信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)姜正濤定理1.13

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)姜正濤定理1.13定理1.13：歐拉定理歐拉定理是數(shù)論中的一個(gè)重要定理，它描述了模運(yùn)算的一些基本性質(zhì)。歐拉定理的表述如下：若a和n是正整數(shù)，且a與n互質(zhì)，則有a^φ(n)≡1(modn)，其中φ(n)表示小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，也稱為歐拉函數(shù)。歐拉定理的證明需要用到一些數(shù)論知識(shí)，下面我們將對(duì)歐拉定理進(jìn)行詳細(xì)的解釋和證明。首先，我們需要了解一些基本的數(shù)論概念和符號(hào)。在數(shù)論中，我們通常用“a≡b(modn)”表示a與b在模n意義下同余，即a-b能夠被n整除。例如，2≡8(mod3)，因?yàn)?-8=-6能夠被3整除。另外，我們還需要了解歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)。歐拉函數(shù)φ(n)表示小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)。例如，φ(6)=2，因?yàn)樾∮?的正整數(shù)中與6互質(zhì)的數(shù)只有1和5。歐拉函數(shù)有以下性質(zhì)：1.若p是質(zhì)數(shù)，則φ(p)=p-1。2.若p和q是不同的質(zhì)數(shù)，則φ(pq)=(p-1)(q-1)。3.若n可以分解為n=p1^k1*p2^k2*...*pm^km的形式，則φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm)。接下來(lái)，我們來(lái)證明歐拉定理。首先，我們需要證明一個(gè)引理：引理1：若a和n是正整數(shù)，且a與n互質(zhì)，則a^φ(n)≡1(modn)。證明：我們可以將小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)分為若干個(gè)互不相交的集合，每個(gè)集合中的數(shù)與a的乘積在模n意義下都相等。具體地，我們可以將小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)分為以下幾個(gè)集合：1.{1,a,a^2,...,a^(k-1)}，其中k是小于n的最小正整數(shù)，使得a^k≡1(modn)。2.{a^k,a^(2k),...,a^((t-1)k)}，其中t是小于n的正整數(shù)，使得a^t≡1(modn)，且k是小于t的最小正整數(shù)，使得a^k≡1(modn)。3.{a^((t-1)k+j)}，其中j=0,1,...,k-1，t是小于n的正整數(shù)，使得a^t≡1(modn)，且k是小于t的最小正整數(shù)，使得a^k≡1(modn)。顯然，這些集合互不相交，且它們的并集包含了小于n的所有與n互質(zhì)的正整數(shù)。因此，我們有：a^φ(n)≡a^{1,a,a^2,...,a^(k-1)}*a^{a^k,a^(2k),...,a^((t-1)k)}*a^{a^((t-1)k+j)}(modn)由于a與n互質(zhì)，因此a^k≡1(modn)，且a^t≡1(modn)。因此，上式可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：a^φ(n)≡a^{1,a,a^2,...,a^(k-1)}*a^{a^k,a^(2k),...,a^((t-1)k)}*a^{a^((t-1)k+j)}≡1(modn)因此，引理1得證。接下來(lái)，我們來(lái)證明歐拉定理：定理1.13：若a和n是正整數(shù)，且a與n互質(zhì)，則有a^φ(n)≡1(modn)。證明：由于a與n互質(zhì)，因此n可以分解為n=p1^k1*p2^k2*...*pm^km的形式，其中p1,p2,...,pm是不同的質(zhì)數(shù)。根據(jù)歐拉函數(shù)的性質(zhì)3，我們有：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm)因此，我們有：a^φ(n)≡a^(n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm))(modn)由于a與n互質(zhì)，因此a也與p1,p2,...,pm互質(zhì)。根據(jù)歐拉函數(shù)的性質(zhì)2，我們有：a^φ(p1^k1)≡1(modp1^k1)a^φ(p2^k2)≡1(modp2^k2)...a^φ(pm^km)≡1(modpm^km)因此，我們有：a^φ(n)≡a^φ(p1^k1)*a^φ(p2^k2)*...*a^φ(pm^km)(modn)由于p1,p2,...,pm是不同的質(zhì)數(shù)，因此它們兩兩互質(zhì)。根據(jù)中國(guó)剩余定理，我們可以得到：a^φ(n)≡1(modn)因此，歐拉定理得證。歐拉