高中同步創(chuàng)新課堂數(shù)學(xué)優(yōu)化方案北師大必修2習(xí)題：第一章-3應(yīng)用案鞏固提升-含答案

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．把一個鐵制的底面半徑為r，高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則這個鐵球的半徑為()A.eq\f(r\r(h),2) B．eq\f(r2h,4)C.eq\r(3,\f(r2h,4)) D．eq\f(r2h,2)解析：選C.因為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4)).2．把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么球的體積擴(kuò)大到原來的()A．2倍 B．eq\r(2)倍C．2eq\r(2)倍 D．eq\r(3,2)倍解析：選C.設(shè)原來球的半徑為r，擴(kuò)大后球的半徑為R，依題意可知eq\f(4πR2,4πr2)＝2，所以R＝eq\r(2)r.所以eq\f(\f(4,3)πR3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(R3,r3)＝eq\f(（\r(2)r）3,r3)＝2eq\r(2).即球的體積擴(kuò)大到原來的2eq\r(2)倍．故C正確．3．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()第3題圖第4題圖A．9π＋42 B．36π＋18C.eq\f(9,2)π＋12 D．eq\f(9,2)π＋18解析：選D．由三視圖可知，該幾何體是一個球體和一個長方體的組合體．其中，V球＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9π,2)，V長方體＝2×3×3＝18.所以V總＝eq\f(9,2)π＋18.4．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是()A．12π B．24πC．32π D．48π解析：選D．由三視圖可知該幾何體是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為4，該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的直徑為eq\r(3)×4＝4eq\r(3)，即球的半徑為2eq\r(3)，所以該球的表面積是4π(2eq\r(3))2＝48π.5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為()A.eq\f(4\r(3)π,27) B．eq\f(\r(6)π,2)C.eq\f(\r(6)π,8) D．eq\f(\r(6)π,24)解析：選C.折起后的幾何體是一個棱長為1的正四面體P-CDE，我們?nèi)菀浊蟮迷撜拿骟w外接球半徑為eq\f(\r(6),4)，所以外接球的體積V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6)π,8).6.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.解析：設(shè)球的半徑為xcm，由題意得πx2×8＝πx2×6x－eq\f(4,3)πx3×3，解得x＝4.答案：47．兩個球的表面積之差為48π，它們的大圓周長之和為12π，則這兩個球的半徑之差為________．解析：由題意建立方程組，設(shè)兩球半徑分別為R、r(R＞r)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))所以R－r＝2.答案：28．已知一個表面積為24的正方體，設(shè)有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為________．解析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝24，解得a＝2.又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長2eq\r(2)等于球的直徑，則球的半徑是eq\r(2)，則此球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π9．一試管的上部為圓柱形，底部為與圓柱底面半徑相同的半球形．圓柱形部分的高為hcm，半徑為rcm.試管的容量為108πcm3，半球部分容量為全試管容量的eq\f(1,6).(1)求r和h；(2)若將試管垂直放置，并注水至水面離管口4cm處，求水的體積．解：(1)因為半球部分容量為全試管容量的eq\f(1,6)，所以半球部分與圓柱體部分容量比為eq\f(1,5)，即eq\f(1,5)＝eq\f(\f(4,3)πr3×\f(1,2),πr2×h)，所以h＝eq\f(10,3)r，eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)＝108π×eq\f(1,6)，所以r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)＋πr2×(h－4)＝eq\f(4,3)π×33×eq\f(1,2)＋π×32×6＝72π(cm3)．10．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．解：設(shè)正方體的棱長為a.如圖所示．圖(1)中正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是正方體六個面的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.圖(2)中球與正方體的各棱的切點是每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.圖(3)中正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.[B能力提升]1．若等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，則它們的表面積的大小關(guān)系是()A．S球＜S圓柱＜S正方體 B．S正方體＜S球＜S圓柱C．S圓柱＜S球＜S正方體 D．S球＜S正方體＜S圓柱解析：選A.設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為r，球半徑為R，正方體棱長為a，則πr2·2r＝eq\f(4,3)πR3＝a3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(3)＝2π，S圓柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方體＝6a2，eq\f(S球,S圓柱)＝eq\f(4πR2,6πr2)＝eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(2,3))＜1，eq\f(S正方體,S圓柱)＝eq\f(6a2,6πr2)＝eq\f(1,π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(4,π))＞1.故選A.2．正三棱錐的高和底面邊長都等于6，則其外接球的表面積為________．解析：如圖，過正三棱錐P-ABC的頂點P作PM⊥平面ABC于點M，則球心O在PM上，|PM|＝6，連接AM，AO，則|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6－R，又|AB|＝6，且△ABC為等邊三角形，故|AM|＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，則R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，則R＝4，所以球的表面積S＝4πR2＝64π.答案：64π3．若一個底面邊長為eq\f(\r(3),2)，側(cè)棱長為eq\r(6)的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，求這個球的體積．解：如圖，O1O2＝eq\r(6)，OO1＝eq\f(\r(6),2)，AO1＝eq\f(\r(3),2)，所以AO＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3,2)，即R＝eq\f(3,2).所以V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9,2)π.4．(選做題)已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長為a，PB＝eq\r(3)a，PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，且PD是四棱錐的高．在四棱錐內(nèi)放入一球，求球的最大半徑．解：當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時，球的半徑最大，即球心到各面的距離均相等．設(shè)球的半徑為R，球心為S，如圖，連接SA，SB，SC，SD，SP.因為最大球與四棱錐各面都相切，所以三棱錐S-PAB，S-PBC，S-PCD，S-PAD與四棱錐S-ABCD的高都為R，且它們恰好組合成四棱錐P-ABCD．因為PD為四棱錐P-ABCD的高，PD＝AD＝BC＝a，四邊形ABCD為正方形，又PA＝PC＝eq\r(2)a，PB＝eq\r(3)a，所以PB2＝PA2＋AB2＝PC2＋BC2，所以△PAB，△PCB為直角三角形且全等．所以S△PAB＝S△PCB＝eq\f(1,2)·a·eq\r(2)a＝eq\f(\r(2),2)a2，S△PDA＝S△PDC＝eq\f(1,2)a2，S正方形ABCD＝a2，所以VP-ABCD＝eq\f(1,3)·a2·a＝eq\f(1,3)a3.VS-PAB＝VS-PBC＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(2),2)a2·R＝eq\f(\r(2),6)a2R，VS-PAD＝VS-PDC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·R＝eq\f(1,6)a2R，VS-ABCD＝eq\f(1,3)·a2·R＝eq\f(1,3)a2R，因為