4.1數(shù)列的概念-【新教材】人教A版（2019）高中 數(shù)學(xué)選擇性必修二同步講義

淘寶唯一店鋪：知二教育倒賣拉黑不更新PAGE淘寶唯一店鋪：知二教育倒賣拉黑不更新4.1數(shù)列的概念知識(shí)梳理知識(shí)梳理1、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.（4）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．2、數(shù)列的分類(1)按照項(xiàng)數(shù)有限和無(wú)限分：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有限數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限個(gè)；,無(wú)限數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限個(gè)；))(2)按單調(diào)性來(lái)分：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(遞增數(shù)列：an＋1\a\vs4\al(>)an，,遞減數(shù)列：an＋1\a\vs4\al(<)an，,常數(shù)列：an＋1＝an＝C常數(shù)，,擺動(dòng)數(shù)列.))3、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．①并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一（2）遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過(guò)一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an4、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn)（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.))（2）在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))（3）型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；（4）形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；知識(shí)典例知識(shí)典例題型一規(guī)律猜想例1數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項(xiàng)公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項(xiàng)公式為.故選：D已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第10項(xiàng) B．第11項(xiàng) C．第12項(xiàng) D．第21項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的通項(xiàng)公式，令，求得n=11，得到結(jié)果.【詳解】令，解得n=11，故是這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng).故選：B.題型二遞推公式例2在數(shù)列中，，（，），則（）A． B．1C． D．2【答案】A【分析】通過(guò)遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：A.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則________.【答案】【分析】求得數(shù)列的周期，由此求得.【詳解】由題意，，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為4.．故答案為：題型三累加法例3在數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)公式為（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先將變形整理為，再分別用，，，2，1替換上式中的，得到個(gè)等式，將上述這些式子相加整理，從而求出的通項(xiàng)公式.【詳解】由已知得，所以將上述個(gè)式子相加，整理的又因?yàn)?，所以．故選A．在數(shù)列中，且，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】在數(shù)列中，，，上式相加：題型四累乘法例4已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，(n＋2)·aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，n∈N*，則它的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,n＋1) B．a(chǎn)n＝eq\f(2,n＋1)C．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2) D．a(chǎn)n＝n【答案】B【解析】由(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，得(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))2＋eq\f(an＋1,an)－(n＋1)＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)＋1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋2·\f(an＋1,an)－n＋1))＝0，因?yàn)閧an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以eq\f(an＋1,an)＋1>0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，則an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·…·eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1).故選B.若數(shù)列滿足，，則______.【答案】【分析】由已知得，，由此利用累乘法能求出an．【詳解】數(shù)列{an}滿足，∴∴，，∴an＝，又時(shí)也滿足；故答案為．題型五數(shù)列與函數(shù)例5已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，從而可得到n＝2時(shí)，an最大.【詳解】解：，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an；當(dāng)n＝2時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為a2或a3，且.故選：A.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，那么這個(gè)數(shù)列是A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列【答案】A【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．故選A．鞏固提升鞏固提升1、數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由遞推關(guān)系，可求出的前5項(xiàng)，從而可得出該數(shù)列的周期性，進(jìn)而求出即可.【詳解】由，可得，由，可得，，，，由，可知數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，所以.故選：B.2、在數(shù)列中，，則＝（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，，所以．3、在數(shù)列中，已知，則______.【答案】【分析】令，根據(jù)換元法求通項(xiàng)，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以.故答案為：.4、已知數(shù)列滿足:,則___________.【答案】0【分析】先由條件得，然后【詳解】因?yàn)樗砸驗(yàn)椋宜?，即故答案為?5、數(shù)列，，，，中，開(kāi)始出現(xiàn)負(fù)值的項(xiàng)是第______項(xiàng).【答案】16【分析】根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再解不等式，求出的值.【詳