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2025屆江蘇省南京市燕子磯中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?,若從圓:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.3.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③4.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.5.已知函數(shù)(,,),將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的部分圖象如圖所示,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1),則這個(gè)幾何體的體積是()A. B. C.16 D.327.已知,若對(duì)任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))至少有2個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.9.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)10.已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.11.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面12.在鈍角中,角所對(duì)的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_____,常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.14.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為_(kāi)_________.15.已知向量,,且,則________.16.已知,,,則的最小值是__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且.求直線的方程.18.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.19.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng).(1)證明:為等差數(shù)列,并求;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)的值.20.(12分)已知函數(shù),,且.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的減區(qū)間;(2)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是,試比較,與的大小,并說(shuō)明理由.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若恒成立,求整數(shù)的最大值;(2)求證:.22.(10分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
畫(huà)出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線性可行域的畫(huà)法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類(lèi)討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.3、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.一般地,經(jīng)過(guò)恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.4、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí),數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè),解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí),,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時(shí),作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.5、B【解析】
先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識(shí)得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.6、A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐,高為4,底面為一個(gè)等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為4,所以體積是,選A.7、B【解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和邏輯推理能力,難度較難.8、B【解析】
設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.9、B【解析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.10、D【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.設(shè)平面的法向量為,則取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以?xún)?nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類(lèi)的錯(cuò)誤.12、B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因?yàn)?,所以因?yàn)樗?,即,,時(shí)故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3-260【解析】
(1)令求得所有項(xiàng)的系數(shù)和;(2)先求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù),再求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】將代入,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.因?yàn)榈恼归_(kāi)式中含的項(xiàng)為,的展開(kāi)式中含常數(shù)項(xiàng),所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:3;-260【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊項(xiàng)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.15、【解析】
根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式,即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】,且,則,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標(biāo)表示,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、.【解析】
因?yàn)?,展開(kāi)后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),取等號(hào).故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)將消去參數(shù)t可得直線的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程.(2)利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線l的方程為:.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化,考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查分析能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.(2)由基本不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加,可得,即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題..19、(1)見(jiàn)解析,(2)最小正整數(shù)的值為35.【解析】
(1)由等差中項(xiàng)可知,當(dāng)時(shí),得,整理后可得,從而證明為等差數(shù)列,繼而可求.(2),則可求出,令,即可求出的取值范圍,進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析:(1)由題意可得,當(dāng)時(shí),,∴,,當(dāng)時(shí),,整理可得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整數(shù)的值為35.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng),考查了等差數(shù)列的定義,考查了與的關(guān)系,考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時(shí),常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí),一般借助數(shù)列,即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù).20、(1)(2)詳見(jiàn)解析(3)【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)因?yàn)?,所以,因?yàn)樗裕匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)?,,所以試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)法1:,,,所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;法2:,,是開(kāi)口向上的二次函數(shù),所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)?,,又在和增,在減,所以.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)減區(qū)間,二次函數(shù)與二次方程關(guān)系21、(1)整數(shù)的最大值為;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)將不等式變形為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并確定其最值,從而得到正整數(shù)的最大值;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到,利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】(1)由得,令,,令,對(duì)恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,,,故存在使得,即,從而當(dāng)時(shí),有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以,,,因此,整數(shù)的最大值為;(2)由(1)知恒成立,,令則,,,,,
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