北京市首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

北京市首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A． B．C． D．2．用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形3．下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（1）對(duì)于命題使得，則都有；（2）已知，則（3）已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．44．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．7．隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過(guò)天的月份有個(gè)B．第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.8．已知集合（），若集合，且對(duì)任意的，存在使得，其中，，則稱(chēng)集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．9．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”，為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的，村支書(shū)對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話，得到回復(fù)如下：小明說(shuō)：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說(shuō)：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說(shuō)：“興國(guó)之路”不是我制作的，若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明10．公元前世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí)，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米11．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．30二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出的值為_(kāi)_____.14．已知，則_____.15．設(shè)，則_____，（的值為_(kāi)_____．16．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.18．（12分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點(diǎn).求證：（1）EF//平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD．20．（12分）如圖，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成的角為.（1）求證：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.21．（12分）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.22．（10分）已知，函數(shù)有最小值7.（1）求的值；（2）設(shè)，，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸），設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2、C【解析】試題分析：畫(huà)出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫(huà)出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．3、C【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定．【詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題使得，則都有，是錯(cuò)誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對(duì)稱(chēng)軸的方程為，所以是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當(dāng)時(shí)，可得成立，當(dāng)時(shí)，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫(huà)出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值－5；經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．6、A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)?，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類(lèi)比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．8、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來(lái)，再一一論證.【詳解】依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說(shuō)法正確，則均不滿足；若小紅的說(shuō)法正確，則4滿足；若小金的說(shuō)法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類(lèi)討論思想，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，所以，解得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.11、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距最大，此時(shí)取最大值，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由知，展開(kāi)式中項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，解決這類(lèi)問(wèn)題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫(xiě)準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】

表示初值S=1,i=1，分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán)：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循環(huán)：S=5+5=10,i=5+2=7；S=10>9,循環(huán)結(jié)束，輸出：i=7.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查在程序語(yǔ)句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15、7201【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式可求出；令中的，得兩個(gè)式子，代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項(xiàng)式系數(shù)公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.16、.【解析】

當(dāng)q=1時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線普通方程：，曲線直角坐標(biāo)方程：；（2）.【解析】

（1）消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)即可得到其普通方程；將曲線極坐標(biāo)方程化為，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化原則可得其直角坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，利用韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】（1）由直線參數(shù)方程消去可得普通方程為：曲線極坐標(biāo)方程可化為：則曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即（2）將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理可得：設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為：，則，【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用；求解距離之和的關(guān)鍵是能夠明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，利用韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行求解.18、,；，證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中，的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，成立，②假設(shè)時(shí)，猜想成立即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜想成立由①②對(duì)成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，得到，從而證出平面；（2）先證平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，是棱的中點(diǎn)，底面是矩形，，且，又，分別是棱，的中點(diǎn)，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2），點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）要證明平面平面BDE，只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.【詳解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，設(shè)AC，BD交于O，取BE的中點(diǎn)G，連FG，OG，，，四邊形OCFG是平行四邊形，平面BDE∴平面BDE，又因平面BEF，∴平面平面BDE.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系∵BE與平面ABCD所成的角為，，，，，，.，設(shè)平面BEF的法向量為，，，設(shè)平面的法向