2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?2x?3>0}，B={1,2,3,4}，則A∩B=A.{1,2} B.{1,2,3} C.{3,4} D.{4}2.已知(1+i)z=2+4i，則|z|=(

)A.10 B.2 C.10 3.已知a=log32，b=log43，c=0.51.2，比較A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c4.已知向量a=(2,1)，b=(1,?3)，(ka?bA.?94 B.94 C.5.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若1a1+A.78 B.74 C.76.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足?x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(xA.(0,4) B.(0,+∞) C.(3,4) D.(2,3)7.已知角α，β滿足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)A.13 B.17 C.18.已知x>0，y>0，且ex=xA.y>e2 B.y2>ex+2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且公差d≠0，A.a16=8

B.若S9=S10，則d=43

C.若d=?2，則Sn的最大值為S10.已知f(x)=2x3?3A.當(dāng)a=1時(shí)，若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,1)

B.當(dāng)a=1且x∈(0,π)時(shí)，f(sinx)<f(sin2x)

C.若f(x)滿足f(1?x)=2?f(x)，則a?2b=2

D.若f(x)存在極值點(diǎn)x011.設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)和g′(x)，滿足g(x)?f(1?x)=1，f′(x)=g′(x+3)，且g(x+1)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是(

)A.f(0)=0 B.g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.f(x)的一個(gè)周期是4 D.k=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列{an}滿足a3=5，a2n=2an+1，2an+113.函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f(4x?x2)14.若正實(shí)數(shù)a，b滿足a(lnb?lna+a)≥bea?1，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(b+c?a)(b+c+a)=bc.

(1)求A；

(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3，求16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+2x+(x?1)3.

(1)證明：曲線y=f(x)是中心對稱圖形；

(2)17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}，{bn}，an=(?1)n+2n，bn=an+1?λan(λ>0)，且18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x+1)e2?ax+1，g(x)=(x+1)axe2+(1?a)x+1.

(1)當(dāng)a<0時(shí)，討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)19.(本小題17分)

若存在常數(shù)k(k>0)，使得對定義域D內(nèi)的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)?f(x2)|≤k|x1?x2|成立，則稱函數(shù)f(x)在其定義域D上是“k?利普希茲條件函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)f(x)=1x是否是區(qū)間[1,+∞)上的“1?利普希茲條件函數(shù)”？并說明理由；

(2)已知函數(shù)f(x)=x3是區(qū)間[0,a](a>0)上的“答案和解析1.【正確答案】D

【分析】本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

先解一元二次不等式，確定集合A，再根據(jù)交集的定義求兩個(gè)集合的交集．

解：因?yàn)閤2?2x?3>0?(x?3)(x+1)>0?x>3或x<?1，

所以A=(?∞,?1)∪(3,+∞)，

又B={1,2,3,4}，所以A∩B={4}.

2.【正確答案】C

解：由1+i)z=2+4i，得z=2+4i1+i=(2+4i)(1?i)(1+i)(1?i)=3+i，

則|z|=3.【正確答案】D

【分析】本題主要考查數(shù)值大小的比較，是基礎(chǔ)題．

利用換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，再利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較a，c大小，即可求解．

解：a?b=ln2ln3?ln3ln4=ln2?ln4?(ln3)2ln3?ln4，

因?yàn)閘n2>0，ln4>0，

所以ln2+ln4>2ln2?ln4，4.【正確答案】B

解：a=(2,1)，b=(1,?3)，

則ka?b=(2k?1,k+3)，a+b=(3,?2)，

(ka?b)⊥(5.【正確答案】B

【分析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意可得1a1+1

解：∵{an}是等比數(shù)列，

∴1a1+1a3=a1+6.【正確答案】C

【分析】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的問題，屬于中檔題．

首先根據(jù)賦值法結(jié)合已知條件可將所求的不等式轉(zhuǎn)化為f(2x)>f(8(x?3），分析條件可知函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可解不等式．

解：由f(xy)=f(x)+f(y)，可知f(4)=f(2)+f(2)=23，得到f(2)=13，從而f(8)=1，

因此f(2x)?f(x?3)>1可變?yōu)閒(2x)>f(8)+f(x?3)，

即f(2x)>f(8(x?3），

因?yàn)槎x在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足?x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(x1)?f(x2)](x7.【正確答案】B

【分析】本題考查了正弦和角公式，考查了同角三角函數(shù)關(guān)系及正切和角公式，屬中檔題．

利用正弦和角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系得到2tan(α+β)=3tanα

解：因?yàn)閟inβ=sin(α+β?α)=sin(α+β)cosα?cos(α+β)sinα，

又2sinβ=cos(α+β)sinα，

所以2sin(α+β)cosα?2cos(α+β)sinα=cos(α+β)sinα，

8.【正確答案】B

【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬于較難題．

對于選項(xiàng)A，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex?x2(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A的正誤；對于選項(xiàng)B，將不等式y(tǒng)2>ex+2等價(jià)于ex?x2?x2?1>0，構(gòu)造函數(shù)?(x)=ex?x2

解：對于選項(xiàng)A，因?yàn)閑x=x2+lny，

所以lny=ex?x2，

令f(x)=ex?x2(x>0)，則f′(x)=ex?2x，

令g(x)=f′(x)，則g′(x)=ex?2，

當(dāng)0<x<ln2時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>ln2時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

故f′(x)min=f′(ln2)=eln2?2ln2=2?ln4>0，即f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)>f(0)=1，

所以lny>1，即y>e，故A不正確；

對于選項(xiàng)B，不等式y(tǒng)2>ex+2等價(jià)于2lny>x+2，即lny>x2+1，

即ex?x2>x2+1，即ex?x2?x2?1>0.

令?(x)=ex?x2?x2?1>09.【正確答案】ABD

解：由2a15+a18=24可得2(a1+14d)+a1+17d=24，故a1+15d=8，所以a16=8，故A正確，

由S9=S10可得a10=0=a16?6d，故d=43，故B正確，

若d=?2，則a20=a16+4d=0，且{an}單調(diào)遞減，故Sn的最大值為10.【正確答案】ABD

A.a=1時(shí)，f′(x)=6x2?6x=6x(x?1)，f(x)在(?∞,0)遞增，(0,1)遞減，(1,+∞)遞增，

∴{B.由(1)知：f(x)在(0,1)遞減，當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，0<sin2x<C.因?yàn)閒(1?x)=2?f(x)，所以f(x)關(guān)于(12,1)對稱，則f(12D.由題意知：f′(x0)=6x02?6x0+1?a=0，①

又由f(x0)=f(x11.【正確答案】BCD

【分析】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性，周期函數(shù)，函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．

利用抽象函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算判斷函數(shù)g′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，從而可得g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，所以g(x)是周期函數(shù)，4是一個(gè)周期，可判斷A、B、C項(xiàng)；因?yàn)間(1)=g(3)=0，且g(2)=?g(0)，所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，所以k=12025g(k)=506×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=g(1)=0

解：因?yàn)間(x+1)為奇函數(shù)，所以g(x+1)=?g(?x+1)，

所以g(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱，

g(x+1)=?g(?x+1)兩邊求導(dǎo)得：g′(x+1)=g′(?x+1)，

所以g′(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，

因?yàn)間(x)?f(1?x)=1，所以g′(x)+f′(1?x)=0；

所以g′(1?x)+f′(x)=0，又f′(x)=g′(x+3)，所以g′(1?x)+g′(x+3)=0，

所以函數(shù)g′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱；

所以g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，故B正確；

所以g(x+2)=g(2?x)，即g(?x+1)=g(x+3)，

又g(x+1)=?g(?x+1)，所以g(x+1)=?g(x+3)，即g(x)=?g(x+2)，

所以g(x)=g(x+4)，所以g(x)是周期函數(shù)，且4是一個(gè)周期，

又因?yàn)間(x)?f(1?x)=1，所以f(x)=g(1?x)?1，

所以f(x)是周期函數(shù)，且4是一個(gè)周期，故C正確；

因?yàn)間(x+1)為奇函數(shù)，所以g(x)過(1,0)，所以g(1)=0，

令x=0，代入f(x)=g(1?x)?1，可得f(0)=g(1)?1=?1，故A錯(cuò)誤；

令x=0代入g(?x+1)=g(x+3)，可得g(1)=g(3)=0，

令x=1，代入g(x+1)=?g(?x+1)，可得g(2)=?g(0)，

又因?yàn)間(x)的周期為4，所以g(0)=g(4)，所以g(2)+g(4)=0，

所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，

所以k=12025g(k)=506×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=g(506×4+1)=g(1)=0，故D正確．12.【正確答案】n2【分析】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)題意2an+1=an+a

解：由2an+1=an+an+2，所以an+1?an=an+2?an+1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，

并設(shè)其公差為d，首項(xiàng)為a1，又因?yàn)?3.【正確答案】(0,2)

【分析】本題考查反函數(shù)的求法及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目．

欲求函數(shù)y=f(4x?x2)的遞增區(qū)間，可先函數(shù)y=f(x)的解析式，由已知得y=f(x)的圖象與y=2x

解：先求y=2x的反函數(shù)，為y=log2x，

∴f(x)=log2x，f(4x?x2)=log2(4x?x2).

令u=4x?x2，則u>014.【正確答案】e4【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

由不等式a(lnb?lna+a)≥bea?1變形為ln(baea?1

解：因?yàn)閍(lnb?lna+a)≥bea?1，

所以lnb?lna+a≥baea?1，

所以lnba+lnea?1+1≥baea?1，即ln(baea?1)?baea?1+1≥0，

令t=baea?1，則有l(wèi)nt?t+1≥0(t>0)，

設(shè)f(t)=lnt?t+1，

只需證明f(t)min≥0，

f′(t)=1t?1，

令f′(t)=0得t=1，

所以當(dāng)0<t<1時(shí)，f′(t)>0，f(t)單調(diào)遞增，

當(dāng)t>1時(shí)，f′(t)<0，f(t)單調(diào)遞減，

所以f(t)max=f(1)=0，即lnt?t+1≤0，

又因?yàn)閘nt?t+1≥0，

所以lnt?t+1=0，當(dāng)且僅當(dāng)t=115.【正確答案】(1)

b+c?ab+c+a=(b+c)2?a2=b2+2bc+c2?a(2)法①：如圖在

△ACD

中，由余弦定理C=3+16?23×4×在

△ACD

中由正弦定理

CDsin∠DAC=ADsinC

，因?yàn)?/p>

0<C<π3

，故

在

△ABC

中

sinB=法②：同解法①

CD=7

，在

△ACD

中由正弦定理

即

712又因?yàn)?/p>

∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2

，即

cosB+法③同上

CD=7

，在直角

△ABD

中

BD=由(1)問知

a2=b2+c2+bc

，所以

c2+3+72法④如圖由(1)知

A=2π3

，則

因?yàn)?/p>

S△ABC12×4csin2π3=12×3c+1在

△ABC

中，由正弦定理

asinA=bsinB

，即

本題考查利用正、余弦定理解三角形，屬于中檔題.

(1)整理等式后利用余弦定理求出cosA，得出A；

(2)法①：利用正余弦定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行求解即可；法②：同解法①

CD=716.【正確答案】解：(1)證明：函數(shù)f(x)=lnx2?x+2x+(x?1)3，定義域?yàn)?0,2)，

f(x)+f(2?x)=lnx2?x+2x+(x?1)3+ln2?xx+2(2?x)+(1?x)3

=lnx2?x?2?xx+[2x+2(2?x)]+[(x?1)3+(1?x)3]

=0+4+0=4，

所以曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱．

(2)f′(x)=1x+12?x+2+3(x?1)2=2x(2?x)+2+3(x?1)2，

因?yàn)閤∈(0,2)，2x(2?x)>0，所以f′(x)=2x(2?x)+2+3(x?1)2>0，

所以f(x)在定義域(0,2)上單調(diào)遞增．

(方法一)(1)由函數(shù)f(x)的定義域(0,2)，計(jì)算f(x)+f(2?x)的值判斷對稱中心；

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)對稱性列不等式求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17.【正確答案】解：(1)由an=(?1)n+2n，bn=an+1?λan(λ>0)，可得b1=a2?λa1=5?λ，

b2=a3?λa2=7?5λ，b3=a4?λa3=17?7λ，

由{bn}為等比數(shù)列，可得b22=b1b3，即(7?5λ)2=(5?λ)(17?7λ)，

本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

(1)求得b1，b2，b3，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得所求；

(2)求得bn，討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，求得18.【正確答案】解：(1)f′(x)=e2?ax?a(x+1)e2?ax=e2?ax(?ax?a+1)，

令f′(x)=0，得x=1?aa，

因?yàn)閍<0，

所以?a>0，1?aa<0，

所以在(?∞,1?aa)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

在(1?aa,+∞)時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間(1?aa,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)≥f(1?aa)=(1?aa+1)e2?a?1?aa+1=1ae1+a+1，

設(shè)?(a)=1ae1+a+1，a<0，

則?′(a)=?1a2e1+a+1ae1+a=e1+a?a?1a2，

因?yàn)閍<0，

所以?′(a)<0，

所以?(a)在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(?1)=0，

所以當(dāng)a<?1時(shí)，1ae1+a+1>0，則f(x)>0，無零點(diǎn)，

當(dāng)a=?1時(shí)，1ae1+a+1=0，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)?1<a<0時(shí)，1ae1+a+1<0，

又f(0)=e2+1>0，

當(dāng)x趨近于?∞時(shí)，f(x