利用均值不等式求最值課件

利用均值不等式求最值均值不等式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，可用于求解函數(shù)的最大值和最小值。它在解決優(yōu)化問(wèn)題、幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。課程導(dǎo)入歡迎大家學(xué)習(xí)利用均值不等式求最值。在接下來(lái)的課程中，我們將深入探討均值不等式的原理和應(yīng)用。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們將掌握運(yùn)用均值不等式解決各種優(yōu)化問(wèn)題的技巧。什么是均值不等式11.算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指將所有數(shù)據(jù)加總后除以數(shù)據(jù)的總數(shù)，得到的結(jié)果就是算術(shù)平均數(shù)，也稱為平均數(shù)。22.幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是指將所有數(shù)據(jù)乘積開(kāi)方，開(kāi)方次數(shù)等于數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，得到的結(jié)果就是幾何平均數(shù)。33.均值不等式均值不等式是指在一定條件下，算術(shù)平均數(shù)大于或等于幾何平均數(shù)，并且等號(hào)成立的條件是所有數(shù)據(jù)都相等。算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性算術(shù)平均數(shù)永遠(yuǎn)是非負(fù)的，當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)字都為零時(shí)，算術(shù)平均數(shù)才為零。單調(diào)性如果一組數(shù)字都增加，那么它們的算術(shù)平均數(shù)也會(huì)增加。加權(quán)平均數(shù)可以為每個(gè)數(shù)字分配權(quán)重，以反映其在平均數(shù)中的重要性。比較大小算術(shù)平均數(shù)可以用來(lái)比較不同組數(shù)字的大小。幾何平均數(shù)的性質(zhì)定義幾何平均數(shù)是n個(gè)非負(fù)數(shù)的乘積的n次方根。等式當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)相等時(shí)，幾何平均數(shù)等于算術(shù)平均數(shù)。不等式幾何平均數(shù)總是小于或等于算術(shù)平均數(shù)。調(diào)和平均數(shù)的性質(zhì)定義調(diào)和平均數(shù)是倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。用于計(jì)算一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的倒數(shù)的平均值，再取倒數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的調(diào)和平均數(shù)。特點(diǎn)調(diào)和平均數(shù)對(duì)較小的數(shù)值比較敏感，更能反映數(shù)據(jù)中較小數(shù)值的影響。當(dāng)數(shù)據(jù)集中存在極端值時(shí)，調(diào)和平均數(shù)更能反映數(shù)據(jù)中較小數(shù)值的真實(shí)水平。均值不等式的推廣1推廣形式均值不等式可推廣到多個(gè)變量的情況，例如，對(duì)于n個(gè)非負(fù)數(shù)a1,a2,...,an，有(a1+a2+...+an)/n≥√[n](a1a2...an)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=...=an時(shí)等號(hào)成立。2權(quán)重形式可以引入權(quán)重，例如，對(duì)于n個(gè)非負(fù)數(shù)a1,a2,...,an，以及n個(gè)正數(shù)w1,w2,...,wn，有(w1a1+w2a2+...+wnan)/(w1+w2+...+wn)≥√[w1+w2+...+wn](a1^w1a2^w2...an^wn)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=...=an時(shí)等號(hào)成立。3柯西-施瓦茨不等式均值不等式是柯西-施瓦茨不等式的特例，柯西-施瓦茨不等式更一般，適用于任意實(shí)數(shù)，而均值不等式只適用于非負(fù)數(shù)。應(yīng)用舉例一已知a,b均為正數(shù)，且a+b=10,求a*b的最大值由均值不等式可知，a*b≤[(a+b)/2]^2=25,當(dāng)a=b=5時(shí)，a*b取最大值25應(yīng)用舉例二梯形面積已知梯形的上底為a，下底為b，高為h。求梯形的面積。長(zhǎng)方形周長(zhǎng)已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b。求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。圓形面積已知圓的半徑為r。求圓形的面積。應(yīng)用舉例三在等式中，變量的乘積是常數(shù)。目標(biāo)是最大化或最小化變量的和。應(yīng)用均值不等式，可以輕松地求解該問(wèn)題的最值。應(yīng)用舉例四求證：對(duì)于任意的正數(shù)a,b,c,滿足a+b+c=1，求證：a^2+b^2+c^2≥1/3.利用均值不等式，我們可以將a^2+b^2+c^2表示為：(a^2+b^2+c^2)/3≥[(a+b+c)/3]^2=1/9.因此，a^2+b^2+c^2≥1/3成立。這就是利用均值不等式求解不等式的一種常用方法。應(yīng)用舉例五求函數(shù)y=1/x+x(x>0)的最小值。利用均值不等式，可得1/x+x≥2√(1/x*x)=2當(dāng)且僅當(dāng)1/x=x時(shí)，即x=1時(shí)，等號(hào)成立。因此，函數(shù)y=1/x+x(x>0)的最小值為2。應(yīng)用舉例六已知a>0,b>0,求證：a+b≥2√ab.證明：根據(jù)均值不等式，我們有：(a+b)/2≥√ab，所以a+b≥2√ab.應(yīng)用舉例七最大面積已知矩形的周長(zhǎng)為20cm，求該矩形面積的最大值。最小成本某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形的倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)的面積為100平方米，問(wèn)倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，建造倉(cāng)庫(kù)的成本最低。最短距離一條河寬100米，一個(gè)人要從河岸的A點(diǎn)走到對(duì)岸的B點(diǎn)，然后沿河岸走到C點(diǎn)，問(wèn)此人應(yīng)選擇怎樣的路線才能使總的路程最短？應(yīng)用舉例八山峰高度已知山峰高100米，一名登山者從山腳爬到山頂，再?gòu)纳巾敾氐缴侥_。求登山者在整個(gè)過(guò)程中爬行的路程和位移。日出時(shí)間已知太陽(yáng)升起時(shí)間為6:00，落下時(shí)間為18:00，求太陽(yáng)在一天中照射地球的時(shí)間。應(yīng)用舉例九求函數(shù)f(x)=x^2-4x+5的最小值。利用均值不等式：2√(x^2)(5-4x)≤x^2+(5-4x)整理得：2√(5x^2-4x^3)≤x^2-4x+5當(dāng)且僅當(dāng)x^2=5-4x時(shí)，等號(hào)成立。解得x=1，此時(shí)f(x)的最小值為f(1)=2。應(yīng)用舉例十求函數(shù)y=(x+1)/(x^2+x+1)的最大值。令x^2+x+1=t，則t>0，x=(-1±√(4t-3))/2，則y=(t-1)/t=1-1/t。由均值不等式可知t≥3，則1/t≤1/3，所以y≤2/3。當(dāng)t=3，即x=1時(shí)，y取到最大值2/3。應(yīng)用舉例十一最值問(wèn)題幾何圖形中，常需要求面積、體積等最值問(wèn)題。距離問(wèn)題求兩點(diǎn)之間最短距離或求點(diǎn)到直線距離問(wèn)題。優(yōu)化問(wèn)題求最佳方案或優(yōu)化方案問(wèn)題，例如最大化利潤(rùn)、最小化成本等。應(yīng)用舉例十二求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值。利用均值不等式，可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為更易求解的形式，從而得到最大值和最小值。應(yīng)用舉例十三求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，都有a2+b2+c2≥ab+ac+bc成立。證明：由均值不等式，有(a2+b2)/2≥√(a2b2)=ab，(a2+c2)/2≥√(a2c2)=ac，(b2+c2)/2≥√(b2c2)=bc。將三個(gè)不等式相加，即可得到結(jié)論：a2+b2+c2≥ab+ac+bc?？偨Y(jié)1均值不等式均值不等式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，它可以幫助我們求解最值問(wèn)題。應(yīng)用廣泛均值不等式在數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。重要結(jié)論均值不等式告訴我們，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和最小，且只有當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，和取到最小值?？偨Y(jié)2掌握應(yīng)用技巧靈活運(yùn)用均值不等式解題，注意條件與結(jié)論的關(guān)系，并能靈活運(yùn)用各種變形技巧。鞏固練習(xí)通過(guò)大量的練習(xí)，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力和思維能力。拓展延伸深入了解均值不等式的本質(zhì)和應(yīng)用范圍，拓展其在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用?？偨Y(jié)3均值不等式在數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用，它可以解決許多最值問(wèn)題。運(yùn)用均值不等式，可以快速找到函數(shù)的最值，并能方便地進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注意條件的限制，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用均值不等式。例如，如果條件中包含不等式，就需要用均值不等式來(lái)解題，如果條件中包含等式，就需要用等號(hào)成立的條件來(lái)解題。練習(xí)1設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc。證明：利用均值不等式可得：a^2+b^2≥2aba^2+c^2≥2acb^2+c^2≥2bc將以上三個(gè)不等式相加，即可得證：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc。練習(xí)2已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求1/a+1/b的最小值。利用均值不等式求解，可以得到：1/a+1/b>=2√(1/a*1/b)=2√(1/(ab))根據(jù)算術(shù)幾何平均不等式，當(dāng)且僅當(dāng)1/a=1/b時(shí)等號(hào)成立。由a+b=1可得a=b=1/2，此時(shí)1/a+1/b的最小值為4。練習(xí)3已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=3，求證：a^2+b^2+c^2>=3.利用均值不等式，我們可以證明a^2+b^2+c^2>=3。首先，根據(jù)均值不等式，(a^2+b^2+c^2)/3>=(a+b+c)^2/9=1，所以a^2+b^2+c^2>=3。由于a+b+c=3，因此(a^2+b^2+c^2)/3>=1，可以得到a^2+b^2+c^2>=3。練習(xí)4已知a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9證明：由均值不等式，得(a+b+c)/3≥3√abc因?yàn)閍+b+c=1，所以3√abc≤1/3，即abc≤1/27，故1/a+1/b+1/c≥3√(1/a*1/b*1/c)=3√(1/abc)≥9等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1/3時(shí)成立。練習(xí)5已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3。證明：由均值不等式，得(a2+b2)/2≥(ab)1/2，(b2+c2)/2≥(bc)1/2，(c2+a2)/2≥(ca)1/2。將三式相加，得a2+b2+c2≥(ab)1/2+(