2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市阿魯科爾沁旗高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市阿魯科爾沁旗高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題1.若集合，則集合的真子集共有（）A.7個(gè) B.8個(gè) C.15個(gè) D.16個(gè)2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.3.若，是方程的兩根，則，的等差中項(xiàng)為（）A. B. C.1 D.4.若實(shí)數(shù)，，滿足，，則（）A. B. C. D.5用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，則該菜園面積的最大值為（）A. B. C. D.6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.7.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖像為（）A. B.C. D.8.設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在上（位于第一象限），且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題9.下列四個(gè)圖形各表示兩個(gè)變量，的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中表示是的函數(shù)關(guān)系的是（）A.B.C.D.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小值為6B.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為2D.若不等式的解集為，則11.定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為5D.三、填空題12.函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_____.13.若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是______.14.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，，，，且，的取值范圍是______.四、解答題15.（本題12分）已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.16.（本題12分）已知數(shù).（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）求在的最大值和最小值.17.（本題12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本題12分）如圖，在正四棱柱中，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的大小19.（本題17分）已知橢圓：的離心率，且點(diǎn)在橢圓上，直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：線段AB的中點(diǎn)在直線：上；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與直線：的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上.20.（本題12分）馬爾科夫鏈因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無(wú)關(guān).馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有，兩個(gè)盒子，各裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從，兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)紅球的概率為.（1）求，的值；（2）求的值（用表示）；（3）求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.

答案：題號(hào)12345678910答案CBCDADCCBCBD題號(hào)11答案AC8.【詳解】點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以線段MN，互相平分，故四邊形為平行四邊形，又，故，所以四邊形是矩形，故，其中，設(shè)，則，由，得，整理得，由于點(diǎn)在第一象限，所以，由，得，即，整理得，即，解得.10.BD【詳解】對(duì)于A，令，則，是對(duì)勾函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，，且，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，方程的兩個(gè)解是或，并且，由韋達(dá)定理：，，，，D正確；11.ABD【詳解】對(duì)于A，由于，令，則，，A正確；對(duì)于B，為偶函數(shù)，即，結(jié)合，得，即，故，故4為函數(shù)的周期，由時(shí)，得，故，B正確；對(duì)于C，由于，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又為偶函數(shù)，則的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合4為函數(shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖，設(shè)，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)在上本調(diào)遞增，結(jié)合，的圖象可知，二者有3個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為3，即函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為3，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故得，則；同理可證得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，由于在上單調(diào)遞增，故，12.13.由函數(shù)在為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足，解得，14.【詳解】作函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，方程有四個(gè)不同的解，，，，且，需滿足，則由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，，，則，，，而函數(shù)在遞減，上遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或4時(shí)，，故其取值范圍為.15.【詳解】（1）由題意得的定義域，且因?yàn)楹瘮?shù)在處取值得極值，所以解得此時(shí)，，令得或，令得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意所以.（2）由（1）得，，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極小值，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為16.（1），所以函數(shù)的最小正周期為.令，，解得，，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，，（2）當(dāng)時(shí)，，則，進(jìn)而可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值，時(shí)，即時(shí)，取最大值1.17.（1）解：根據(jù)題意，數(shù)列滿足，即，由等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，因?yàn)椋傻?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1），可得，.18.（1）因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以，而，即，又平面，平面，所以，，，平面ABE，所以平面ABE，又平面，故平面平面.（2）以為原點(diǎn)，AB，AD，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由（1）可得平面ABE，所以為平面ABE的一個(gè)法向量，正方形ABCD中，，正四棱柱中，平面，平面ABCD，則，，AC，平面ACE，平面ACE，所以為平面ACE的一個(gè)法向量，所以，結(jié)合圖形可得，二面角的大小為.19.【詳解】（1），又，，又，，，橢圓方程為；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，，又因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)，，故，，又，，，線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，線段AB的中點(diǎn)在直線：上；（3）由已知得：，，，，，，點(diǎn)在