第三章 33 幾何概型 2

3.3幾何概型預(yù)習(xí)思考1，什么是幾何概型？有何特點(diǎn)？計(jì)算公式？2，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)大于AC的長(zhǎng)的概率．3

在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M.求AM＜AC的概率．1．幾何概型的定義若每事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積、體積、角度)成比例，則稱(chēng)此概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型．2．幾何概型的特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有

．(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性

．無(wú)限多個(gè)相等[例1]

在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)大于AC的長(zhǎng)的概率．C'

在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，先找到幾何區(qū)域D，可能是一線(xiàn)段或幾條線(xiàn)段或曲線(xiàn)段，后找到事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過(guò)程中，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率．思考：分析：基本事件是什么？滿(mǎn)足條件的基本事件有哪些？答案：C-55-12x0

[例2]

如圖，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M.求AM＜AC的概率．C'在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線(xiàn)OT落在60°角的終邊上，

任作一條射線(xiàn)OA，則射線(xiàn)OA落在∠x(chóng)OT內(nèi)的概率為_(kāi)__．思考：[例3]

如圖所示，圓盤(pán)中陰影部分扇形的圓心角為60°。若向圓盤(pán)內(nèi)投鏢，如果某人每次都能隨機(jī)投入圓盤(pán)中，那么他投中陰影部分的概率為_(kāi)_____．解此類(lèi)幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是(1)根據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題．

(2)找出或構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計(jì)算相關(guān)面積．(3)套用公式從而求得隨機(jī)事件的概率．[例4]有一杯2升的水，其中含有一個(gè)細(xì)菌，用一小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率．課時(shí)練習(xí)P60,課堂強(qiáng)化課時(shí)小結(jié)幾何概型四種案例：長(zhǎng)度；角度；面積；體積。概率計(jì)算：P=課時(shí)作業(yè)作業(yè)十八備用練習(xí)國(guó)家安全機(jī)關(guān)的監(jiān)聽(tīng)錄音記錄了兩名間諜的談話(huà)，發(fā)現(xiàn)在30min長(zhǎng)的磁帶上，從開(kāi)始30s處起，有10s長(zhǎng)的一段談話(huà)內(nèi)容包含兩名間諜犯罪的信息．后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話(huà)的一部分被某工作人員擦掉了．該工作人員聲稱(chēng)他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，才使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉的概率有多少？[巧思]

因?yàn)樵谌我鈺r(shí)刻都會(huì)按錯(cuò)鍵，即在任意時(shí)刻按錯(cuò)鍵是等可能的，且有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，符合幾何概型．可以用“按錯(cuò)鍵使含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉”所發(fā)生的時(shí)間與總時(shí)間的比值進(jìn)行求解．[妙解]包含兩名間諜談話(huà)錄音的部分在30～40s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被擦掉；當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在0～30s之間時(shí)，全部被擦掉．即在0～40s之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵時(shí)，含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉，而在0～30min之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的．所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪信息的談話(huà)被部分或全部擦掉的概率只與從開(kāi)始到談話(huà)內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件．[小問(wèn)題·大思維]1．幾何概型的概率計(jì)算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？提示：幾何概型的概率只與它的長(zhǎng)度(面積或體積)有

關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān)．2．幾何概型中，概率為0的事件一定是不可能事件嗎？

概率為1的事件也一定是必然事件嗎？提示：如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，因單點(diǎn)的

長(zhǎng)度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0(即P(A)＝0)，但它不是不可能事件；如果隨機(jī)事件所在

的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1(即P(