討論確定區(qū)間上的單調(diào)性，單調(diào)性確定才能求出極值點(diǎn).47．（2024·湖北）設(shè)函數(shù)在處取得極值，試用表示和，并求的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見解析【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，，即可得到方程從而可用表示和，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：因?yàn)?，所以，依題意有，，而，故，解得，從而．令，解得或．由于在處取得極值，故，即．若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；若，即，同上可得，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；綜上可得：當(dāng)時(shí)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.48．（2024·重慶）已知函數(shù)在處取得極值．確定a的值；若，討論的單調(diào)性．【答案】（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)．【詳解】（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，綜上所知：和是函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，和是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.49．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)，，已知和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）三次函數(shù)有極值轉(zhuǎn)化為二次方程有兩不等實(shí)根，利用判別式即可求范圍；（2）整理變形為的形式，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)值域問題即可.【詳解】（1）由已知和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則有兩個(gè)不等實(shí)根.因?yàn)?，令，方程，所以，解得?即的取值