4.4 數(shù)學歸納法（同步練習）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學年高二數(shù)學同步名師重點課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊）

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）A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d2．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（

）A． B．C． D．3．用數(shù)學歸納法證明“1n（n∈N*）”時，由假設(shè)n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推證n＝k+1不等式成立時，不等式左邊應增加的項數(shù)是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+14．對于不等式，某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下：①當時，，不等式成立；②假設(shè)當時，不等式成立，即，則當時，.故當時，不等式成立.則上述證法（

）A．過程全部正確 B．的驗證不正確C．的歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確5．用數(shù)學歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時命題成立之后，需證明時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項（

）能被9整除.A． B． C． D．二、多選題6．對于不等式，某同學運用數(shù)學歸納法的證明過程如下：①當時，，不等式成立.②假設(shè)當時，不等式成立，即，則當時，，所以當時，不等式成立.上述證法（

）A．過程全部正確 B．時證明正確C．過程全部不正確 D．從到的推理不正確7．用數(shù)學歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值中正確的為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．正項數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，則（

）A． B．C．的前項積為 D．的前2n項積為三、填空題9．用數(shù)學歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結(jié)論是________.10．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則___________.11．已知函數(shù)，若，，…，，猜想的函數(shù)表達式為______．四、解答題12．用數(shù)學歸納法證明：如果是一個公差為d的等差數(shù)列，那么對任何都成立．13．數(shù)列中，表示前n項和，且成等差數(shù)列．（1）計算的值；（2）根據(jù)以上計算結(jié)果猜測的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．14．設(shè)x為正實數(shù)，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列1，，，…，，…的前n項和為，試比較與n的大小，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．參考答案：1．C【分析】只需把公式中的n換成k即可．【詳解】假設(shè)當n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.故選:C2．B【分析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得，當時，不等式為．故選：B．3．C【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟即可求解.【詳解】在用數(shù)學歸納法證明“（n∈N*）”時假設(shè)當時不等式成立，左邊=則當時，左邊=則由遞推到時不等式左邊增加了：共，故選：C4．D【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法證明的基本過程可得出結(jié)論.【詳解】在時，沒有應用時的假設(shè)，即從到的推理不正確.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法，考查對數(shù)學歸納法證明過程的理解，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】假設(shè)時命題成立，即能被9整除，計算當時，，即可得解.【詳解】解：假設(shè)時命題成立，即能被9整除，當時，能被9整除要證上式能被9整除，還需證明也能被9整除故選：【點睛】本題考查數(shù)學歸納法，數(shù)學歸納法是證明一個與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若（奠基）在時成立；（歸納）在為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立．6．BD【分析】直接利用數(shù)學歸納法的步驟進行判斷即可.【詳解】易知當時，該同學的證法正確.從到的推理過程中，該同學沒有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學歸納法的證題要求，故推理不正確.故選：BD.7．CD【分析】先驗證四個選項中符合要求的的值，再用數(shù)學歸納法進行充分性證明.【詳解】當時，，不合要求，舍去當時，，不合要求，舍去；當時，，符合題意，當時，，符合題意，下證：當時，成立，當時，成立，假設(shè)當時，均有，解得：當時，有，因為，所以成立，由數(shù)學歸納法可知：對任意的自然數(shù)都成立，故選：CD8．ABC【分析】利用的遞推公式列出數(shù)列的前幾項，即可猜想，再利用數(shù)學歸納法證明，即可判斷A、B，再根據(jù)指數(shù)的運算法則及等比數(shù)列前項和公式計算即可判斷C、D；【詳解】解：因為，，所以，，，可猜想，當時，成立，假設(shè)時，所以也成立，所以，故A正確；因為，所以，，故，故B正確；其中，所以，故C正確；，故D錯誤；故選：ABC9．【解析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟可知第一步要證明時的不等式成立.【詳解】因為n≥2，所以第一步要證的是當n=2時結(jié)論成立，即1+.故答案為：10．【分析】利用和之間的關(guān)系，化簡已知等式，求出數(shù)列前幾項，猜想得到通項公式，最后利用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】因為當時，有，因此由，可得，化簡得：，因為,所以，，由此猜想數(shù)列的通項公式為：，現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明：當時，，顯然成立；假設(shè)當時成立，即，當時，，綜上所述：.故答案為：【點睛】本題考查了求數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)學歸納法的應用，考查了數(shù)學運算能力.11．【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】，，假設(shè)，即成立，則，對于也成立.所以一定有：故答案為：12．證明見解析【分析】利用數(shù)學歸納法的證明方法與步驟即可證明.【詳解】（1）當時，左邊，右邊，①式成立．（2）假設(shè)當時，①式成立，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義，有，于是，即當時，①式也成立，由（1）（2）可知，①式對任何都成立．13．（1），，；（2），證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，及等差中項的性質(zhì)，代入計算，即可得答案.（2）猜測，根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，推理證明，即可得證.【詳解】解：（1），由已知有，得，又，得；（2）由以上結(jié)果猜測：用數(shù)學歸納法證明如下：（Ⅰ）當時，，猜想成立（Ⅱ）假設(shè)當時猜想成立，則有，當時，，

時猜想成立由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，對任意正整數(shù)n，猜想都成立．14．，且時，，證明見解析【分析】計算和時的情況猜想：時，，利用數(shù)學歸納法證明得到答案.【詳解】由已知可得．當時，，由，可得；當時，，由，可得．由此，我們猜想，當，且時，．下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想．（1）當時，由上述過程知，