2024年北京市高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

下載后可任意編輯絕密★啟封并使用完畢前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，則AB=（A）{x|–2x–1}（B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1}（D）{x|1x3}（2）若復(fù)數(shù)（1–i）(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）2（B）（C）（D）（4）若x，y滿足，則x+2y的最大值為（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函數(shù)，則 （A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（6）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（A）3（B）2（C）2（D）2（8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_______________.（10）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=–1，a4=b4=8，則=__________.（11）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為.（12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱。若，=.（13）能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù).若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為______________________________.（14）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)學(xué)科&網(wǎng)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3。①記Q1為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________。②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_________。三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在△ABC中，=60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面積.（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.(I)求證：M為PB的中點(diǎn)；(II)求二面角B-PD-A的大??；(III)求直線MC與平面BDP所成角的正炫值。（17）（本小題13分）為了討論一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組個(gè)50名，一組服藥，另一組不服藥。一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)xy和的學(xué)科.網(wǎng)數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“·”表示服藥者，“+”表示為服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A,B,C,D,四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試推斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）（18）（本小題14分）已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn)(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B，其中O為原點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).（19）（本小題13分）已知函數(shù)f(x)=excosx?x.（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.（20）（本小題13分）設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)，；或者存在正整數(shù)m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列．2024年北京高考數(shù)學(xué)（理科）參考答案與解析1．A【解析】集合與集合的公共部分為，故選A．2．B【解析】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，解得：故選B．3．C【解析】當(dāng)時(shí)，成立，進(jìn)入循環(huán)，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，成立，繼續(xù)循環(huán)，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，成立，繼續(xù)循環(huán)，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不成立，循環(huán)結(jié)束，輸出．故選C．4．D【解析】設(shè)，則，由下圖可行域分析可知，在處取得最大值，代入可得，故選D．5．A【解析】奇偶性：的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由可得為奇函數(shù)．單調(diào)性：函數(shù)是上的增函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的運(yùn)算，增函數(shù)減去減函數(shù)所得新函數(shù)是增函數(shù)，即是上的增函數(shù)．綜上選A6．A【解析】由于，是非零向量，“存在負(fù)數(shù)，使得．”根據(jù)向量共線基本定理可知與共線，由于，所以與方向相反，從而有，所以是充分條件。反之，若，與方向相反或夾角為鈍角時(shí)，與可能不共線，所以不是必要條件。綜上所述，可知”是“”的充分不必要條件，所以選A．7．B【解析】如下圖所示，在四棱錐中，最長(zhǎng)的棱為，所以，故選B．8．D【解析】由于，所以，故選D．9．【解析】∵雙曲線的離心率為∴∴∵，，∴10．【解析】∵是等差數(shù)列，，，∴公差∴∵為等比數(shù)列，，∴公比∴故11．1【解析】把圓改寫為直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)為，它是以為圓心，1為半徑的圓。畫出圖形，連結(jié)圓心與點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，此時(shí)取最小值，點(diǎn)坐標(biāo)為，．12．【解析】∵因?yàn)榻呛徒堑慕K邊關(guān)于軸對(duì)稱∴，∴13．，，【解析】由題意知，，均小于，所以找到任意一組負(fù)整數(shù)，滿足題意即可．14．①②【解析】①設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，其中．因此只需比較，，三個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小即可．②由題意，，，故只需比較三條直線，，的斜率即可．15．【解析】（1）由正弦定理得：（2）為銳角由得：又16．【解析】（1）取、交點(diǎn)為，連結(jié)．∵面面面面∴在中，為中點(diǎn)∴為中點(diǎn)（2）方法一：取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連結(jié)，∵，∴又面面面面∴面以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)可知，，，易知面的法向量為且，設(shè)面的法向量為可知∴由圖可知二面角的平面角為銳角∴二面角大小為方法二：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)∵平面，∴，∴平面，∴，∴即為二面角的平面角，可求得∴（3）方法一：點(diǎn)，∴由（2）題面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成角為∴方法二：記，取中點(diǎn)，連結(jié)，，取中點(diǎn)，連，易證點(diǎn)是中點(diǎn)，∴∵平面平面，，∴平面∴平面連結(jié)，，∴∵，，，由余弦定理知∴，∴設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又，求得記直線與平面所成角為∴17．【解析】（1）50名服藥者中指標(biāo)的值小于60的人有15人，故隨機(jī)抽取1人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為（2）的可能取值為：0，1，2，，012（3）從圖中服藥者和未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的離散程度觀察可知，服藥者的方差大。18．【解析】（1）由拋物線過點(diǎn)，代入原方程得，所以，原方程為．由此得拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．（2）法一：∵軸設(shè)，根據(jù)題意顯然有若要證為中點(diǎn)只需證即可，左右同除有即只需證明成立其中當(dāng)直線斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線斜率存在且不為零．設(shè)直線聯(lián)立有，考慮，由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以．由韋達(dá)定理可知：……①， ……②將①②代入上式，有即，所以恒成立∴為中點(diǎn)，得證．法二：當(dāng)直線斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線斜率存在且不為零．設(shè)為點(diǎn)，過的直線方程為，設(shè)，顯然，均不為零．聯(lián)立方程得，考慮，由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以．由韋達(dá)定理可知：……①， ……②由題可得橫坐標(biāo)相等且同為，且，在直線上，又在直線：上，所以，若要證明為中點(diǎn)，只需證，即證，即證，將代入上式，即證，即，將①②代入得，化簡(jiǎn)有恒成立，所以恒成立，所以為中點(diǎn)．19．【解析】（1）∵∴∴∴在處的切線方程為，即．（2）令∵時(shí)，∴在上單調(diào)遞減∴時(shí)，，即∴在上單調(diào)遞減∴時(shí)，有最大值；時(shí)，有最小值．20．【解析】（1）易知，，且，，．∴，，．下面我們證明，對(duì)且，都有．當(dāng)且時(shí)，∵且，∴．因此，對(duì)且，，則．又∵，故對(duì)均成立，從而為等差數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列與的公差分別為，，下面我們考慮的取值．對(duì)，，…，，考慮其中任意項(xiàng)（且），下面我們分，，三種情況進(jìn)行討論．（1）若，則①若，則則對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故為等差數(shù)列．②若，則則對(duì)于給定的正整數(shù)而言，．此時(shí)，故為等差數(shù)列．此時(shí)取，則是等差數(shù)列，命題成立．（2）若，則此時(shí)為一個(gè)關(guān)于的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)．故必存在，使得當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，（，）．因此，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，故從第項(xiàng)開始為等差數(shù)列，命題成立．（3）若，則此時(shí)為一個(gè)關(guān)于的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)．故必存在，使得當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，（，）因此，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)令，，下面證明對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．①若，則取（表示不大于的最大整數(shù)）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)命題成立．②若，則取當(dāng)時(shí)，．此時(shí)命題也成立．因此，對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．綜合以上三種情況，命題得證．個(gè)人工作業(yè)務(wù)總結(jié)本人于2024年7月進(jìn)入新疆中正鑫磊地礦技術(shù)服務(wù)有限公司(前身為“西安中正礦業(yè)信息咨詢有限公司”)，主要從事測(cè)量技術(shù)工作，至今已有三年。在這寶貴的三年時(shí)間里，我邊工作、邊學(xué)習(xí)測(cè)繪相專業(yè)書籍，遇到不懂得問題積極的請(qǐng)教工程師們，在他們耐心的教授和指導(dǎo)下，我的專業(yè)知識(shí)水平得到了很到的提高，并在實(shí)地測(cè)量工作中加以運(yùn)用、總結(jié)，不斷的提高自己的專業(yè)技術(shù)水平。同時(shí)積極的參加技術(shù)培訓(xùn)學(xué)習(xí)，加速自身知識(shí)的不斷更新和自身素養(yǎng)的提高。努力使自己成為一名合格的測(cè)繪技術(shù)人員。在這三年中，在公司各領(lǐng)導(dǎo)及同事的幫助帶領(lǐng)下，根據(jù)崗位職責(zé)要求和行為法律規(guī)范，努力做好本職工作，仔細(xì)完成了領(lǐng)導(dǎo)所交給的各項(xiàng)工作，在思想覺悟及工作能力方面有了很大的提高。

在思想上積極向上，能夠仔細(xì)貫徹黨的基本方針政策，積極學(xué)習(xí)政治理論，堅(jiān)持四項(xiàng)基本原則，遵紀(jì)守法，愛崗敬業(yè)，具有強(qiáng)烈的責(zé)任感和事業(yè)心。積極主動(dòng)學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)，工作態(tài)度端正，仔細(xì)負(fù)責(zé)，具有良好的思想政治素養(yǎng)、思想品質(zhì)和職業(yè)道德。

在工作態(tài)度方面，勤奮敬業(yè)，熱愛本職工作，能夠正確仔細(xì)的對(duì)待每一項(xiàng)工作，能夠主動(dòng)尋找自己的不足并及時(shí)學(xué)習(xí)補(bǔ)充，始終保持嚴(yán)謹(jǐn)仔細(xì)的工作態(tài)度和一絲不茍的工作作風(fēng)。

在公司領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)懷以及同事們的支持和幫助下，我迅速的完成了職業(yè)角色的轉(zhuǎn)變。一、回顧這四年來的職業(yè)生涯，我主要做了以下工作：1、參加了新疆庫車縣新疆庫車縣胡同布拉克石灰?guī)r礦的野外測(cè)繪和放線工作、點(diǎn)之記的編寫工作、1:2000地形地質(zhì)圖修測(cè)、1:1000勘探剖面測(cè)量、測(cè)繪內(nèi)業(yè)資料的編寫工作，提交成果《新疆庫車縣胡同布拉克石灰?guī)r礦普查報(bào)告》已通過評(píng)審。2、參加了庫車縣城北水廠建設(shè)項(xiàng)目用地壓覆礦產(chǎn)資源評(píng)估項(xiàng)目的室內(nèi)地質(zhì)資料編寫工作，提交成果為《庫車縣城北水廠建設(shè)項(xiàng)目用地壓覆礦產(chǎn)資源評(píng)估報(bào)告》，現(xiàn)已通過評(píng)審。3、參加了《新疆庫車縣巴西克其克鹽礦普查》項(xiàng)目的野外地質(zhì)勘查工作，參加項(xiàng)目包括：1:2000地質(zhì)測(cè)圖、1:1000勘查線剖面測(cè)量、測(cè)繪內(nèi)業(yè)資料的編寫工作；最終提交的《新疆庫車縣康村鹽礦普查報(bào)告》已通過評(píng)審。4、參加了新疆哈密市南坡子泉金礦2024年度礦山儲(chǔ)量監(jiān)測(cè)工作，項(xiàng)目包括：野外地質(zhì)測(cè)量與室內(nèi)地質(zhì)資料的編寫，提交成果為《新疆哈密市南坡子泉金礦2024年度礦山儲(chǔ)量年報(bào)》，現(xiàn)已通過評(píng)審。6、參加了《新疆博樂市五臺(tái)石灰?guī)r礦9號(hào)礦區(qū)勘探》項(xiàng)目的野外地質(zhì)勘查工作，項(xiàng)目包括：1:2000地質(zhì)測(cè)圖、1:1000勘探剖面測(cè)量、測(cè)繪內(nèi)業(yè)資料的編寫工作，并繪制相應(yīng)圖件。7、參加了《新疆博樂市托特克斜花崗巖礦詳查報(bào)告》項(xiàng)目的野外地質(zhì)勘查工作，項(xiàng)目包括：1:2000地質(zhì)測(cè)圖、1:1000勘探剖面測(cè)量、測(cè)繪內(nèi)業(yè)資料的編寫工作，并繪制相應(yīng)圖件。通過以上的這些工作，我學(xué)習(xí)并具備了以下工作能力：

1、通過實(shí)習(xí)，對(duì)測(cè)繪這門學(xué)科的討論內(nèi)容及實(shí)際意義有