2024-2025學(xué)年年八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)二次根式的加減(1)西城區(qū)學(xué)習(xí)探究診斷測(cè)試(含答案)

2024-2025學(xué)年年八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)二次根式的加減(1)西城區(qū)學(xué)習(xí)探究診斷測(cè)試(含答案)測(cè)試4二次根式的加減(一)學(xué)習(xí)要求掌握可以合并的二次根式的特征，會(huì)進(jìn)行二次根式的加、減運(yùn)算．課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)一、填空題1．下列二次根式化簡(jiǎn)后，與的被開方數(shù)相同的有______，與的被開方數(shù)相同的有______，與的被開方數(shù)相同的有______．2．計(jì)算：(1)________； (2)__________．二、選擇題3．化簡(jiǎn)后，與的被開方數(shù)相同的二次根式是()．A． B． C． D．4．下列說法正確的是()．A．被開方數(shù)相同的二次根式可以合并 B．與可以合并C．只有根指數(shù)為2的根式才能合并 D．與不能合并5．下列計(jì)算，正確的是()．A． B．C． D．三、計(jì)算題6． 7．8． 9．10． 11．綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題12．已知二次根式與是同類二次根式，(a＋b)a的值是______．13．與無法合并，這種說法是______的．(填“正確”或“錯(cuò)誤”)二、選擇題14．在下列二次根式中，與是同類二次根式的是()．A． B． C． D．三、計(jì)算題15． 16．17． 18．四、解答題19．化簡(jiǎn)求值：，其中，．20．當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式x2－4x＋2的值．拓廣、探究、思考21．探究下面的問題：(1)判斷下列各式是否成立?你認(rèn)為成立的，在括號(hào)內(nèi)畫“√”，否則畫“×”．①（） ②（）③（） ④（）(2)你判斷完以上各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請(qǐng)用含有n的式子將規(guī)律表示出來，并寫出n的取值范圍．(3)請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明你在(2)題中所寫式子的正確性．參考答案1．2．(1)3．C．4．A．5．C．6．7．8．9．10．11．12．1．13．錯(cuò)誤．14．C．15．16．17．18．0．19．原式代入得2．20．1．21．(1)都畫“√”；(2)(n≥2，且n為整數(shù))；(3)證明：測(cè)試5二次根式的加減(二)學(xué)習(xí)要求會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算，能夠運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算．課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)一、填空題1．當(dāng)a=______時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與可以合并．2．若，，那么a＋b=______，ab=______．3．合并二次根式：(1)________；(2)________．二、選擇題4．下列各組二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后的被開方數(shù)完全相同的是()．A．與 B與C．與 D．與5．下列計(jì)算正確的是()．A． B．C． D．6．等于()．A．7B．C．1D．三、計(jì)算題(能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算)7． 8．9． 10．11． 12．綜合、運(yùn)用、診斷一、填空題13．(1)規(guī)定運(yùn)算：(a*b)=｜a－b｜，其中a，b為實(shí)數(shù)，則_______．(2)設(shè)，且b是a的小數(shù)部分，則________．二、選擇題14．與的關(guān)系是()．A．互為倒數(shù) B．互為相反數(shù) C．相等 D．乘積是有理式15．下列計(jì)算正確的是()．A． B．C． D．三、解答題16． 17．18． 19．四、解答題20．已知求:(1)x2－xy＋y2；(2)x3y＋xy3的值．21．已知，求的值．拓廣、探究、思考22．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．如：與，與互為有理化因式．試寫下列各式的有理化因式：(1)與______； (2)與______； (3)與______；(4)與______； (5)與______； (6)與______．23．已知求．(精確到0.01)參考答案1．6．2．3．(1)(2)4．D．5．D．6．B．7．8．9．10．11．12．13．(1)3；(2)14．B．15．D．16．17．2．18．19．(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．20．(1)9；(2)10．21．4．22．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(答案)不唯一．23．約7.70．21.3二次根式的加減第1課時(shí)二次根式的加減(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)視窗理解二次根式加減運(yùn)算法則．能正確地二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算并把結(jié)果化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式．基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)1.下列各組根式，化簡(jiǎn)后可以合并的一組是()．A.eq\r(54)和eq\r(\f(3,4))B.eq\r(2\f(2,3))和eq\r(1.125)C.eq\r(ab3c5)和3eq\r(\f(c,ab))D.eq\r(\f(1,x2y))和eq\r(\f(y4,x5))2.下列各式中，計(jì)算正確的是()．A.eq\r(3)＋eq\r(5)＝eq\r(8)B.3＋eq\r(6)＝3eq\r(6)C.7eq\r(5)－3eq\r(5)＝4eq\r(5)D.eq\f(\r(12)＋\r(32),2)＝eq\r(6)＋eq\r(16)＝4＋eq\r(6)3.下列等式成立的是()．A.eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(a＋b)B.5eq\r(3x)－4eq\r(3x)＝eq\r(6x)C.2xeq\r(27x)－6xeq\r(\f(3x,4))＝3xeq\r(3x)D.3meq\r(x)－5eq\r(x)＝3m－5eq\r(x)4.計(jì)算eq\r(27)－eq\f(1,3)eq\r(18)－eq\r(12)的結(jié)果是()．A.1B.－1C.eq\r(3)－eq\r(2)D.eq\r(2)－eq\r(3)5．若最簡(jiǎn)二次根式和能夠合并，則a的值是.6．若a,b為有理數(shù)，且，則.7．先化簡(jiǎn),再求得它的近似值為.(精確到0.01，≈1.414，≈1.732)8.計(jì)算：(1)eq\r(75)＋2eq\r(8)－eq\r(200)；(2)eq\r(32)＋3eq\r(0.5)－eq\f(1,3)eq\r(3)＋8eq\r(\f(1,3))；(3)eq\r(12)＋3eq\r(1\f(1,3))－eq\r(5\f(1,3))－eq\f(2,3)eq\r(48)；(4)8xeq\r(\f(x,4))－x2eq\r(\f(1,x))－eq\f(5,3)eq\r(9x)＋eq\r(x3)；(5)(eq\r(7)＋4eq\r(3))(eq\r(7)－4eq\r(3))－(3eq\r(5)－1)．(6)eq\r(a3b)－eq\r(ab3)－a2eq\r(\f(b,a))＋eq\r(ab).9.如圖，機(jī)器人從點(diǎn)A沿著西南方向行了4eq\r(2)個(gè)單位，到達(dá)點(diǎn)B后觀察到原點(diǎn)O在它的南偏東60°的方向上，求原來點(diǎn)A的坐標(biāo)．10．若，求的值．思維拓展提優(yōu)11.已知xy＝3，則xeq\r(\f(y,x))＋yeq\r(\f(x,y))的值為________．12.若a，b為有理數(shù)，且eq\r(9)＋eq\r(27)＋eq\r(12)＝a＋beq\r(3)，則以a，b為兩條直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)c＝________.13.如圖是小華同學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，請(qǐng)看懂后回答下列問題．(1)若輸入的數(shù)x＝5，則輸出的結(jié)果是________；(2)若輸出的結(jié)果是0且沒有返回運(yùn)算，則輸入的數(shù)x是________；(3)請(qǐng)你輸入一個(gè)數(shù)，使它經(jīng)過第一次運(yùn)算時(shí)返回，經(jīng)過第二次運(yùn)算時(shí)可輸出結(jié)果，你覺得可以輸入的數(shù)是______，輸出的數(shù)是________．14.化簡(jiǎn)：eq\r(18)－eq\r(\f(9,2))－eq\f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋(eq\r(3)－2)0＋eq\r(1－\r(2)2).15.已知eq\r(5＋a)－eq\f(5,2)eq\r(8)＝2eq\r(2)，求a的值．16.已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\r(9x)＋y2\r(\f(x,y3))))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2\r(\f(1,x))－5x\r(\f(y,x))))的值．開放探究提優(yōu)17.已知a＋eq\f(1,a)＝6.(1)若0＜a＜1，求eq\r(a)－eq\f(1,\r(a))的值；(2)若沒有條件0＜a＜1的限制，則eq\r(a)－eq\f(1,\r(a))的值等于多少？18.已知整數(shù)a，b滿足eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(1404)，請(qǐng)寫出兩組符合題意的a，b的值．走進(jìn)中考前沿19.下列各式計(jì)算正確的是()．A．B．C．D．20.計(jì)算2－6＋的結(jié)果是()．A．3－2 B．5－C．5－ D．221．（2011上海）計(jì)算：．參考答案1.C2.C3.C4.C5．26．7．5.208.(1)5eq\r(3)－6eq\r(2)(2)eq\f(11,2)eq\r(2)＋eq\f(7,3)eq\r(3)(3)0(4)(4x－5)eq\r(x)(5)－40－3eq\r(5)(6)(1－b)eq\r(ab)9.A(0,4＋eq\f(4,3)eq\r(3))10．11.±2eq\r(3)12.eq\r(34)13.(1)eq\r(6)(2)±eq\r(7)(3)答案不唯一，如分別填2,2eq\r(2)－eq\r(6).14.eq\f(3\r(2),2)－115.9316.∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，即4x2－4x＋1＋y2－6y＋9＝0，∴(2x－1)2＋(y－3)2＝0.∴x＝eq\f(1,2)，y＝3.原式＝eq\f(2,3)xeq\r(9x)＋y2eq\r(\f(x,y3))－x2eq\r(\f(1,x))＋5xeq\r(\f(y,x))＝2xeq\r(x)＋eq\r(xy)－xeq\r(x)＋5eq\r(xy)＝xeq\r(x)＋6eq\r(xy).當(dāng)x＝eq\f(1,2)，y＝3時(shí)，原式＝eq\f(1,2)×eq\r(\f(1,2))＋6eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(2),4)＋3eq\r(6).17.(1)－2(2)±218.a＝39，b＝975或a＝156，b＝624等19．C20．A21.第2課時(shí)二次根式的加減(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)視窗掌握二次根式加減乘除混合運(yùn)算的順序和方法．會(huì)類比整式乘法進(jìn)行二次根式的計(jì)算．基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)1．已知a＋b＝－8，ab＝8，化簡(jiǎn)：______．2.若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，則a＋eq\f(1,a)＝________，a2＋a－2＝________.3.若已知a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.4.(3－2eq\r(2))2009·(3＋2eq\r(2))2010＝________.5.下列各式中，運(yùn)算正確的是()．A.(5eq\r(2)－2eq\r(5))÷eq\r(10)＝eq\r(5)－eq\r(2)B.(2＋eq\r(5))2＝9＋2eq\r(5)C.(eq\r(3)－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)－\f(1,\r(2)))))＝1D.eq\r(a)÷(b＋c)＝eq\r(\f(a,b))＋eq\r(\f(a,c))6．計(jì)算的結(jié)果估計(jì)()．A．6至7之間B．7至8之間 C．8至9之間 D．9至10之間7．已知，，則，的關(guān)系為()．A．B.C.D.8.若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12eq\r(3)cm，一邊長(zhǎng)為3eq\r(3)cm，其他兩邊之差為eq\r(3)cm，則這個(gè)三角形是()．A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.計(jì)算：(1)(3eq\r(ax)－4eq\r(by))(3eq\r(ax)＋4eq\r(by))；(2)eq\r(3)(2＋eq\r(6)－eq\r(3))；(3)(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))；(4)(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)2.10.計(jì)算：(1)5eq\r(15)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(5),5)));(2)eq\f(2\r(6),\r(2)＋\r(3)＋\r(5))；(3)eq\r(9－4\r(5))＋eq\r(9＋4\r(5)).11.先化簡(jiǎn)，再求值(1)(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－2.(2)(a－eq\r(3))(a＋eq\r(3))－a(a－6)，其中a＝eq\r(5)＋eq\f(1,2).思維拓展提優(yōu)12.方程的解是.13．若實(shí)數(shù)m滿足，則.14.已知a－b＝eq\r(3)＋eq\r(2)，b－c＝eq\r(3)－eq\r(2)，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．15.設(shè)eq\r(20)的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分為y，求eq\f(xy,x＋y)＋eq\f(2,y)的值．16.如圖(1)是一張等腰直角三角形彩色紙，AC＝BC＝40cm.將斜邊上的高CD四等分，然后截出3張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條．(1)分別求出這3張長(zhǎng)方形紙條的長(zhǎng)度；(2)若用這些紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊(紙條不重疊)，如圖(2)，則正方形美術(shù)作品的面積最大不能超過多少？（1）(2)開放探究提優(yōu)17.有這樣一道題，計(jì)算eq\f(x＋\r(x2－4),x－\r(x2－4))＋eq\f(x－\r(x2－4),x＋\r(x2－4))－x2(x＞2)的值，其中x＝2009.某同學(xué)把“x＝2009”錯(cuò)抄成“x＝2090”，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的．請(qǐng)問這是怎么回事？試說明理由．18.先將(1＋eq\r(－x))(1－eq\r(－x))化簡(jiǎn)，然后再選一個(gè)合適的x值，代入化簡(jiǎn)后的式子求值．走進(jìn)中考前沿19.先化簡(jiǎn)，后求值：其中20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a=.奧賽園地教練平臺(tái)【例1】（2011海南預(yù)賽）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()．A．1B．-1C．D．【分析】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，進(jìn)而a-1≤0,∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.【解答】D.【例2】(2010·全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省初賽)已知a，b，c為正整數(shù)，且eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)為有理數(shù)，證明eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)為整數(shù)．【分析】先將條件轉(zhuǎn)化，即將分子、分母有理化后，由根號(hào)前的數(shù)字因數(shù)為0，得到a，b，c的關(guān)系，然后結(jié)合條件，將a＋b＋c分解因式．【證明】因eq\r(3)是無理數(shù)，則eq\r(3)b－c≠0，而eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)＝eq\f(\r(3)a＋b\r(3)b－c,3b2－c2)＝eq\f(3ab－bc＋\r(3)b2－ac,3b2－c2)為有理數(shù)，所以b2－ac＝0，于是a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝(a＋b＋c)2－2b(a＋c＋b)＝(a＋b＋c)(a－b＋c)，因此，eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)＝a－b＋c為整數(shù)．挑戰(zhàn)自我初賽題1.(第17屆希望杯全國(guó))如果要使代數(shù)式eq\f(\r(|x－3|－2),x2－4x＋3)有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是()．A.1＜x≤5B.x＜1或x≥5C.x≤1或x≥5D.x＜1或x＞52.（2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)，則代數(shù)式的值為()．A.0B.1C.－1D.23．(2010廣東初賽)如果x，則等于()．A.4xB.2C.2D.24x

4.(第20屆江蘇)正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝1，設(shè)p＝eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r(3c＋1)＋eq\r(3d＋1)，則()．A.p＞5B.p＝5C.p＜5D.p與5的大小關(guān)系不確定5.(2009·江西預(yù)賽)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足|2a－4|＋|b＋2|＋eq\r(a－3b2)＋4＝2a，則a＋b等于()．A.－1B.0C.1D.2復(fù)賽題6.(2010·全國(guó)《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯)已知a＝eq\r(5)－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于______________．7.(2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)化簡(jiǎn)的結(jié)果是．8.(2009·全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)設(shè)a＝eq\r(7)－1，則3a3＋12a2－6a－12等于．9.(2008·全國(guó))設(shè)x＝eq\f(1,\r(2)－1)，若a是x的小數(shù)部分，b是－x的小數(shù)部分，則a3＋b3＋3ab＝________.10.(2010·全國(guó)《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝2eq\r(3)，BC＝4－2eq\r(2)，CD＝4eq\r(2)，則邊AD的長(zhǎng)為()．A.2eq\r(6)B.4eq\r(6)C.4＋eq\r(6)D.2＋2eq\r(6)11.(2010·全國(guó))若實(shí)數(shù)a，b，c滿足等式2eq\r(a)＋3|b|＝6,4eq\r(a)－9|b|＝6c，則c可能取的最大值為()．A.0B.1C.2D.312.(第22屆希望杯全國(guó))方程的解的情況是().A.無解B.恰有一解C.恰有兩個(gè)解D.有無窮多個(gè)解參考答案二次根式的加減(2)1．2.2eq\r(3)103.45.3＋2eq\r(2)5.A6.B7.B8.C9.(1)9ax－16by(2)2eq\r(3)＋3eq\r(2)－3(3)2eq\r(15)－6(4)eq\r(2)＋110.(1)eq\f(75,2)eq\r(5)－eq\f(75,2)eq\r(3)(2)eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5)(3)2eq\r(5)11.(1)原式＝a2＋2ab＋b2＋2a2－ab－b2－3a2＝ab＝1(2)原式＝a2－3－a2＋6a＝6a－3＝6eq\r(5)12．13．314.1115.eq\f(30－3\r(5),5)16.(1)10eq\r(2)cm20eq\r(2)cm30eq\r(2)cm(2)200cm217.原式化簡(jiǎn)結(jié)果為－2，因此這位同學(xué)無論把x抄成什么值，都不會(huì)影響計(jì)算的結(jié)果．18.1＋x，當(dāng)x＝－3時(shí)，原式＝－2.(本題答案不唯一，x的數(shù)值只要滿足x≤0均可)19.原式＝＝x·y=(+1)(-1)=1.20．原式＝，把代人上式中，得.奧賽園地1.B2．C3.B4.A5.C6.07.8.249.1提示：∵x＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1，而2＜eq\r(2)＋1＜3，∴a＝x－2＝eq\r(2)－1.又－x＝－eq\r(2)－1，而－3＜－eq\r(2)－1＜－2，∴b＝－x－(－3)＝2－eq\r(2).∴a＋b＝1.∴a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.10.D提示：過點(diǎn)A、D分別作AE、DF垂直于直線BC，垂足分別為E、F.由已知，可得BE＝AE＝eq\r(6)，CF＝2eq\r(2)，DF＝2eq\r(6)，于是EF＝4＋eq\r(6).過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G.在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理，得AD＝eq\r(4＋\r(6)2＋\r(6)2)＝2＋2eq\r(6).11.C提示：由兩個(gè)已知等式可得eq\r(a)＝eq\f(3,5)(c＋3)，|b|＝eq\f(2,5)(2－c)，而|b|≥0，所以c≤2.當(dāng)c＝2時(shí)，可得a＝9，b＝0，滿足已知等式．所以c可能取的最大值為2.12.D.提示：將方程變形為…①，分三種情況考慮，若，則①成為，即，得；若，則①成為，即，得；若，即時(shí)，則①成為，即，這是一個(gè)恒等式，滿足的任何都是方程的解，結(jié)合以上討論，可知，方程的解是滿足的一切實(shí)數(shù)，即有無窮多個(gè)解．第2課時(shí)二次根式的加減(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)視窗掌握二次根式加減乘除混合運(yùn)算的順序和方法．會(huì)類比整式乘法進(jìn)行二次根式的計(jì)算．基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)1．已知a＋b＝－8，ab＝8，化簡(jiǎn)：______．2.若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，則a＋eq\f(1,a)＝________，a2＋a－2＝________.3.若已知a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.4.(3－2eq\r(2))2009·(3＋2eq\r(2))2010＝________.5.下列各式中，運(yùn)算正確的是()．A.(5eq\r(2)－2eq\r(5))÷eq\r(10)＝eq\r(5)－eq\r(2)B.(2＋eq\r(5))2＝9＋2eq\r(5)C.(eq\r(3)－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)－\f(1,\r(2)))))＝1D.eq\r(a)÷(b＋c)＝eq\r(\f(a,b))＋eq\r(\f(a,c))6．計(jì)算的結(jié)果估計(jì)()．A．6至7之間B．7至8之間 C．8至9之間 D．9至10之間7．已知，，則，的關(guān)系為()．A．B.C.D.8.若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12eq\r(3)cm，一邊長(zhǎng)為3eq\r(3)cm，其他兩邊之差為eq\r(3)cm，則這個(gè)三角形是()．A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.計(jì)算：(1)(3eq\r(ax)－4eq\r(by))(3eq\r(ax)＋4eq\r(by))；(2)eq\r(3)(2＋eq\r(6)－eq\r(3))；(3)(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))；(4)(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)2.10.計(jì)算：(1)5eq\r(15)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(5),5)));(2)eq\f(2\r(6),\r(2)＋\r(3)＋\r(5))；(3)eq\r(9－4\r(5))＋eq\r(9＋4\r(5)).11.先化簡(jiǎn)，再求值(1)(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－2.(2)(a－eq\r(3))(a＋eq\r(3))－a(a－6)，其中a＝eq\r(5)＋eq\f(1,2).思維拓展提優(yōu)12.方程的解是.13．若實(shí)數(shù)m滿足，則.14.已知a－b＝eq\r(3)＋eq\r(2)，b－c＝eq\r(3)－eq\r(2)，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．15.設(shè)eq\r(20)的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分為y，求eq\f(xy,x＋y)＋eq\f(2,y)的值．16.如圖(1)是一張等腰直角三角形彩色紙，AC＝BC＝40cm.將斜邊上的高CD四等分，然后截出3張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條．(1)分別求出這3張長(zhǎng)方形紙條的長(zhǎng)度；(2)若用這些紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊(紙條不重疊)，如圖(2)，則正方形美術(shù)作品的面積最大不能超過多少？（1）(2)開放探究提優(yōu)17.有這樣一道題，計(jì)算eq\f(x＋\r(x2－4),x－\r(x2－4))＋eq\f(x－\r(x2－4),x＋\r(x2－4))－x2(x＞2)的值，其中x＝2009.某同學(xué)把“x＝2009”錯(cuò)抄成“x＝2090”，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的．請(qǐng)問這是怎么回事？試說明理由．18.先將(1＋eq\r(－x))(1－eq\r(－x))化簡(jiǎn)，然后再選一個(gè)合適的x值，代入化簡(jiǎn)后的式子求值．走進(jìn)中考前沿19.先化簡(jiǎn)，后求值：其中20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a=.奧賽園地教練平臺(tái)【例1】（2011海南預(yù)賽）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()．A．1B．-1C．D．【分析】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，進(jìn)而a-1≤0,∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.【解答】D.【例2】(2010·全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省初賽)已知a，b，c為正整數(shù)，且eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)為有理數(shù)，證明eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)為整數(shù)．【分析】先將條件轉(zhuǎn)化，即將分子、分母有理化后，由根號(hào)前的數(shù)字因數(shù)為0，得到a，b，c的關(guān)系，然后結(jié)合條件，將a＋b＋c分解因式．【證明】因eq\r(3)是無理數(shù)，則eq\r(3)b－c≠0，而eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)＝eq\f(\r(3)a＋b\r(3)b－c,3b2－c2)＝eq\f(3ab－bc＋\r(3)b2－ac,3b2－c2)為有理數(shù)，所以b2－ac＝0，于是a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝(a＋b＋c)2－2b(a＋c＋b)＝(a＋b＋c)(a－b＋c)，因此，eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)＝a－b＋c為整數(shù)．挑戰(zhàn)自我初賽題1.(第17屆希望杯全國(guó))如果要使代數(shù)式eq\f(\r(|x－3|－2),x2－4x＋3)有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是()．A.1＜x≤5B.x＜1或x≥5C.x≤1或x≥5D.x＜1或x＞52.（2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)，則代數(shù)式的值為()．A.0B.1C.－1D.23．(2010廣東初賽)如果x，則等于()．A.4xB.2C.2D.24x

4.(第20屆江蘇)正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝1，設(shè)p＝eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r(3c＋1)＋eq\r(3d＋1)，則()．A.p＞5B.p＝5C.p＜5D.p與5的大小關(guān)系不確定5.(2009·江西預(yù)賽)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足|2a－4|＋|b＋2|＋eq\r(a－3b2)＋4＝2a，則a＋b等于()．A.－1B.0C.1D.2復(fù)賽題6.(2010·全國(guó)《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯)已知a＝eq\r(5)－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于______________．7.(2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)化簡(jiǎn)的結(jié)果是．8.(2009·全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)設(shè)a＝eq\r(7)－1，則3a3＋12a2－6a－12等于．9.(2008·全國(guó))設(shè)x＝eq\f(1,\r(2)－1)，若a是x的小數(shù)部分，b是－x的小數(shù)部分，則a3＋b3＋3ab＝________.10.(2010·全國(guó)《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝2eq\r(3)，BC＝4－2eq\r(2)，CD＝4eq\r(2)，則邊AD的長(zhǎng)為()．A.2eq\r(6)B.4eq\r(6)C.4＋eq\r(6)D.2＋2eq\r(6)11.(2010·全國(guó))若實(shí)數(shù)a，b，c滿足等式2eq\r(a)＋3|b|＝6,4eq\r(a)－9|b|＝6c，則c可能取的最大值為()．A.0B.1C.2D.312.(第22屆希望杯全國(guó))方程的解的情況是().A.無解B.恰有一解C.恰有兩個(gè)解D.有無窮多個(gè)解參考答案二次根式的加減(2)1．2.2eq\r(3)103.45.3＋2eq\r(2)5.A6.B7.B8.C9.(1)9ax－16by(2)2eq\r(3)＋3eq\r(2)－3(3)2eq\r(15)－6(4)eq\r(2)＋110.(1)eq\f(75,2)eq\r(5)－eq\f(75,2)eq\r(3)(2)eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5)(3)2eq\r(5)11.(1)原式＝a2＋2ab＋b2＋2a2－ab－b2－3a2＝ab＝1(2)原式＝a2－3－a2＋6a＝6a－3＝6eq\r(5)12．13．314.1115.eq\f(30－3\r(5),5)16.(1)10eq\r(2)cm20eq\r(2)cm30eq\r(2)cm(2)200cm217.原式化簡(jiǎn)結(jié)果為－2，因此這位同學(xué)無論把x抄成什么值，都不會(huì)影響計(jì)算的結(jié)果．18.1＋x，當(dāng)x＝－3時(shí)，原式＝－2.(本題答案不唯一，x的數(shù)值只要滿足x≤0均可)19.原式＝＝x·y=(+1)(-1)=1.20．原式＝，把代人上式中，得.奧賽園地1.B2．C3.B4.A5.C6.07.8.249.1提示：∵x＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1，而2＜eq\r(2)＋1＜3，∴a＝x－2＝eq\r(2)－1.又－x＝－eq\r(2)－1，而－3＜－eq\r(2)－1＜－2，∴b＝－x－(－3)＝2－eq\r(2).∴a＋b＝1.∴a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.10.D提示：過點(diǎn)A、D分別作AE、DF垂直于直線BC，垂足分別為E、F.由已知，可得BE＝AE＝eq\r(6)，CF＝2eq\r(2)，DF＝2eq\r(6)，于是EF＝4＋eq\r(6).過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G.在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理，得AD＝eq\r(4＋\r(6)2＋\r(6)2)＝2＋2eq\r(6).11.C提示：由兩個(gè)已知等式可得eq\r(a)＝eq\f(3,5)(c＋3)，|b|＝eq\f(2,5)(2－c)，而|b|≥0，所以c≤2.當(dāng)c＝2時(shí)，可得a＝9，b＝0，滿足已知等式．所以c可能取的最大值為2.12.D.提示：將方程變形為…①，分三種情況考慮，若，則①成為，即，得；若，則①成為，即，得；若，即時(shí)，則①成為，即，這是一個(gè)恒等式，滿足的任何都是方程的解，結(jié)合以上討論，可知，方程的解是滿足的一切實(shí)數(shù)，即有無窮多個(gè)解．第2課時(shí)二次根式的加減(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)視窗掌握二次根式加減乘除混合運(yùn)算的順序和方法．會(huì)類比整式乘法進(jìn)行二次根式的計(jì)算．基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)1．已知a＋b＝－8，ab＝8，化簡(jiǎn)：______．2.若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，則a＋eq\f(1,a)＝________，a2＋a－2＝________.3.若已知a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.4.(3－2eq\r(2))2009·(3＋2eq\r(2))2010＝________.5.下列各式中，運(yùn)算正確的是()．A.(5eq\r(2)－2eq\r(5))÷eq\r(10)＝eq\r(5)－eq\r(2)B.(2＋eq\r(5))2＝9＋2eq\r(5)C.(eq\r(3)－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)－\f(1,\r(2)))))＝1D.eq\r(a)÷(b＋c)＝eq\r(\f(a,b))＋eq\r(\f(a,c))6．計(jì)算的結(jié)果估計(jì)()．A．6至7之間B．7至8之間 C．8至9之間 D．9至10之間7．已知，，則，的關(guān)系為()．A．B.C.D.8.若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12eq\r(3)cm，一邊長(zhǎng)為3eq\r(3)cm，其他兩邊之差為eq\r(3)cm，則這個(gè)三角形是()．A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.計(jì)算：(1)(3eq\r(ax)－4eq\r(by))(3eq\r(ax)＋4eq\r(by))；(2)eq\r(3)(2＋eq\r(6)－eq\r(3))；(3)(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))；(4)(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)2.10.計(jì)算：(1)5eq\r(15)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(5),5)));(2)eq\f(2\r(6),\r(2)＋\r(3)＋\r(5))；(3)eq\r(9－4\r(5))＋eq\r(9＋4\r(5)).11.先化簡(jiǎn)，再求值(1)(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－2.(2)(a－eq\r(3))(a＋eq\r(3))－a(a－6)，其中a＝eq\r(5)＋eq\f(1,2).思維拓展提優(yōu)12.方程的解是.13．若實(shí)數(shù)m滿足，則.14.已知a－b＝eq\r(3)＋eq\r(2)，b－c＝eq\r(3)－eq\r(2)，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．15.設(shè)eq\r(20)的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分為y，求eq\f(xy,x＋y)＋eq\f(2,y)的值．16.如圖(1)是一張等腰直角三角形彩色紙，AC＝BC＝40cm.將斜邊上的高CD四等分，然后截出3張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條．(1)分別求出這3張長(zhǎng)方形紙條的長(zhǎng)度；(2)若用這些紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊(紙條不重疊)，如圖(2)，則正方形美術(shù)作品的面積最大不能超過多少？（1）(2)開放探究提優(yōu)17.有這樣一道題，計(jì)算eq\f(x＋\r(x2－4),x－\r(x2－4))＋eq\f(x－\r(x2－4),x＋\r(x2－4))－x2(x＞2)的值，其中x＝2009.某同學(xué)把“x＝2009”錯(cuò)抄成“x＝2090”，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的．請(qǐng)問這是怎么回事？試說明理由．18.先將(1＋eq\r(－x))(1－eq\r(－x))化簡(jiǎn)，然后再選一個(gè)合適的x值，代入化簡(jiǎn)后的式子求值．走進(jìn)中考前沿19.先化簡(jiǎn)，后求值：其中20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a=.奧賽園地教練平臺(tái)【例1】（2011海南預(yù)賽）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()．A．1B．-1C．D．【分析】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，進(jìn)而a-1≤0,∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.【解答】D.【例2】(2010·全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省初賽)已知a，b，c為正整數(shù)，且eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)為有理數(shù)，證明eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)為整數(shù)．【分析】先將條件轉(zhuǎn)化，即將分子、分母有理化后，由根號(hào)前的數(shù)字因數(shù)為0，得到a，b，c的關(guān)系，然后結(jié)合條件，將a＋b＋c分解因式．【證明】因eq\r(3)是無理數(shù)，則eq\r(3)b－c≠0，而eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)＝eq\f(\r(3)a＋b\r(3)b－c,3b2－c2)＝eq\f(3ab－bc＋\r(3)b2－ac,3b2－c2)為有理數(shù)，所以b2－ac＝0，于是a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝(a＋b＋c)2－2b(a＋c＋b)＝(a＋b＋c)(a－b＋c)，因此，eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)＝a－b＋c為整數(shù)．挑戰(zhàn)自我初賽題1.(第17屆希望杯全國(guó))如果要使代數(shù)式eq\f(\r(|x－3|－2),x2－4x＋3)有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是()．A.1＜x≤5B.x＜1或x≥5C.x≤1或x≥5D.x＜1或x＞52.（2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)，則代數(shù)式的值為()．A.0B.1C.－1D.23．(2010廣東初賽)如果x，則等于()．A.4xB.2C.2D.24x

4.(第20屆江蘇)正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝1，設(shè)p＝eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r(3c＋1)＋eq\r(3d＋1)，則()．A.p＞5B.p＝5C.p＜5D.p與5的大小關(guān)系不確定5.(2009·江西預(yù)賽)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足|2a－4|＋|b