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文檔簡介
2025屆內(nèi)蒙古呼和浩特市第六中學高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內(nèi)所對應的點在虛軸上,則實數(shù)a為()A. B.2 C. D.2.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點,線段AB的中點為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.3.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.4.拋物線的焦點為,點是上一點,,則()A. B. C. D.5.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.在中,點D是線段BC上任意一點,,,則()A. B.-2 C. D.28.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.9.已知整數(shù)滿足,記點的坐標為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.10.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.中國鐵路總公司相關負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列12.在中,為中點,且,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米,用來做桶底和側面的材料每平方米的價格分別為30元和20元,那么圓桶造價最低為________元.14.記復數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)為,已知z=2+i,則_____.15.已知向量滿足,,則______________.16.設全集,,,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓于,兩點,直線,分別交直線于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標;若不是,請說明理由.18.(12分)從拋物線C:()外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB(切點分別為A、B),分別與x軸相交于C、D,若AB與y軸相交于點Q,點在拋物線C上,且(F為拋物線的焦點).(1)求拋物線C的方程;(2)①求證:四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形?若能,求出點Q的坐標;若不能,請說明理由.19.(12分)設函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關于x的方程有唯一的實數(shù)解,求a的取值范圍.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對角線交于點為棱的中點,.求證:(1)平面;(2)平面平面.21.(12分)已知函數(shù)(I)若討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若,且對于函數(shù)的圖象上兩點,存在,使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證:.22.(10分)如圖,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,若存在求出的長,若不存在說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由實部為求得值.【詳解】解:在復平面內(nèi)所對應的點在虛軸上,,即.故選D.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎題.2、C【解析】
設,,,,設直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達定理結合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系,考查了韋達定理的應用,屬于中檔題.3、A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)拋物線定義得,即可解得結果.【詳解】因為,所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎題.5、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點距離相等可得,,故是直角三角形,設,則有,又,所以,當且僅當時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎題6、D【解析】
根據(jù)對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結合的方式來進行求解.7、A【解析】
設,用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設由,,.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎題.8、D【解析】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結合圖中數(shù)據(jù),計算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可.9、D【解析】
列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù),所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點,滿足條件的整數(shù)點有共37個,滿足的整數(shù)點有7個,則所求概率為.故選:.【點睛】本題考查了古典概率的計算,意在考查學生的應用能力.10、C【解析】
化簡得到,,再計算復數(shù)模得到答案.【詳解】,故,故,.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡,共軛復數(shù),復數(shù)模,意在考查學生的計算能力.11、D【解析】
由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識,是基礎題12、B【解析】
選取向量,為基底,由向量線性運算,求出,即可求得結果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,平面向量基本定理,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設桶的底面半徑為,用表示出桶的總造價,利用基本不等式得出最小值.【詳解】設桶的底面半徑為,高為,則,故,圓通的造價為解法一:當且僅當,即時取等號.解法二:,則,令,即,解得,此函數(shù)在單調(diào)遞增;令,即,解得,此函數(shù)在上單調(diào)遞減;令,即,解得,即當時,圓桶的造價最低.所以故答案為:【點睛】本題考查了基本不等式的應用,注意驗證等號成立的條件,屬于基礎題.14、3﹣4i【解析】
計算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算,共軛復數(shù),意在考查學生的計算能力.15、1【解析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出,再根據(jù)計算可得;【詳解】解:因為,所以又所以所以故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算,屬于基礎題.16、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)是,定點坐標為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,聯(lián)立方程得到,,計算點的坐標為,點的坐標為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因為,所以,所以橢圓的方程為.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡得到,所以,,所以,,因為直線的斜率,所以直線的方程,所以點的坐標為,同理,點的坐標為,故以為直徑的圓的方程為,又因為,,所以圓的方程可化為,令,則有,所以定點坐標為或.【點睛】本題考查了橢圓方程,圓過定點問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、(1);(2)①證明見解析;②能,.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,求出,即可求拋物線C的方程;(2)①設,,寫出切線的方程,解方程組求出點的坐標.設點,直線AB的方程,代入拋物線方程,利用韋達定理得到點的坐標,寫出點的坐標,,可得線段相互平分,即證四邊形是平行四邊形;②若四邊形為矩形,則,求出,即得點Q的坐標.【詳解】(1)因為,所以,即拋物線C的方程是.(2)①證明:由得,.設,,則直線PA的方程為(?。?,則直線PB的方程為(ⅱ),由(?。┖停áⅲ┙獾茫?,,所以.設點,則直線AB的方程為.由得,則,,所以,所以線段PQ被x軸平分,即被線段CD平分.在①中,令解得,所以,同理得,所以線段CD的中點坐標為,即,又因為直線PQ的方程為,所以線段CD的中點在直線PQ上,即線段CD被線段PQ平分.因此,四邊形是平行四邊形.②由①知,四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形,則,即,解得,故當點Q為,即為拋物線的焦點時,四邊形是矩形.【點睛】本題考查拋物線的方程,考查直線和拋物線的位置關系,屬于難題.19、(1)當時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2)或.【解析】
(1)求出,對分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標準,若不恒成立,求解,即可得出結論;(2)有解,即,令,轉化求函數(shù)只有一個實數(shù)解,根據(jù)(1)中的結論,即可求解.【詳解】(1),當時,恒成立,當時,,綜上,當時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2),令,原方程只有一個解,只需只有一個解,即求只有一個零點時,的取值范圍,由(1)得當時,在單調(diào)遞增,且,函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當時,由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當時,,此時函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當且遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;,當,有兩個零點,即原方程有兩個解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用,涉及到單調(diào)性、零點、極值最值,考查分類討論和等價轉化思想,屬于中檔題.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)連結根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解:證明:連結是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解:在菱形中,且為的中點,,,平面平面,平面平面.【點睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎題.21、(1)見解析(2)見證明【解析】
(1)對函數(shù)求導,分別討論,以及,即可得出結果;(2)根據(jù)題意,由導數(shù)幾何意義得到,將證明轉化為證明即可,再令,設,用導數(shù)方法判斷出的單調(diào)性,進而可得出結論成立.【詳解】(1)解:易得,函數(shù)的定義域為,,令,得或.①當時,時,,函數(shù)單調(diào)遞減;時,,函數(shù)單調(diào)遞增.此時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.②當時,時,,函數(shù)單調(diào)遞減;或時,,函數(shù)單調(diào)遞增.此時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為,.③當時,時,,函數(shù)單調(diào)遞增;此時,的減區(qū)間為.綜上,當時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為:當時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.;當時,增區(qū)間為.(2)證明:由題意及導數(shù)的幾何意義,得由(1)中得.易知,導函數(shù)在上為增函數(shù),所以,要證,只要證,即,即證.因為,不妨令,則.所以,所以在上為增函數(shù),所以,即,所以,即,即.故有(得
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