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文檔簡介
四川省仁壽縣鏵強(qiáng)中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.2.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.273.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.24.設(shè)為虛數(shù)單位,為復(fù)數(shù),若為實(shí)數(shù),則()A. B. C. D.5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.6.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.40407.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預(yù)測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為)建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預(yù)測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.8.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.3209.拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是上一點(diǎn),,則()A. B. C. D.10.若集合,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心12.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時(shí),(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為,斜率為2的直線與的交點(diǎn)為,若,則直線的方程為___________.15.在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)16.“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的_______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用(1)在一次全民健身活動(dòng)中,四個(gè)籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費(fèi)用為元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式:,18.(12分)已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)是,,在橢圓上,且,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與直線平行,且與橢圓交于,兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:為定值.19.(12分)某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品,如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖:設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表:設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,對合格品進(jìn)行等級細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品,每件售價(jià)240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品,每件售價(jià)180元;其他的合格品定為三等品,每件售價(jià)120元,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點(diǎn),將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,且,,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對于任意,有,求實(shí)數(shù)的值.22.(10分)已知橢圓的離心率為是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn),直線的斜率為1.(1)求橢圓的方程;(1)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,是否存在直線使得?若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先求出集合N的補(bǔ)集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
可設(shè),將化簡,得到,由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),可得,解方程即可求解【詳解】設(shè),則.由題意有,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運(yùn)算,由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù),屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.6、D【解析】
計(jì)算,代入等式,根據(jù)化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.7、D【解析】
根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除,由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng),由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于選項(xiàng),投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對于選項(xiàng),令代入回歸直線方程得億元,故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測的方法,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
首先把看作為一個(gè)整體,進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)拋物線定義得,即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關(guān)系,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
解出,計(jì)算并化簡可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.12、A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時(shí),.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè)直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線.由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.
由可得,
則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.15、【解析】
首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生,故選派的方法為:.故答案為.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).16、必要不充分【解析】
先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件,然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1:與直線l2:平行”等價(jià)于a=±2,故“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,12.5(2)①②20【解析】
(1)運(yùn)用分層抽樣,結(jié)合總場次為100,可求得的值,再運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式可求解果;(2)①由公式可計(jì)算的值,進(jìn)而可求與的回歸直線方程;②求出,再對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合單調(diào)性,可估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值.【詳解】解:(1)抽樣比為,所以分別是,6,7,8,5所以兩數(shù)之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列為期望為(2)因?yàn)樗裕?,;②,設(shè),所以當(dāng)遞增,當(dāng)遞減所以約惠值最大值時(shí)的值為20【點(diǎn)睛】本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用,涉及求概率,平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問題,關(guān)鍵是要讀懂題意,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義可得,將代入橢圓方程,即可求得的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程,代入橢圓方程,求得直線和的方程,求得和的橫坐標(biāo),表示出,根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】(1)因?yàn)椋蓹E圓的定義得,,點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程,解得,所以的方程為;(2)證明:設(shè),,直線的斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,消去,整理得,所以,,直線的直線方程為,令,則,同理,所以:,代入整理得,所以為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓中的定值問題,屬于中檔題.19、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)由頻率分布直方圖中所有頻率(小矩形面積)之和為1可計(jì)算出值;(2)由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.,選2件產(chǎn)品,支付的費(fèi)用的所有取值為240,300,360,420,480,由相互獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算出概率,得概率分布列,由公式計(jì)算出期望.【詳解】解:(1)據(jù)題意,得所以(2)據(jù)表1分析知,從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分別為.隨機(jī)變量的所有取值為240,300,360,420,480.隨機(jī)變量的分布列為240300360420480所以(元)【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖,頻數(shù)分布表,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,解題時(shí)掌握性質(zhì):頻率分布直方圖中所有頻率和為1.本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由折疊過程知與平面垂直,得,再取中點(diǎn),可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點(diǎn),以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出線段長,得出各點(diǎn)坐標(biāo),用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點(diǎn),連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點(diǎn),令,則,由,,∴,解得,故.以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
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