四川省成都市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的特征可知，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)需要把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知,所以,且拋物線開口向上，所以其準(zhǔn)線方程為:.故選:D3.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年12月成都市某區(qū)域一周指數(shù)按從小到大順序排列為：45，50，51，53，53，57，60，則這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是（）A.45 B.50 C.51 D.53【答案】B【解析】由這組數(shù)據(jù)共個(gè)，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)據(jù)，即：.故選：B4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；則，則，故兩圓外切.故選：C.5.已知雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的倍，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，橢圓焦點(diǎn)為，設(shè)該雙曲線方程為，半焦距為，則，，即，又，解得，，所以雙曲線方程.故選：A6.如圖，已知四面體的棱長都是2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗拿骟w的棱長都是2，所以，故選：B7.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù).事件“第一次得到的數(shù)字是2”；事件“第二次得到的數(shù)字是奇數(shù)”；事件“兩次得到數(shù)字的乘積是奇數(shù)”；事件“兩次得到數(shù)字的和是6”.則（）A.事件和事件對立 B.事件和事件互斥C.事件和事件相互獨(dú)立 D.【答案】D【解析】對于A，事件“第二次得到的數(shù)字是奇數(shù)”=“第二次得到的數(shù)字是1，3，5”，所以事件和事件互斥但不對立；對于B，事件發(fā)生時(shí)，即“第二次得到的數(shù)字是1，3，5”，若“兩次得到數(shù)字的和是6”也發(fā)生，則此時(shí)只需“第一次得到的數(shù)字是5，3，1”，即事件發(fā)生時(shí)，事件也有可能發(fā)生，故B錯(cuò)誤；對于C，由題意，“兩次得到數(shù)字的和是6”可能有：五種情況，即，而事件和事件同時(shí)發(fā)生即為一種情況，所以，但，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意，而事件和事件同時(shí)發(fā)生的概率，所以.故選：D.8.已知圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，由題意得⊥，⊥，且與全等，則四邊形的面積為，可得⊥，四邊形的面積為，故，其中，故，要想最小，只需最小，顯然當(dāng)⊥直線時(shí)，最小，最小值為，此時(shí).故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在男子跳水10米臺比賽中，某運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮出色.在他的第一跳中，10位裁判給出的分?jǐn)?shù)為：9.0，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，對該組數(shù)據(jù)下列說法正確的有（）A.眾數(shù)為10 B.平均數(shù)為9.5 C.極差為9 D.中位數(shù)為9.6【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，10出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為10，A正確；B選項(xiàng)，平均數(shù)為，故平均數(shù)為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，極差為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，從小到大排列，第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，D正確.故選：AD10.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則下列說法正確的有（）A.過點(diǎn)且平行于的直線的方程為B.直線的方程為C.點(diǎn)的坐標(biāo)為D.邊的垂直平分線的方程為【答案】ABC【解析】對于A，設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線的方程為，則，解得，所以過點(diǎn)且平行于的直線的方程為，故A正確；對于B，由題意知，，∵，∴，所以直線的方程為，即，故B正確；對于C，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C正確；對于D，邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以邊的垂直平分線的斜率為，所以邊的垂直平分線的方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，下列說法正確的有（）A.若，則雙曲線的離心率為B.若雙曲線的漸近線方程為，則C.若雙曲線的焦距為為該雙曲線上一點(diǎn)，且，則D.若點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，且，則【答案】ABD【解析】對A：時(shí)，，所以，則，故A正確；對B：由，故B正確；對C：因?yàn)?，，所?又，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，由，故C錯(cuò)誤；對D：為雙曲線上一點(diǎn)，則，又，所以，所以.不妨設(shè)在第一象限，，（），且，所以，故D正確.故選：ABD12.如圖，在直四棱柱中，，，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且三點(diǎn)共線，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，下列說法中正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得平面與平面不垂直B.當(dāng)直四棱柱的體積最大時(shí)，直線與直線垂直C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該四棱柱所得的截面周長為D.當(dāng)時(shí)，過的平面截該四棱柱的外接球，所得截面面積的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)锳C為直徑，所以，又四棱柱為直四棱柱，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，因平面，又平面，所以平面平面，A錯(cuò)誤；對于B，由上可知，四邊形ABCD為矩形，易知，當(dāng)四邊形ABCD的面積S最大時(shí)，棱柱的體積最大，記，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)四邊形ABCD為正方形，，所以，此時(shí)四棱柱為正方體，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由四邊形為正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，B正確；對于C，由上可知，當(dāng)時(shí)，四棱柱為正方體，取的中點(diǎn)為P，易知，，又，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，所以四點(diǎn)共面，此時(shí)，，所以梯形的周長為，C正確；對于D，易知，正方體的外接球球心為正方體的中心，由對稱性可知，球心到M，N的距離相等，記過的截面小圓半徑為r，球的半徑為R，球心到截面距離為d，的中點(diǎn)為Q，則，故當(dāng)d取得最大值時(shí)，r取得最小值，由求得性質(zhì)可知，當(dāng)小圓圓心為的中點(diǎn)時(shí)d取最大值，易知，所以，所以，所以小圓面積為，D正確.故答案為：BCD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上13.某校高二年級選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”組合的學(xué)生人數(shù)分別為480，40，120和80，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中選出72人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為____________.【答案】8【解析】由題意，，設(shè)在“史政生”組合中應(yīng)選出的學(xué)生人數(shù)為，則根據(jù)按比例分配分層抽樣可得，解得.故“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：.14.如圖所示，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為____________.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以有，所以是直線與所成的角(或補(bǔ)角),因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以，顯然是圓錐的高，因此與底面垂直，在底面中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，于是，因?yàn)?，所以，故答案為?5.九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對應(yīng)著從1到9九個(gè)數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個(gè)數(shù)字的和（這個(gè)和叫做幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個(gè)頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機(jī)填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件”，則的值為____________.5【答案】【解析】由題意九宮格的中間位置填，位置填偶數(shù)，位置填奇數(shù)，因?yàn)槊恳粰M行，每一豎列以及兩條對角線上三個(gè)數(shù)字之和都等于，所以、位置填或，先從中任意選出一個(gè)數(shù)填入位置，則有個(gè)結(jié)果，若填，則填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；共包含個(gè)結(jié)果；所以總的結(jié)果個(gè)數(shù)為個(gè)其中符合的情況有，，，，，共個(gè)，所以.故答案為：.16.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)均在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記和的斜率分別為；與的面積分別為.若，則的最大值為____________.【答案】【解析】由橢圓的方程可得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第二象限，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得，解得（舍去），所以，因?yàn)楹偷男甭?，所以，則直線的方程為，代入橢圓方程得，解得（舍去），所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即的最大值為，由橢圓及直線的對稱性，滿足條件時(shí)的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為保障食品安全，某質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心從當(dāng)?shù)睾ｕr市場的10000條魚中隨機(jī)抽取了100條魚來測量其體內(nèi)汞的含量，測量指標(biāo)為：（單位：）.將所得數(shù)據(jù)分組后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該樣本的中位數(shù)；（2）已知當(dāng)魚體內(nèi)汞含量的測量指標(biāo)超過時(shí)，就不符合可食用標(biāo)準(zhǔn).用樣本估計(jì)總體，求這一批魚中約有多少條不符合可食用標(biāo)準(zhǔn).解：（1）由，解得.因?yàn)?，所以中位?shù)位于.所以中位數(shù)為：.（2）由題意，抽取的100條魚測量指標(biāo)超過的頻率為.由樣本的頻率分布，估計(jì)10000條魚中不符合可食用標(biāo)準(zhǔn)有（條）.所以用樣本估計(jì)總體，這一批魚中約有500條不符合可食用標(biāo)準(zhǔn).18.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓為的外接圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.解：（1）設(shè)的外接圓的方程為.均在圓上，解得，所以圓的方程為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知圓心，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，所以點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，兩邊同時(shí)平方得，解得或.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足條件.所以直線的方程為或.19.如圖，在三棱臺中，若面，，空間中兩點(diǎn)分別滿足.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1），，由向量共面的充要條件可知，向量共面，又平面，平面；（2）平面，平面..又因?yàn)?，所以兩兩互相垂?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.于是，則因?yàn)椋?取平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面法向量，平面與平面的夾角為，由，得，令，得，則..所以，平面與平面的夾角的余弦值為.20.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，求的方程.解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得：，將上式兩邊平方，并化簡，得，即.故點(diǎn)的軌跡方程為.（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，由題有，不合題意.當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，由，得，即，由消去，得化簡得，解得或（舍去）.解得.所以，直線的方程為或.21.某企業(yè)為了推動(dòng)技術(shù)革新，計(jì)劃升級某電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品核心系統(tǒng)的某個(gè)部件由2個(gè)電子元件組成.如圖所示，部件是由元件A與元件組成的串聯(lián)電路，已知元件A正常工作的概率為，元件正常工作的概率為，且元件工作是相互獨(dú)立的.（1）求部件正常工作的概率；（2）為了促進(jìn)產(chǎn)業(yè)革新，該企業(yè)計(jì)劃在核心系統(tǒng)中新增兩個(gè)另一產(chǎn)地的電子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率為，且四個(gè)元件工作是相互獨(dú)立的.現(xiàn)設(shè)計(jì)以下三種方案：方案一：新增兩個(gè)元件都和元件并聯(lián)后，再與串聯(lián)；方案二：新增兩個(gè)元件都和元件并聯(lián)后，再與串聯(lián)；方案三：新增兩個(gè)元件，其中一個(gè)和元件并聯(lián)，另一個(gè)和元件并聯(lián)，再將兩者串聯(lián).則該公司應(yīng)選擇哪一個(gè)方案，可以使部件正常工作的概率達(dá)到最大？解：（1）記事件分別表示元件正常工作，則，事件表示正常工作，由元件工作是相互獨(dú)立的.則.（2）設(shè)方案一、二、三正常工作的概率分別為，設(shè)新增的兩個(gè)元件為元件，記事件分別表示新增的兩個(gè)元件正常工作，則.事件分別表示元件不正常工作，由于四個(gè)元件工作相互獨(dú)立，則.所以；同理得：；.又因?yàn)?，，所以選擇方案三可以使部件正常工作的概率最大.22.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)