專題02 高二上期末真題精-選（人教A版（2019）選擇性必修第一冊壓軸77題12個考點專練）（解析版）-25學年高二數(shù)學上學期期末考點大串講

專題02高二上期末真題精選（壓軸77題12個考點專練）空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題空間向量模最值（或范圍）問題線面角的最值問題二面角的最值問題線面角的探索性問題二面角的探索性問題橢圓中的離心率最值（或范圍）問題雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題圓錐曲線中面積定值問題圓錐曲線中面積最值（范圍）問題圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定直線問題考點01空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（共5小題）1．（23-24高三上·北京順義·期末）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】由已知可求得，建立空間坐標系，利用已知設，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式及輔助角公式計算即可得出結果.【詳解】平面，，連接，由，可得，四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，則，設，，則，所以因為，則，則，所以.故選：D2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內切球，點是內切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】多面體與球體內切外接問題、求空間向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)題意，取中點為，則，再結合向量的運算，代入計算，即可得到結果.【詳解】取中點為，因為，，所以，又，則，又正方體的棱長為2，則正方體的內切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當，反向時，，有最小值為；當，同向時，，有最大值為.故選：D.3．（21-22高二下·安徽安慶·期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用向量的線性運算及數(shù)量積公式，結合銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，，因為為的中點，所以,所以，當時，取最小值，此時取最大值，所以的最大值為4.故選:A.4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內動點滿足，則的最大值為.【答案】【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】利用空間向量的線性運算得到軌跡，再把目標式表示為函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性求解即可.【詳解】

設的中點為，因為動點滿足，所以，即點在以為球心，以為半徑的球面上.因為，所以.因為正四面體的棱長為4，所以，在三角形中，，.取的中點為，，所以在上的投影向量的模為，所以.設，夾角為，所以.因為，所以，即的最大值為.故答案為：5．（22-23高二上·廣東江門·期中）正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是．【答案】【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】建立空間直角坐標系，設，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．則，，，，．，，．點在線段上運動，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．考點02空間向量模最值（或范圍）問題（共4小題）1．（22-23高二下·四川達州·期末）已知棱長為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量的坐標表示、空間位置關系的向量證明、空間向量模長的坐標表示【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量結合線面平行求出的關系，再借助二次函數(shù)求出向量模的最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，于是，即有，向量是平面的一個法向量，，則，而，于是，因為平面，則，即，化簡得，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：C2．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【知識點】空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量模長的坐標表示【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B3．（22-23高一下·廣東云浮·期末）如圖，在正方體中，，E，M，N，P，Q分別為，，，，的中點，O為平面內的一個動點，則的最小值為.

【答案】【知識點】空間向量模長的坐標表示、證明線面垂直【分析】先根據(jù)線面垂直得出E關于面MNPQ的對稱點T，,再建系根據(jù)兩點間距離求解即可.【詳解】延長，與的延長線交于點，是正方形，，易得，又,平面,平面,所以平面，則平面，．E關于面MNPQ的對稱點T,易知，

以為坐標原點，DA，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．，E，P，分別為，的中點,，，則.故答案為:.4．（21-22高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，P為正方形（包括邊界）內一動點，當P為的中點時，與所成角的余弦值為；若，則的最大值為．【答案】3【知識點】空間向量模長的坐標表示、異面直線夾角的向量求法【分析】以D為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，當P為的中點時，利用向量法即可求解異面直線與所成角的余弦值；設，，由題意可得，令，，，根據(jù)兩點間的距離公式及三角函數(shù)的知識即可求解的最大值.【詳解】解：以D為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，．當P為的中點時，，因為，，所以，所以與BD所成角的余弦值為；設，，則，因為，所以，即，令，，，則，，因為，所以，因為，所以．故答案為：；3.考點03線面角的最值問題（共5小題）1．（21-22高一下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求線面角、線面角的向量求法【分析】利用坐標法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質及二次函數(shù)的性質即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，所以，，，設平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設直線與平面所成的角為，則，又，∴當時，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.2．（21-22高二上·遼寧·期末）如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（

）A．當x增大時，θ先增大后減小 B．當x增大時，θ先減小后增大C．當d增大時，θ先增大后減小 D．當d增大時，θ先減小后增大【答案】C【知識點】面面角的向量求法、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調性【分析】以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數(shù)的單調性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設，則對于給定的，為定值，此時設二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.3．（多選）（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知正方體的棱長為1，H為棱上的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．平面與平面的夾角為C．三棱錐的體積為定值D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】AC【知識點】空間位置關系的向量證明、錐體體積的有關計算、面面角的向量求法、線面角的向量求法【分析】以點A為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷ABD各選項的正誤，利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤.【詳解】以點A為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.則A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、D0,1,0、、、、，設點，其中.對于A選項，，，則，所以，A選項正確；對于B選項，設平面的法向量為m=x1,y1由，取，可得，則，設平面的法向量為n=x2,由，取，則，則，可得，所以，平面與平面的大小不是，B選項錯誤；對于C選項，，平面，平面，平面，到平面的距離等于點到平面的距離，而點到平面的距離為，即三棱錐的高為，因此，，C選項正確；對于D選項，平面，則為平面的一個法向量，且，又，，所以，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.4．（多選）（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖，正方體邊長為1，是線段的中點，是線段上的動點，下列結論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為【答案】ACD【知識點】線面角的向量求法、空間向量基本定理及其應用、異面直線夾角的向量求法、錐體體積的有關計算【分析】由空間向量的線性運算可判斷A；利用錐體的體積公式可判斷B；建立空間直角坐標系，利用向量法可判斷C,D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離即，，三棱錐的體積為，故B錯誤；對于C，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，,，設，則，設平面的法向量為，，，所以，即，令，則，則，，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，故C正確；對于D，，設直線與直線所成角為，因為，所以當時，，當時，，故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.5．（多選）（23-24高三上·山東淄博·期末）如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（

）A．多面體的外接球的表面積為B．的周長的最小值為C．線段長度的取值范圍為D．與平面所成的角的正弦值最大為【答案】AC【知識點】空間距離公式的應用、余弦定理解三角形、線面角的向量求法、多面體與球體內切外接問題【分析】根據(jù)題意將多面體放入正方體中，根據(jù)正方體外接球相關知識直接判斷A，根據(jù)圖形展開以及余弦定理判斷B，建立合適的空間直角坐標系，結合線段長度和線面角公式判斷C和D.【詳解】對于A，由題意可知，多面體可以放在如圖所示的正方體當中，

設中點為，則為多面體的外接球球心，所以多面體的外接球半徑為，則多面體的外接球的表面積為，故A正確.對于B，的周長為，將如下圖所示展開，當三點共線時，最小，

由，則，所以，所以，在中，由余弦定理得，，所以，則的周長最小為，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設，，則，故C正確.對于D，由，所以，設平面法向量，由，令，則，則與平面所成角的正弦值為，因為，所以，當，即時，取得與平面所成角的正弦值的最大值，故D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何的綜合應用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關的判定定理和性質定理直接求解；（2）空間向量法，運用空間向量進行基底轉化或者運用坐標法結合公式求解；（3）轉化法，通過轉化與化歸，將所求長度或角度轉化求解.考點04二面角的最值問題（共4小題）1．（多選）（23-24高二上·山東泰安·期末）如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若為的中點，則直線平面C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是D．直線與平面所成角的正弦的最大值為【答案】ACD【知識點】線面角的向量求法、異面直線夾角的向量求法、空間位置關系的向量證明、錐體體積的有關計算【分析】證明出平面，可知點到平面的距離等于點到平面的距離，利用錐體的體積公式可判斷A選項；以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，在正四棱柱中，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，為定值，A對；對于B選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、、，因為為的中點，則，則，，所以，，所以，與不垂直，故當為的中點時，直線與平面不垂直，B錯；對于C選項，，設，則，，所以，，因為，則，所以，，所以，，因此，異面直線與所成角的正弦值的范圍是，C對；對于D選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，此時，，，所以，，當且僅當時，等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.2．（22-23高三上·安徽·期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】二面角的概念及辨析、證明面面垂直、平行公理、面面角的向量求法【分析】(1)由條件證明，解三角形求即可；(2)建立空間直角坐標系，求平面PAD和平面PBC的法向量，結合向量夾角公式求平面PAD和平面PBC夾角余弦值，利用換元法和二次函數(shù)性質求其最小值.【詳解】（1）取PA的中點G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因為，所以為直角三角形，，在中，因為，所以，所以所以CE的長為；（2）在平面ABCD內過點A作BC的平行線，交CD的延長線于點M，如圖所示，則，，以點M為坐標原點，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，取AD的中點為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內過點P作，垂足為F，因為平面平面，所以平面，由已知可得，則，設．因為，所以，因為，，為線段的中點，所以，所以，所以，所以．設平面PAD的法向量，則令，則．設平面的法向量，因為，則令．則，所以為平面的一個法向量．設平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．【點睛】本題解決的關鍵在于根據(jù)二面角的平面角的定義確定二面角的平面角，結合所建坐標系確定點的坐標.3．（23-24高一下·天津南開·期末）如圖①所示，矩形中，，，點M是邊CD的中點，將沿AM翻折到，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐，N為PB中點．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線BC與平面所成角的大??；(3)設的大小為θ，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【知識點】面面垂直證線面垂直、證明線面平行、面面角的向量求法、線面角的向量求法【分析】（1）取中點，借助三角形中位線性質，結合平行公理，利用線面平行的判定推理即得.（2）借助面面垂直的性質，以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求出大小.（3）連接DG，過點D作平面ABCD，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，以及法向量，列出方程，即可得到結果.【詳解】（1）取中點，連接，由N為PB中點，得，依題意，，則，于是四邊形是平行四邊形，，而平面，平面，所以平面.（2）取中點，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線BC與平面所成的角為，則，所以直線BC與平面所成角的大小為.（3）連接，由，得，而，則為的平面角，即，過點作平面，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，顯然平面，平面，則平面平面，在平面內過作于點，則平面，設，而，則，，，即，，所以，于是，，設平面PAM的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，因為，，則，令，得，設平面和平面為，則令，，則，即，則當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．【點睛】方法點睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結合圖形得到二面角的大小；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角．4．（21-22高一下·山東青島·期末）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點為，求的長；(3)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】面面角的向量求法、平面的基本性質的有關計算、錐體體積的有關計算【分析】（1）作出輔助線，得到當平面⊥平面時，P點到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（2）作出輔助線，證明出四邊形CNQM為平行四邊形，從而得到；（3）作出輔助線，得到∠PGD為的平面角，即，建立空間直角坐標系，用含的關系式表達出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得到，結合的取值范圍求出余弦值的最小值【詳解】（1）取AM的中點G，連接PG，因為PA=PM，則PG⊥AM，當平面⊥平面時，P點到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時PG⊥平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為（2）取AP中點Q，連接NQ，MQ，則因為N為PB中點，所以NQ為△PAB的中位線，所以NQ∥AB且，因為M為CD的中點，四邊形ABCD為矩形，所以CM∥AB且，所以CM∥NQ且CM=NQ，故四邊形CNQM為平行四邊形，所以.（3）連接DG，因為DA=DM，所以DG⊥AM，所以∠PGD為的平面角，即，過點D作DZ⊥平面ABCD，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，過P作PH⊥DG于點H，由題意得PH⊥平面ABCM，設，因為，所以，所以，所以，所以，設平面PAM的法向量為，則，令，則，設平面PBC的法向量為，因為，則令，可得：，設兩平面夾角為，則令，，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為【點睛】求解二面角的大小或最值，利用空間向量求解，可以將幾何問題轉化為代數(shù)問題，簡潔明了，事半功倍.考點05線面角的探索性問題（共5小題）1．（22-23高一下·湖北武漢·期末）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，線段的長為1.【知識點】證明線面平行、由線面角的大小求長度、已知線面角求其他量【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，從而得到是的中位線，得到線線平行，證明出線面平行；（2）法一：作出輔助線，建立空間直角坐標系，寫出點到坐標，設出，，利用空間向量線面角的求解公式列出方程，求出答案；法二：作出輔助線，得到平面平面，得到直線與平面所成的角即為與平面所成的角，設，由三角形相似得到，表達出，，進而表達出或，故，從而列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）連接，與相交于點，連接，因為，為的中點，所以且，故四邊形為平行四邊形，故，又因為為的中點，所以是的中位線，故，因為平面，平面，所以平面；

（2）法一：存在，線段的長為1，理由如下：取的中點，連接，以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，連接，過點作⊥于點，因為，則，，因為與側棱所在直線所成的角為45°，所以，，所以，設，，，設平面的法向量為，則，令得，則，設直線與平面所成的角的大小為，則，解得或34（舍去），

故，線段的長為.法二：存在，線段的長為1，理由如下：連接，顯然過點，連接，過點，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，由（1）知：且，故四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，故直線與平面所成的角即為與平面所成的角，設，連接，因為垂直于上下底面，上、下底面均是正方形，所以⊥平面，故即為與平面所成的角，連接，過點作⊥于點，因為，則，，因為與側棱所在直線所成的角為45°，所以，，，解得，因為，所以，設，則，即，解得，故，過點作⊥于點，則或，故，由勾股定理得，即，解得，故線段的長為.

2．（22-23高三上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，其對角線與交于點，，.(1)證明：平面；(2)若，，為銳角三角形，點為的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、已知線面角求其他量、錐體體積的有關計算、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）首先根據(jù)垂直關系的轉化證明平面，再證明，根據(jù)線面垂直的判斷定理，即可證明；（2）首先根據(jù)（1）的結果，以點為原點，建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式，求點的坐標，再利用等體積轉化求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因為底面是菱形，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，與交于點，所以，且，平面，所以平面.（2）以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，設，則，，，，，，，，設平面的法向量為，即令，解得，.所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，解得或，所以或，因為為銳角三角形，所以，而，

.3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點G，其中．

(1)證明：平面平面ABCD；(2)判斷母線BC上是否存在點P，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，若存在，求CP的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)存在，.【知識點】證明面面垂直、已知線面角求其他量、證明線面垂直【分析】（1）將面面垂直轉化為平面，根據(jù)圓和圓柱的性質可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量可解.【詳解】（1）由題意可知：在下底面圓中，為直徑．因為，所以為弦的中點，且．因為平面．所以平面，因為平面．所以平面平面．（2）分別以下底面垂直于的直線、為軸，建立空間直角坐標系如圖所示．因為，底面圓半徑為3，所以．則，設．所以，設平面的一個法向量為．由得：即：令則．設直線與平面所成的角為，所以，解得，所以存在點，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，CP的長為4．

4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）如圖，三棱柱中，側面為菱形，為中點，且平面，，，，為平面上一動點．(1)若與平面成角的正切值為，求的最小值．(2)若點在線段上，平面與所成角的正弦值為，求的值．【答案】(1)(2)【知識點】線面垂直證明線線垂直、已知線面角求其他量、證明線面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）如圖過做于，過做于，根據(jù)線面垂直的性質和判定定理可得平面．結合三角函數(shù)求出OG，進而求出GM，BG，由即可求解；（2）建立如圖空間直角坐標系，設，則．利用空間向量法求線面角建立關于的方程，解之即可求解.【詳解】（1）如圖，過做于，過做于．又平面，平面，所以．又有，平面，，則平面．又因為平面，所以．而，平面，，則平面．由三角函數(shù)可得，，則，．由題可知，若與平面成角為，則，則．又，則．所以．（2）以為坐標原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，設，則．所以，，設平面的一個法向量為n=x,y,z，由，得，令y=-1，解得．設，令平面與成角為，則，解得．代入解得或（舍），所以．5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點.(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】線面垂直證明線線垂直、已知線面角求其他量、線面角的向量求法、點到平面距離的向量求法【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角，結合向量夾角公式，即可求解點坐標，進而根據(jù)點面距離的向量法即可求解.【詳解】（1）因為在正方形中，有，又底面，平面，所以，又，平面,所以平面，又平面，所以，又，點是棱的中點，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）如圖，以點為原點，以，，所在直線為，，軸，建系如圖，則,0,,,0,,,0,,，設點,3,，，所以，，，設平面的法向量，則，取，由于直線與平面所成角的正切值為，故直線與平面所成角的正弦值為所以直線與平面所成角的正弦值為：，化簡可得，即，所以或（舍，即點,3,，所以，，，所以點到平面的距離．考點06二面角的探索性問題（共5小題）1．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點．(1)求證：平面平面PBC；(2)設二面角的平面角為θ，當時，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【知識點】證明面面垂直、已知面面角求其他量、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用面面垂直的性質，線面垂直的性質判定、面面垂直的判定推理即得.（2）以D為原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法列式計算即得.【詳解】（1）由四邊形ABCD是正方形，得，而平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，則平面PCD，又平面PCD，于是，由，點為線段PC的中點，得，又平面PBC，因此平面PBC，而平面DEF，所以平面平面PBC.（2）由（1）知平面PCD，而，則平面PCD，在平面PCD內過D作交PC于點G，顯然直線DA，DC，DG兩兩垂直，以D為原點，直線DA，DC，DG分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由，，得，，設，則，設平面DEF的法向量為，則，令，得，而平面PCD的法向量為，則，而，解得，此時．2．（23-24高二下·云南臨滄·期末）如圖，在三棱錐中，，，點O是的中點，平面.(1)求；(2)點M在直線上，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1).(2)或【知識點】線面垂直證明線線垂直、已知面面角求其他量、錐體體積的有關計算【分析】（1）分別利用勾股定理得出，結合在直角中，，即可求解；（2）以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐的體積.【詳解】（1）因為，點O是的中點，所以，在直角中，，又平面，平面，所以，在直角中，，又因為，所以，在直角中，，所以，解得，所以.（2）如圖：以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，由題意平面的一個法向量為，設，則，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，因為二面角的正弦值為，所以，化簡得，解得或，當時，則，所以，所以，所以三棱錐的體積為；當時，則，所以，所以，所以三棱錐的體積為；所以三棱錐的體積為或.3．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，(1)求證：EF⊥平面PBC；(2)若，，二面角的正弦值為，求BC．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理證明平面，再證明，即可證明；（2）以為原點建立空間直角坐標系，分別求平面和的法向量，利用法向量夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為平面ABC，平面。所以，因為是的直徑，知，因為，且平面，所以平面，由分別是的中點，所以，所以平面．（2）以為原點，所在直線分別為x軸、軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，，且，所以，，易知平面的一個法向量，設平面的一個法向量，則則，即，∴，取，得，，則，因為二面角的正弦值為，則其余弦值為，所以，化簡得，又因為，所以，解得：，即，所以，即.4．（23-24高二下·云南大理·期末）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，分別是的中點，點為線段上一點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，試求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】空間位置關系的向量證明、已知面面角求其他量【分析】（1）比較好建系，可用相量法解題，只需要證明即可;（2）建立坐標系以后，寫出關鍵點坐標，取出平面的一個法向量，求出平面的一個法向量，運用余弦值為構造方程，解出即可.【詳解】（1）因為，則，即，如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，則，又因為，可得，所以.

（2）假設存在，易知平面的一個法向量為因為，設n=x,y,z是平面的一個法向量，則，令，可得，可得，則，化簡得，解得或，因為，可得.5．（23-24高二下·湖南長沙·期末）由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.(1)求證：平面；(2)若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面平行、面面角的向量求法、空間位置關系的向量證明、已知面面角求其他量【分析】（1）法一：將幾何體補成四棱柱，得到四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；法二：得到兩兩垂直，建立空間直角直角坐標系，得到平面的法向量，從而得到，得到結論；（2）設，作出輔助線，找到二面角的平面角為，根據(jù)正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面與平面夾角的余弦值，求出答案；【詳解】（1）法一：將幾何體補成四棱柱，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，故，，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平面.法二：∵四邊形是菱形，∴⊥，又平面，平面，∴，，故兩兩垂直，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，其中，則，設，由得，由得，則，設平面的法向量為，則，取，得，，又平面，平面.（2）設，取的中點，則，又四邊形是菱形，，因為平面，平面，所以，因為，平面，故面，因為平面，則，因為且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，又，故四邊形為平行四邊形，故，，故.所以為二面角的平面角.則，其中，故，故，設平面的法向量為，則取，得，，平面與平面夾角的余弦值為，平面與平面夾角為.考點07橢圓，雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題（共7小題）1．（23-24高三上·河北·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設出橢圓的長半軸長，雙曲線的實半軸長為，然后根據(jù)焦點三角形頂角的余弦定理求解出的關系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當且僅當，即時等號成立，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關計算，涉及到焦點三角形、基本不等式求最值等問題，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關鍵點有兩個：（1）運用兩個曲線的定義，找到離心率之間的關系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.2．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖，橢圓和有相同的焦點，離心率分別為為橢圓的上頂點，與橢圓交于點B，若，則的最小值為．【答案】【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)題意，由離心率的定義分別表示出，即可得到，結合三角恒等變換化簡，再由正弦型函數(shù)的值域，即可得到結果.【詳解】設，，則，又，則，，所以，所以，又，所以，所以，則，所以，則的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是引入角度，從而得到，再利用三角恒等變換和三角函數(shù)的值域求出其最值.3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為．【答案】【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)題意在軸右側要存在兩個點到的距離相等，不妨設軸上方橢圓上的點，由距離公式求出，然后轉化為二次函數(shù)問題，即只需對稱軸位于，從而可求解.【詳解】由題意知，在橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，由對稱性知，在直線右側要存在兩個點到的距離相等，不妨設軸上方橢圓上的點為，即，得，所以，，要滿足題意，由二次函數(shù)的對稱性可知需在內對于總能取到兩個不同的的值，即等價于二次函數(shù)對稱軸在的范圍內即可，所以，即，即，即，化簡得，即，即，解得，又因為，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題主要是設點并結合距離公式求出的表達式，再結合二次函數(shù)性質構建出關于系數(shù)的不等式，化簡為，從而可求解.4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖，在中，已知，其內切圓與AC邊相切于點D，且，延長BA到E，使，連接CE，設以E，C為焦點且經過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經過點A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．【答案】【知識點】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設M，G分別是BC，BE與圓的切點，，設，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，設，由余弦定理可得，，從而求解.【詳解】如圖，設M，G分別是BC，BE與圓的切點，由圓的切線性質知，，設，，，在中，，以E，C為焦點且經過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經過點A的雙曲線的離心率為，則，在中，設，，，，由余弦定理可知：從而得到，.由，，．【點睛】思路點睛：（1）充分利用所給圖形，有利于分析數(shù)量關系；（2）借助“換元”，有利于從“數(shù)”的角度求解最值問題.5．（23-24高二上·湖南·期末）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且為的內心，三點共線，且軸上點滿足，則的最小值為；的最小值為.【答案】/【知識點】基本不等式求和的最小值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、雙曲線定義的理解、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，進而根據(jù)余弦定理，結合離心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根據(jù)內心的性質，結合橢圓定義和雙曲線定義可得，，進而根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.【詳解】由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，不妨設點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：，由橢圓的定義：，可得：，又，由余弦定理得：，即整理得：，所以：；則，當且僅當時取等號.為的內心，所以為的角平分線，由于,則有，同理：，所以，所以，即，因為，所以，故，為的內心，三點共線，即為的角平分線，延長射線，連接，由點向作垂線，垂足分別為，，，即為的角平分線.，即為的角平分線，則有，又，所以，即，因為，所以，故，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：，【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構造關于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調性和基本不等式的作用.6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內部，橢圓上存在點使得成立，則橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【知識點】橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)在橢圓內部、橢圓的定義列不等式，化簡求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】點在橢圓的內部，則，.因為，當是的延長線與橢圓的交點時等號成立，由于橢圓上存在點使得成立，所以，綜上所述，離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】求解點和橢圓位置關系問題，如果點在橢圓上，則，如果在橢圓外，則，如果在橢圓內，則.要求橢圓的離心率的范圍，可以考慮直接求得的范圍，也可以先求的范圍，再轉化為的范圍.7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區(qū)間形式）．【答案】【知識點】由標準方程確定圓心和半徑、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】設P的坐標為，根據(jù)求出，故點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，分圓M與直線AB相切和兩種情況，求出離心率的取值范圍.【詳解】直線AB方程為，設點P的坐標為，，故，所以點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，①圓M與直線AB相切，則原點到直線的距離等于半徑，，即，，方程兩邊同除以得，，解得，故，②若，，解得，綜上，的取值范圍為．故答案為：.【點睛】橢圓離心率是最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).考點08圓錐曲線中面積定值問題（共9小題）1．（23-24高二下·河北·期末）已知點和點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點P的直線l交橢圓C于一點B，且的面積為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【知識點】根據(jù)橢圓過的點求標準方程、根據(jù)直線與橢圓的位置關系求參數(shù)或范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）代入兩點得到關于的方程，解出即可；（2）以為底，求出三角形的高，即點到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點坐標，則得到直線的方程；【詳解】（1）由題意可知，解得，橢圓的方程為.（2），則直線的方程為，即，，設點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設該平行線的方程為，則，解得或，當時，聯(lián)立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯(lián)立，得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或

2．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中的定值問題、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意，．在橢圓上下頂點，面積的最大值.求出，再求出，進而得到方程.（2）證明設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理計算，求得點到直線的距離，通過面積公式化簡計算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，．在橢圓上下頂點，面積的最大值.此時.所以，則求橢圓的方程.（2）如圖所示，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，.，，又，因為點到直線的距離，且，所以．綜上，的面積為定值．3．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知橢圓的離心率為，，，，，設P為橢圓C上一點的面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)當P在第三象限，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）根據(jù)離心率和三角形面積公式列方程求解即可；（2）設點Px0,y0，求出直線和的方程，求出點M和N的坐標，從而求得，即可證明四邊形【詳解】（1）依題意，所以，又最大值為，所以，所以，解得，，所以橢圓C的方程為；（2）設點Px0,y0，由題意，而，，所以直線，所以點，所以，又直線，所以點，所以，所以，所以是定值.

4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.(1)求直線的方程；(2)若直線與雙曲線交于另一點求的面積.【答案】(1)或(2)【知識點】過圓外一點的圓的切線方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、直線的點斜式方程及辨析、求直線與雙曲線的交點坐標【分析】（1）已知過A?2,0，討論直線斜率是否存在，斜率不存在時不符合題意，斜率存在時設直線的點斜式方程，由直線和圓相切得到圓心到直線的距離為半徑，解出的值即可得到直線方程；（2）若直線與雙曲線有兩個交點，則直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到點的縱坐標，由得到三角形的面積.【詳解】（1）由知左頂點A?2,0，當直線斜率不存在時與圓不想切不符合題意；當直線斜率存在時，設即，由與圓相切得，解得或，所以直線的方程為或.（2）由知，所以漸近線斜率為，若直線的斜率為，則與雙曲線只有點一個交點，不符合題意，舍去；若直線的方程為，與雙曲線有兩個交點，聯(lián)立消去并整理得，解得或，因為，所以，又因為，所以.5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的離心率為，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若為坐標原點，直線交雙曲線于兩點，求的面積．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、求雙曲線中的弦長【分析】（1）根據(jù)離心率設，求出，代入焦點到漸近線的距離計算進而可得，則雙曲線方程可求；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式，點到直線距離公式求解面積即可.【詳解】（1）由題意得：，令，則，又焦點到漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標準方程為；（2）設，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，，，所以，又原點到直線的距離，所以．6．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且的離心率為2，焦距為4．(1)求的方程；(2)直線過點且與交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求的方程．【答案】(1)(2)或．【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程【分析】（1）利用離心率求出雙曲線方程即可.（2）利用三角形的面積求出斜率，進而寫出方程即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以，故的方程為．（2）由（1）知，顯然直線的斜率不為0，設的方程為，

聯(lián)立方程組，消去得，則．設Ax1,所以．由，化簡得，解得（負值舍去），即，所以直線的方程為或．7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圓，動圓與圓內切，且與定直線相切，設動圓圓心的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于、兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【知識點】求平面軌跡方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問題【分析】（1）利用兩圓內切所滿足的條件列出等式即可；（2）首先設直線的方程，和拋物線聯(lián)立，，AB用弦長公式，則是點到直線的距離公式.【詳解】（1）如圖：設動點，顯然動圓的半徑要大于圓的半徑，兩圓內切，所以圓心距離，又因為動圓與直線相切，所以，所以，整理得，∴的方程為；（2）易知直線斜率不為0，故可設方程為，Ax1,y1聯(lián)立得：，，，，則原點到直線的距離，所以解得，所以直線的方程為8．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知點在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)48.【知識點】拋物線中的三角形或四邊形面積問題、拋物線中的定值問題、根據(jù)拋物線上的點求標準方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長【分析】（1）求出拋物線的方程，設出直線的方程，與的方程聯(lián)立，借助韋達定理及斜率坐標公式計算即得.（2）由（1）的結論求出，進而求出直線的方程，利用弦長公式及點到直線的距離公式求解即得.【詳解】（1）由點在拋物線上，得，拋物線，設直線的方程為，，顯然，由消去x得，，則且，，因此，所以為定值.（2）由，得，則，由（1）知，，，解得，直線的方程為，，而點到直線的距離，所以的面積.9．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C：（）與圓O的一個交點為．(1)求拋物線C及圓O的方程；(2)設直線l與圓O相切于點R，與拋物線C交于A，R兩點，求的面積．【答案】(1)，．(2)【知識點】根據(jù)拋物線上的點求標準方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、由圓心（或半徑）求圓的方程、過圓上一點的圓的切線方程【分析】（1）將代入拋物線和圓上，求出答案；（2）求出直線AR的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式求出，從而得到三角形面積.【詳解】（1）因為拋物線C與圓O的一個交點為，所以，所以，即拋物線C的方程為．設圓O的方程為，所以，所以，即圓O的方程為．（2）由題意得．因為AR是圓O的切線，所以OR⊥AR，所以．所以直線AR的方程為，即．由與聯(lián)立消去y得，則．設點A和點R的橫坐標分別為，．則，．所以．所以的面積．考點09圓錐曲線中面積最值（范圍）問題（共10小題）1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題【分析】（1）根據(jù)給定條件，結合離心率及四邊形面積列式求出，即可求出橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線l與橢圓的方程得到，再利用切割法得到，化簡得到，進而利用基本不等式求得面積的最大值.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，即，則，，由的左，右焦點與短軸的兩個端點構成的四邊形的面積為，得，即，解得，所以橢圓的方程為.（2）顯然，設，則，由消去得，，則，又，而與同號，因此，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關系求解作答.2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓的焦距為，且過點．(1)求的方程．(2)記和分別是橢圓的左、右焦點．設是橢圓上一個動點且縱坐標不為．直線交橢圓于點（異于），直線交橢圓于點（異于）．若的中點為，求三角形面積的最大值．【答案】(1)(2)【知識點】橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題、根據(jù)橢圓過的點求標準方程【分析】（1）根據(jù)焦距和橢圓所過點可構造方程求得結果；（2）設直線，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結論，結合中點坐標公式可整理得到，結合三角形面積公式和基本不等式可求得最值.【詳解】（1）橢圓的焦距，；橢圓過點，，又，（舍）或，，橢圓的方程為：.（2）由（1）知：F1?1,0，設，Ax1,y由題意可設直線，其中，，由得：，，；同理可得：；，，（當且僅當，即時取等號），面積的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的三角形面積最值的求解問題，解題關鍵是能夠將三角形面積表示為關于某一變量的函數(shù)，從而利用函數(shù)最值的求法或基本不等式求得結果.3．（22-23高三上·河南·期末）已知橢圓：的離心率為，直線過橢圓的左焦點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過點且與軸不重合的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）根據(jù)直線過橢圓的左焦點，求出，得到，由橢圓離心率公式得，從而求得橢圓方程；（2）設直線的方程為，設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元后利用韋達定理得到面積的表達式，再利用換元法和導數(shù)可求面積的取值范圍.【詳解】（1）因為直線過橢圓的左焦點，所以，，又因為橢圓的離心率為，由于，所以，則，所以橢圓的標準方程為.（2））因為直線過點，所以可設直線的方程為，設，聯(lián)立，消去整理得，，則，，，令，則，且，則，設，則，所以在上單調遞增，所以，則，所以，即面積的取值范圍為.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設，在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左焦點為，直線與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點.(1)求的取值范圍；(2)記的面積為的面積為，求取值范圍.【答案】(1).(2).【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)韋達定理求參數(shù)、根據(jù)直線與雙曲線的位置關系求參數(shù)或范圍【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，消去可得，進而利用韋達定理即可求解.（2）記的面積為，由面積為面積的兩倍可得，由直線與雙曲線的漸近線交于兩點，聯(lián)立方程組消去可得，而利用韋達定理和弦長公式求得值，最后利用的取值范圍求得取值范圍.【詳解】（1）由題設，聯(lián)立方程組，可得，消去可得.因為直線與雙曲線的右支交于兩點，所以滿足，解得或.故實數(shù)的取值范圍.（2）由題設可知，面積為面積的兩倍，記的面積為，所以.又因為和的高相同，所以.由直線與雙曲線的漸近線交于兩點，聯(lián)立方程組，可得，消去可得，而，則.由韋達定理可得，從而有，.由（1）問可知，，則，所以.5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的焦距為4，且過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，連接并延長交雙曲線的左支于點，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)12【知識點】根據(jù)雙曲線過的點求標準方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】（1）利用待定系數(shù)法及雙曲線的定義，結合雙曲線中三者的關系即可求解；（2）設直線方程為，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）法一：設雙曲線的標準方程為由題知：，故其左右焦點分別為，.由，解得.從而，雙曲線的標準方程為.法二：設雙曲線方程為，由題知：得到.又，得到.得到，解得（舍）或，雙曲線的標準方程為.（2）由題意，設作出圖形如圖所示，

顯然直線與軸不垂直，設，Ax1,y1聯(lián)立故，.由于，均在雙曲線右支上，故，即，解得.由雙曲線的對稱性知的中點為，故，代入韋達定理得令，則易知隨的增大而減小，當時，.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.6．（23-24高二上·重慶·期末）已知雙曲線的右焦點，漸近線方程．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A、B兩點，交y軸于點P，若，，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，若點Q是點P關于原點O的對稱點，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、雙曲線中的定值問題、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程、根據(jù)雙曲線的漸近線求標準方程【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程及求得，寫出雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線：與雙曲線方程得韋達定理，由，用表示，將韋達定理代入后計算為定值；（3）將表示為的函數(shù)，分析單調性求范圍.【詳解】（1）依題意，，漸近線方程．所以，又因為，解得：，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，雙曲線的漸近線方程為，依題意，直線的斜率存在，且，設直線的方程為：，由，消去并整理得：，設Ax1,y則，而點，則，因為，則有，即，同理，所以，為定值.（3）由（2）知，點，，，因為，令，而函數(shù)在上單調遞減，即，因此，所以.所以三角形的面積的取值范圍.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關系求解作答.7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知雙曲線，是雙曲線上一點．(1)若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，求橢圓的標準方程；(2)設是第一象限中雙曲線漸近線上一點，是雙曲線上一點，且，求的面積（為坐標原點）；【答案】(1)(2)【知識點】求雙曲線的頂點坐標、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、求橢圓的長軸、短軸【分析】（1）先由題意求得雙曲線的頂點坐標，由此求得，結合橢圓長軸長求得，從而得解；（2）先設出點坐標，然后表示出點坐標，將點坐標代入雙曲線可求坐標，計算出OP以及到的距離則可求；【詳解】（1）因為雙曲線的方程為，所以雙曲線的左右頂點為，設橢圓方程為，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）因為雙曲線的漸近線方程為，不妨設，又，即，所以，所以，又因為是雙曲線上一點，所以，解得，所以，所以，又到直線的距離，所以；【點睛】關鍵點睛：本題第2小問的解決關鍵是利用平向向量相等得到的坐標關于的表達式，再代入雙曲線方程求得，從而得解.8．（23-24高二上·浙江紹興·期末）拋物線C：，橢圓M：，．(1)若拋物線C與橢圓M無公共點，求實數(shù)r的取值范圍；(2)過拋物線上點作橢圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P，Q，當時，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)直線與橢圓的位置關系求參數(shù)或范圍、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、直線與拋物線交點相關問題【分析】（1）由拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，方程組無實解可得結論；（2）設直線AP和直線AQ得斜率為，，同時設切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后由判別式為0得關系（關于的方程），由韋達定理得，由直線與拋物線相交求得交點坐標，利用平面向量數(shù)量積的定義得出，由數(shù)量積坐標表示及韋達定理的結論，可把面積表示為的函數(shù)，再利用導數(shù)求得最小值．【詳解】（1）聯(lián)立得，，由題意上述方程無實根，所以，得，又，所以．（2）設l：，與橢圓聯(lián)立得由直線與橢圓相切得，即

設直線AP和直線AQ得斜率為，，則，

聯(lián)立，得，解得或，于是，所以，同理可得，令，，則，所以，令，，，設，，則，時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．

易知在即時，趨向于正無窮大，又，，故，所以．【點睛】關鍵點點睛：第一個難點是把三角形的面積用頂點坐標表示，利用三角形的面積公式和平面向量數(shù)量積的定義得出，從而把三角形面積用向量坐標表示，再轉化為用點的坐標表示，第二個難點是為了建立兩交點的坐標關系，首先設切線方程為，其與橢圓方程聯(lián)立后消元，由判別式得出關系（關于的方程），設直線AP和直線AQ得斜率為，，利用韋達定理得，由得直線方程后直線與拋物線相交求得交點坐標后，兩者結合可把三角形面積表示的函數(shù)，第三個難點是利用導數(shù)求得最小值．9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知拋物線C：的焦點F在x軸正半軸上，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點．已知當l的斜率為2時，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；(3)設G為直線與直線的交點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)過定點，定點為(3)8【知識點】拋物線中的三角形或四邊形面積問題、拋物線中的直線過定點問題、根據(jù)弦長求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)直線的斜率為2時列方程，得到即可得到拋物線方程；（2）分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與拋物線方程得到點，的坐標，從而得到直線的方程，即可得到直線過定點；（3）聯(lián)立直線與的方程得到，根據(jù)點，的坐標和不等式得到，通過分析、和三種情況得到，從而可得面積的最小值.【詳解】（1）

設Ax1,y1當直線的斜率為2時，直線的方程為，聯(lián)立得，則，，則，所以拋物線的解析式為.（2）由（1）得F1,0設直線的方程為，的方程為，設，，因為直線與直線垂直，所以，聯(lián)立得，則，，，，所以，同理可得當時，：，即，因為，所以直線的方程為，故當時，，此時過定點，當時，由得，此時直線的方程為，同樣經過點，所以直線過定點，該定點為.（3）由拋物線方程得，，則：，同理可得：，聯(lián)立得，即，由，同理，故，所以，過點作軸，交直線于點，則，由，，得，當且僅當時等號成立，下證，由拋物線的對稱性，不妨設，則，當時，有，則點在軸上方，點亦在軸上方，，直線過定點，所以此時，同理時，點在軸下方，點亦在軸下方，，故此時，當且僅當時，，，所以恒成立，且時等號成立，故，所以的面積最小值為8.【點睛】方法點睛：求定點問題常見的兩種方法：（1）從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點.10．（23-24高三上·山東日照·期末）已知橢圓，其上焦點與拋物線的焦點重合.若過點的直線交橢圓于點，同時交拋物線于點（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點下方）.(1)求拋物線的標準方程，并證明；(2)過點與直線垂直的直線交拋物線于點（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.【答案】(1)，證明見解析(2)【知識點】求直線與拋物線相交所得弦的弦長、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程、求橢圓中的弦長【分析】（1）利用焦點重合可計算出拋物線方程，設出直線分別聯(lián)立橢圓及拋物線,求出弦長,進行轉化即可證明；（2）當斜率存在時，由（1）的過程可易得，，表示出四邊形的面積，還需討論斜率不存在.【詳解】（1）設拋物線的方程為，由橢圓得：，則，故拋物線的焦點坐標為0,1，所以，所以拋物線的方程為易知過點的直線的斜率存在，故可設直線方程為，設，聯(lián)立，消去得：，則，所以.聯(lián)立，消去得：，則，則,又,，即.（2）設，當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為，則直線方程為，由（1）的過程可知：，由，以替換，可得，所以四邊形面積，因為，所以，所以當直線的斜率不存在時，聯(lián)立，解得,易得：，所以四邊形面積；綜上所述：，所以四邊形面積的最小值為.【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消元建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強化有關直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、四邊形的面積等問題．考點10圓錐曲線中的定點問題（共9小題）1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是橢圓C：的左、右焦點，點是C上一點，的中點在y軸上，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)已知過橢圓上一點的切線方程為.設動直線l：與橢圓C相切于點P，且與直線相交于點Q，求證：以PQ為直徑的圓與軸交于定點.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中的直線過定點問題、根據(jù)直線與橢圓的位置關系求參數(shù)或范圍【分析】（1）設，根據(jù)題意求得，結合橢圓的定義求得，進而得到橢圓的方程；（2）由過橢圓上一點的切線方程為，設動點，得到直線l的方程，令，求得Q，設定點為結合，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：設，由的中點在y軸上，且O為，的中點，可得軸，即，又由，可得，即，，所以，即，解得，則，所以橢圓C的方程為.（2）解：由（1）和題意，可得過橢圓上一點的切線方程為，因為點在橢圓，可設點，則直線l的方程為，即，令，則代入①，解得，所以Q坐標為，假設存在點，使得以為直徑的圓與軸交于定點，則，即，，于是整理得，由該方程對于任意的恒成立，可得，此時點，所以存在定點符合條件，使得以為直徑的圓與軸交于定點.【點睛】方法知識總結：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.3、若與面積有關的定值問題，一般用直接法求解，即先利用三角形的面積公式，（如果是其他的凸多邊形，可分割成若干個三角形分別求解），把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達式中的相關量之間的關系式，把這個關系式代入幾何圖形的面積表達式中，化簡即可求解.2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知橢圓：（）的一個頂點為，離心率為.(1)求的方程；(2)設，直線（且）與交于不同的兩點，，若直線與交于另一點，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】(1)；(2)過定點，定點坐標為.【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中的直線過定點問題、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程【分析】（1）首先得到，再根據(jù)離心率和關系即可得到方程組，解出即可；（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理式，計算直線的方程，令化解即可.【詳解】（1）由題意可得，，又由，得，所以的方程為.（2）顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，由消去整理得，，所以，直線的方程為，根據(jù)的對稱性可知，若直線恒過定點，則定點在軸上，令，解得所以直線過定點.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理式，再寫出直線的表達式，令計算為定值即可.3．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知橢圓：的離心率為，過右焦點的直線與相交于、兩點．當垂直于長軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上是否存在點，使得當繞點轉到某一位置時，四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中存在定點滿足某條件問題、根據(jù)離心率求橢圓的標準方程【分析】（1）根據(jù)通徑以及離心率公式即可列方程組求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理以及中點坐標公式，即可根據(jù)平行四邊形的性質求解.【詳解】（1）解：當垂直于長軸時，設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓可得，故由題意得解得橢圓的標準方程為：．（2）假設橢圓上是存在點，設為，使得四邊形為平行四邊形．,顯然當直線的斜率為0時不合題意，則設直線的方程為：，聯(lián)立與消去得，判別式，設Mx1,y1則則中點坐標為，中點坐標為，則,解得，代入橢圓方程化簡得，解得．此時，所以橢圓上是存在點，使得四邊形為平行四邊形．

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法，再將其橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理式，再求出中點坐標為，中點坐標為，最后得到方程組，解出即可.4．（23-24高二下·陜西延安·期末）已知雙曲線經過點．(1)求的離心率；(2)設直線經過的右焦點，且與交于不同的兩點，點N關于x軸的對稱點為點P，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】根據(jù)雙曲線過的點求標準方程、雙曲線中的直線過定點問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】（1）由兩點坐標代入待定系數(shù)求出雙曲線方程，進而得離心率；（2）設點的坐標，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結合韋達定理表示出，，坐標表示直線的方程，由對稱性知直線若過定點必在軸上，直線方程中令，代入韋達