2025屆河南省漯河市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆河南省漯河市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓，直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．4．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．5．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．6．在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形8．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．9．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．10．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，（為實(shí)數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．12．祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是說(shuō)：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則_____.14．展開(kāi)式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.15．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為_(kāi)___，的最大值為_(kāi)________16．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值18．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過(guò)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）若的斜率為2，求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）求的值.21．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng).（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿(mǎn)足的最小正整數(shù)的值.22．（10分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點(diǎn)，.（1）求線段的長(zhǎng).（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出，判斷出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式，化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn)，所以.直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.2、A【解析】

由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問(wèn)題，一般求橢圓離心率的問(wèn)題時(shí)，通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式，本題是一道容易題.3、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．4、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.5、A【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】，，，因此，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過(guò)直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2，對(duì)于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對(duì)于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點(diǎn)，所以，②正確；對(duì)于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．7、B【解析】

化簡(jiǎn)得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結(jié)合0<A<π，可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-1<0，程序運(yùn)行結(jié)束，得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．10、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當(dāng)時(shí)，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11、D【解析】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)周期為，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)周期為，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)周期畫(huà)出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.12、A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個(gè)正放的正四面體，一個(gè)倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.14、70【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為：70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題。15、811【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，可行域?yàn)槿切?，且底邊長(zhǎng)，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)?，顯然直線過(guò)時(shí)，z最大，故.故答案為：；11.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎(chǔ)題.16、y=2x【解析】試題分析：當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；（2），分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，，作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因?yàn)?，，兩式相減得：，即，是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，∵∴，則，；（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)遞增，，所以實(shí)數(shù)的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．18、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似得，為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度偏難．19、（1）.（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值，從而得出的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，由圖，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴切線斜率，又切點(diǎn)∴切線方程為，即.（2），記，令得；∴的情況如下表：2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取極大值又時(shí)，；時(shí)，若沒(méi)有零點(diǎn)，即的圖像與直線無(wú)公共點(diǎn)，由圖像知的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.20、（1）：，：；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用，將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得的值.【詳解】（1）的直角坐標(biāo)方程為，即，則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為的傾斜角），代入曲線的普通方程，得.設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，所以，在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解析】

（1）由等差中項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出的取值范圍，進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)時(shí)，，整理可得，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整數(shù)的值為35.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了與的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時(shí)，常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列