4.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)（知識(shí)梳理+例題+變式+練習(xí)）（解析版）

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a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．【易錯(cuò)辨析】混淆等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題中n的取值致錯(cuò)【例4】兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？【解析】設(shè)已知兩個(gè)數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11又等差數(shù)列5,8,11，…的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2，等差數(shù)列3,7,11，…的通項(xiàng)公式為bn＝4n－1.∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差d＝12.∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.得n≤25eq\f(1,4)，可見已知兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng)．【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因混淆了兩個(gè)等差數(shù)列中n的取值，誤認(rèn)為3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致錯(cuò).糾錯(cuò)心得解題時(shí)一定要理解好兩個(gè)通項(xiàng)公式的n值的含義，否則會(huì)造成不必一、單選題1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可判斷作答.【解析】因數(shù)列是等差數(shù)列，又，則，解得，所以.故選：B2．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A．26 B．39 C．104 D．52【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算，再利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)解得答案.【解析】，故，化簡得到，.故選：C.4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7=S12，則（）A．S9最大 B．S10最大C．S9與S10相等且最大 D．以上都不對(duì)【答案】D【分析】先利用S7=S12，判斷出，但是不能明確公差的符號(hào)，所以S9與S10相等可能是最大值也可能是最小值，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【解析】因?yàn)镾7=S12，所以.因?yàn)?，所?由于不能明確公差的符號(hào)，所以S9與S10相等可能是最大值也可能是最小值.故選：D5．已知，，，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得到，，從而利用重要不等式即可求最大值.【解析】因?yàn)?，，，成等差?shù)列，所以，因?yàn)?，，，成等比?shù)列，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：D.6．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5＝（）A．5 B．6C．8 D．9【答案】A【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【解析】因?yàn)閍5是a1和a9的等差中項(xiàng)，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.故選：A7．在等差數(shù)列中，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【解析】因?yàn)椋怨?，又因?yàn)椋?，所以，故選：D.8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則使成立的正整數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【解析】因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，所?所以，.故選：C.二、多選題9．已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，則下列說法中正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，取得最大值C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【分析】依題意可得，即可得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【解析】解：因?yàn)?，所以，即，即，所以，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；，當(dāng)時(shí)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最大值，故B錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若且，則下列說法正確的有（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，結(jié)合和等差數(shù)列的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【解析】，公差，A錯(cuò)，B正確．對(duì)于C，，C正確．對(duì)于D，，D錯(cuò)誤，故選：BC．11．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1>0，公差d≠0，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），則下列命題正確的是（）A．若S3=S11，則必有S14=0B．若S3=S11，則S7是{Sn}中的最大項(xiàng)C．若S7>S8，則必有S8>S9D．若S7>S8，則必有S6>S9【答案】ABCD【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及是關(guān)于n的二次函數(shù)判斷；對(duì)于C、D：判斷出公差d的正負(fù)及性質(zhì)可以判斷.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，若S3=S11，則S11-S3=4（a7+a8）=0，則a7+a8=0，S14==7（a7+a8）=0.故A正確；是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)Sn的圖象，當(dāng)S3=S11時(shí)，對(duì)稱軸是=7，且d<0，那么S7是最大值.故B正確；若S7>S8，則a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9-S8<0，即S8>S9.故C正確；S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0，即S6>S9.故D正確；.故選：ABCD第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．①在數(shù)列中，若是常數(shù)，，則數(shù)列是等差數(shù)列；②設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，若，則；③數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對(duì)于任意的正整數(shù)，都有；④若數(shù)列是等差數(shù)列，則，…也成等差數(shù)列，上述命題中，其中正確的命題的序號(hào)為________.【答案】①②③④【分析】對(duì)于①：利用等差數(shù)列的定義直接判斷；對(duì)于②：利用通項(xiàng)公式分別計(jì)算出左、右兩邊，即可證明；對(duì)于③：由等差中項(xiàng)的定義