安徽省淮北市“五校聯(lián)考”2024-2025學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題（含答案）

九年級數(shù)學（滬科版）卷三注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．下列三角函數(shù)的值等于的是（）A．cos30° B．tan30° C．cos45° D．sin30°2．如圖，直線，AB＝3，BC＝2，CD＝1，則下列式子中不成立的是（）第2題圖A．EC:CG＝5:1 B．EF:FG＝1:1 C．EF:FC＝3:2 D．EF:EG＝3:53．在菱形ABCD中，若對角線AC＝10，BD＝6，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖，，則下列結論中正確的有（）①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE．第4題圖A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．若函數(shù)和函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像如圖所示，則坐標系的橫軸可以是（）第5題圖A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，對于點P（a，b），若ab＞0，則稱P為“同號點”．下列函數(shù)的圖像中，不存在“同號點”的是（）A．y＝－x＋1 B． C． D．7．已知點，都在二次函數(shù)的圖像上，若，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．8．如圖，點A為邊上的任意一點，作AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，若用線段比表示的值，則下列選項中錯誤的是（）第8題圖A． B． C． D．9．已知點和在反比例函數(shù)的圖像上，若，則（）A． B．C． D．10．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A－C－D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A－B－C－D的方向運動，當其中一點到達點D時，兩點停止運動．設運動時間為x（s），△APQ的面積為y（），則下列圖中能大致反映y與x之間函數(shù)關系的是（）第10題圖A． B．C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，反比例函數(shù)和的圖像分別經(jīng)過□ABCD的兩個頂點A，B，□ABCD的另外兩個頂點C，D均在x軸的正半軸上，若□ABCD的面積等于9，則k的值為______．第11題圖12．如圖，在△ABC中，E是線段AC上一點，AE:CE＝1:2，過點C作CD∥AB交BE的延長線于點D，若△ABE的面積等于4，則△BCD的面積等于______．第12題圖13．如果一個三角形的一邊長等于另一邊長的兩倍，我們把這樣的三角形稱為“倍邊三角形”．如果一個直角三角形是倍邊三角形，那么它較大的銳角的正弦值為______．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，，連接AB．已知拋物線．第14題圖（1）當拋物線同時經(jīng)過A，B兩點時，h的值為______；（2）若拋物線與線段AB有公共點，則h的取值范圍是______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．計算：．16．如圖，△ABC各頂點的坐標分別為A（3，0），B（0，4），C（4，2），過點C作CD⊥x軸，垂足為點D．求證：∠ABC＝∠ACD．第16題圖四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．如圖，O是坐標原點，點B，C的坐標分別為（3，－1），（2，1）．第17題圖（1）以點O為位似中心，在y軸的左側將△OBC放大兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫出圖形．（2）分別寫出點B，C的對應點，的坐標．（3）如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標為（x，y），寫出點M的對應點的坐標．18．如圖，在□ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE⊥BC于點E，，求的值．第18題圖五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．如圖，直線y＝－x＋4與坐標軸交于A，B兩點，點M（2，m）在直線AB上，點N與點M關于y軸對稱．第19題圖（1）若點N在反比例函數(shù)的圖像上，求k的值．（2）若線段MN被反比例函數(shù)的圖像分成兩部分，且這兩部分長度的比為1:3，求k的值．20．某中學創(chuàng)客拓展小組研制的智能操作機器人如圖1所示，水平操作臺為l，底座AB固定且AB⊥l，其高度為50cm，連桿BC為70cm，手臂CD為60cm，點B，C是轉動點，且AB，BC與CD始終在同一平面內(nèi)．（1）轉動連桿BC和手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如圖2所示，求手臂端點D離水平操作臺L的高度DE的長（結果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．（2）物品在水平操作臺L上距離底座A端110cm的點M處，轉動連桿BC和手臂CD，手臂端點D能否碰到點M？如果能，請說明理由．第20題圖1第20題圖2六、（本題滿分12分）21．在一次數(shù)學實踐課上，老師出了這樣一道題：如圖1，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別是a，b，c，請用a，c，∠B表示．（1）甲同學認為要將銳角三角形轉化為直角三角形來解決，并且不能破壞∠B，因此可以過點A作AD⊥BC于點D，如圖2所示；乙同學認為要想得到，便要利用Rt△ABD或Rt△ACD；丙同學認為要先求出AD＝______，BD＝______（用含c，∠B的三角函數(shù)表示）；丁同學順著他們的思路，求出______（提示：）．（2）請利用丁同學的結論解決下面的問題：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠A＜90°，AB＝5，AD＝4，．求四邊形ABCD的面積．第21題圖1第21題圖2第21題圖3七、（本題滿分12分）22．如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EFD＝90°，△DEF的頂點與△ABC的斜邊AB的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段AC與線段EF相交于點Q，射線ED與射線BC相交于點P．第22題圖（1）求證：△AEQ∽△BPE．（2）求證：PE平分∠BPQ．（3）當AQ＝2，，求PQ的長．八、（本題滿分14分）23．已知點P（m，n）是拋物線上的一個動點，點A的坐標為（0，－3）．【特例探究】（1）如圖1，直線l過點Q（0，－1）且平行于x軸，過點P作PB⊥l，垂足為點B，連接PA．①當m＝0時，PA＝______，PB＝______；②當m＝2時，PA＝______，PB＝______．【猜想驗證】（2）對于m取任意一實數(shù)，猜想PA與PB的大小關系，并證明你的猜想．【拓展應用】（3）請利用（2）的結論解決下面的問題：如圖2，點C的坐標為（2，－5），連接PC，問PA＋PC是否存在最小值？如果存在，請說明理由，并求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．第23題圖1第23題圖2

九年級數(shù)學（滬科版）卷三參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）題號12345678910答案ADBBCCBCDA10．A解析：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如圖1，當0≤x≤1時，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于點E，∴（cm），∴（），D不正確；如圖2，當1＜x≤2時，AP＝xcm，CQ＝（4－2x）cm，作QF⊥AC于點F，∴（cm），∴，B不正確；如圖3，當2＜x≤3時，CQ＝（2x－4）（cm），CP＝（x－2）（cm），∴PQ＝CQ－CP＝2x－4－x＋2＝（x－2）（cm），作AG⊥DC于點G，∴（cm），∴，C不正確．第10題圖1第10題圖2第10題圖3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．13 12．24 13．或14．（1）（2）解析：（1）∵拋物線，∴對稱軸為直線x＝h，當拋物線同時經(jīng)過A，B兩點時，拋物線的對稱軸為直線，∴．（2）當拋物線經(jīng)過點A時，則，解得或；當拋物線經(jīng)過點B時，則，解得或．若拋物線與線段AB有公共點，則h的取值范圍是．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．解：原式．16．證明：∵A（3，0），B（0，4），C（4，2），CD⊥x軸，∴OA＝3，OB＝4，AD＝4－3＝1，CD＝2，∴，，，∴，，，在△ABC和△ACD中，，∴△ABC∽△ACD，∴∠ABC＝∠ACD．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．解：（1）如圖（2），（3）第17題圖18．解：在△ABE中，AE⊥BC，AB＝5，，∴BE＝3，AE＝4，∴EC＝BC－BE＝8－3＝5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝5，∴CD＝EC，∴△CED為等腰三角形，∴∠CDE＝∠CED，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠ADE，在Rt△ADE中，AE＝4，AD＝BC＝8，，∴．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．解：（1）∵點M（2，m）在直線y＝－x＋4上，∴m＝－2＋4＝2，∴點M（2，2），N（－2，2），∵點N（－2，2）在反比例函數(shù)的圖像上，∴，解得k＝－4．（2）∵點M（2，2），N（－2，2），∴MN＝4，設線段MN與反比例函數(shù)的圖像交于點C，第19題圖1第19題圖2①如圖1，當NC:MC＝1:3時，NC＝1，∴點C（－1，2），∴k＝－1×2＝－2；②如圖2，當MC:NC＝1:3時，CM＝1，∴點C（1，2），∴k＝1×2＝2；故k的值為－2或2．20．解：（1）如圖1，過點C作CP⊥AE，垂足為點P，過點B作BQ⊥CP，垂足為點Q，∵BA⊥AM，∴四邊形ABQP是矩形，∴∠ABQ＝90°，PQ＝AB＝50cm，∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝∠ABC－∠ABQ＝53°，在Rt△BCQ中，BC＝70，∴（cm），∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ＋QP＝56＋50＝106（cm），∴手臂端點D離水平操作臺l的高度DE為106cm．（2）能，理由：如圖2，當B，C，D共線時，手臂端點D能碰到最遠的距離，在Rt△ABD中，AB＝50cm，BD＝BC＋CD＝70＋60＝130cm，∴（cm）∵AM＝110cm，∴120cm＞110cm，∴手臂端點D能碰到點M．第20題圖1第20題圖2六、（本題滿分12分）21．（1），，（2）如圖，延長DC，AB交于點E，∵AB＝5，AD＝4，，∴由（1）中結論可知，解得，∴∠A＝60°，∵∠ADC＝90°，∴∠E＝30°，∵AD＝4，∴AE＝8，BE＝3，根據(jù)，，得，，∴四邊形ABCD的面積．第21題圖七、（本題滿分12分）22．（1）證明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝∠DEF＝45°，而∠PEB＋∠AEQ＝∠PEB＋∠BPE＝180°－45°＝135°，∴∠AEQ＝∠BPE，∴△AEQ∽△BPE．（2）證明：∵△AEQ∽△BPE，，∵AE＝BE，∴，∵∠A＝∠DEF＝45°，∴△AEQ∽△EPQ，∴∠AEQ＝∠EPQ，∵∠AEQ＝∠BPE，∴∠EPQ＝∠BPE，即PE平分∠BPQ．（3）解：如圖，過點E作EH⊥BP于點H，第22題圖由題意可知，AQ＝2，，∠ACB＝90°，∴由勾股定理易得