大一-高等數(shù)學(xué)函數(shù)

廣義地說(shuō)，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué).另外，我們這里也把微積分稱為數(shù)學(xué)（B).什么是數(shù)學(xué)?微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就,對(duì)它的重要性無(wú)論做怎樣的估計(jì)都不會(huì)過(guò)分.2021/6/271初等數(shù)學(xué)研究的是常量，高等數(shù)學(xué)研究的是變量。高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)：高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。抽象性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點(diǎn)—有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用。嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無(wú)論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運(yùn)用邏輯的規(guī)則，遵循思維的規(guī)律。

初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)（廣義）的區(qū)別2021/6/272

另外，人類社會(huì)的進(jìn)步，與數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)的廣泛應(yīng)用是分不開(kāi)的。尤其是到了現(xiàn)代，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和普及使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域更加拓寬，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正成為科技發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，同時(shí)也廣泛和深入地滲透到了社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。因此，學(xué)好高等數(shù)學(xué)對(duì)我們來(lái)說(shuō)相當(dāng)重要。

所以說(shuō)，數(shù)學(xué)也是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是思維訓(xùn)練的過(guò)程。2021/6/273首先，理解概念。數(shù)學(xué)中有很多概念。概念反映的是事物的本質(zhì),弄清楚了它是如何定義的、有什么性質(zhì)，才能真正地理解一個(gè)概念。要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，至少要做到以下四點(diǎn):

其次，掌握定理。定理是一個(gè)正確的命題，分為條件和結(jié)論兩部分。對(duì)于定理除了要掌握它的條件和結(jié)論以外，還要搞清它的適用范圍，做到有的放矢。

2021/6/274第三,在弄懂例題的基礎(chǔ)上做適量的習(xí)題。要特別提醒的是，課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例題的特點(diǎn)和解法，在理解例題的基礎(chǔ)上做適量的習(xí)題。做題時(shí)要善于總結(jié)----不僅總結(jié)方法，也要總結(jié)錯(cuò)誤。這樣，做完之后才會(huì)有所收獲，才能舉一反三。2021/6/275第四，理清脈絡(luò)。對(duì)所學(xué)的知識(shí)要有一個(gè)整體的把握，及時(shí)總結(jié)知識(shí)體系，這樣不僅可以加深對(duì)知識(shí)的理解，還會(huì)對(duì)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)有所幫助。2021/6/276

微積分是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑

微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出的一整套科學(xué)方法，開(kāi)創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說(shuō):“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績(jī)，那就正是在這里?！?/p>

2021/6/2772021/6/278微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。函數(shù)是微積分研究的對(duì)象,所以我們的討論將從函數(shù)開(kāi)始。極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，一步就是要理解到“極限”引入的必要性：學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的極限思想貫穿整個(gè)微積分的始終，極限思想的把握關(guān)系到對(duì)微積分思想的確立，微積分理論的掌握和運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)思維的建立。2021/6/279函數(shù)第一章2021/6/2710第一節(jié)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)第二節(jié)初等函數(shù)第三節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)2021/6/2711若a屬于集合A的元素，則稱a屬于A，記作;否則稱a不屬于A,記作（或）。第一節(jié)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)含有限元素的集合稱為有限集，不含任何元素的集合稱為空集；用

表示空集。不是有限集也不是空集的集合稱為無(wú)限集。一.集合及其運(yùn)算集合：具有某種確定性質(zhì)的對(duì)象的全體，簡(jiǎn)稱集。集合的元素：組成集合的各個(gè)對(duì)象。用大寫(xiě)的英文字母A、B、C……表示集合，用小寫(xiě)的英文字母a、b、c……表示集合的元素。2021/6/2712

表示集合的方法:(1)列舉法將集合的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在一個(gè)花括號(hào)內(nèi)；(2)描述法在花括號(hào)內(nèi)指明集合元素所具有的性質(zhì)。

一般，用N表示自然數(shù)集，用Z表示整數(shù)集，用Q表示有理數(shù)集，用R表示實(shí)數(shù)集．2021/6/2713子集設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若A的每個(gè)元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記作AB(或B

A),讀作A包含于B包含（或B包含A

）.若A

B，且有元素a∈B

，但a

A，則說(shuō)A是B的真子集.規(guī)定:

A.相等若A

B

，且B

A，則稱A與B相等,記作A=B.2021/6/2714并集由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合稱為A與B的并集記作A∪B

，即

A∪B={x|x∈A或x∈B}交集由同時(shí)屬于A與B的元素組成的集稱為A與B的交集，記作A∩B

，即A∩B={x|x∈A且x∈B}差集由屬于A但不屬于B的元素組成的集稱為A與B的差集，記作A–B即2021/6/27152021/6/2716(1)A∪B=B∪A

，A∩B=B∩A

；(交換律)(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(結(jié)合律)(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，

(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)；

(分配律)(4)集合運(yùn)算的基本規(guī)律：2021/6/2717二.區(qū)間與鄰域

設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，將滿足不等式a<x<b的所有實(shí)數(shù)組成的數(shù)集稱為開(kāi)區(qū)間，記作(a,b)即

(a,b)={x|a<x<b},a和b稱為開(kāi)區(qū)間(a,b)的端點(diǎn),這里a

(a,b)且b

(a,b).數(shù)集[a,b]={x|a≤x≤b}為閉區(qū)間,a和b也稱為閉區(qū)間[a,b]的端點(diǎn),a∈[a,b]且b∈[a,b].數(shù)集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}為半開(kāi)半閉間.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間,數(shù)b-a稱為區(qū)間長(zhǎng)度.2021/6/2718無(wú)限區(qū)間2021/6/27192021/6/2720三.映射定義定義設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，若存在一個(gè)確定的規(guī)則f，使2021/6/27212021/6/27222021/6/27232021/6/2724數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域2021/6/2725約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.2021/6/2726要使數(shù)學(xué)式子有意義，x必須滿足因此函數(shù)的定義域?yàn)?1,2]．例1解2021/6/2727例2解故2021/6/2728函數(shù)的圖形:2021/6/27292021/6/27302021/6/2731例1設(shè)函數(shù),求f-1(x+1).令u=x+l則解2021/6/2732,,例2

求下列函數(shù)的反函數(shù)

f(x)=,當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，由y=得

x=當(dāng)時(shí)，由y=x2+1得x=．交換x,y的位置，得反函數(shù)，０≤y＜1．于是，有解2021/6/2733定義:七.復(fù)合函數(shù)2021/6/2734注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.2021/6/2735例

設(shè)f(x)＝，

(x)＝求復(fù)合函數(shù)f(

(x))和

(f(x))．f(

(x))＝．

(f(x))＝

解

2021/6/27362021/6/27372021/6/2738五.函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性定義3

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID,對(duì)于任意的x1，x2∈I，且

x1<x2，(1)若有f(x1)<f(x2),則稱f在D內(nèi)是單調(diào)增加的；(2)若有f(x1)>f(x2),則稱f在D內(nèi)是單調(diào)減少的；(3)若有f(x1)

f(x2),則稱f在D內(nèi)是不減的;(4)若有f(x1)

f(x2),則稱f在D內(nèi)是不增的.函數(shù)的單調(diào)增加和單調(diào)減少統(tǒng)稱為單調(diào),區(qū)間I稱為f的單調(diào)區(qū)間.注：I可以是開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間，也可以是半開(kāi)半閉區(qū)間.2021/6/27392021/6/27402.奇偶性奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱

定義4

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若x∈D,則-x∈D),對(duì)于任意的x∈D，(1)若有f(-x)=-f(x),則稱f為D內(nèi)的奇函數(shù)；(2)若有f(-x)=f(x)，則稱f為D內(nèi)的偶函數(shù)．2021/6/2741例討論函數(shù)的奇偶性.所以f(x)是（－∞,+∞）上的奇函數(shù).

函數(shù)f(x)的定義域（－∞,+∞）是對(duì)稱區(qū)間，解2021/6/27423.有界性定義5

設(shè)函數(shù)f的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID,如果存在正數(shù)M，使得對(duì)任意的x∈I，都有∣f(x)∣≤Ｍ成立,則稱f在I內(nèi)是有界的,否則稱f在I內(nèi)是無(wú)界的.2021/6/2743定義6

設(shè)函數(shù)f(x)在D內(nèi)有定義，若存在數(shù)M，使得對(duì)任意的x∈D，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立,則稱f(x)在D內(nèi)有上界(或有下界).2021/6/2744例如:函數(shù)y=sinx在其定義域(-∞,+∞)內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任一x∈(-∞,+∞)都有|sinx|≤1.函數(shù)在(0,1)內(nèi)無(wú)上界，但有下界．2021/6/2745

函數(shù)有界的幾何意義：設(shè)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有界，即存在M>0，使得對(duì)任意的x(a,b),有∣f(x)∣M,即-Mf(x)M.因此,y=f(x)在(a,b)內(nèi)有界在幾何上表示y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形必夾在兩平行于x軸的直線y=±M之間.反之亦然.

2021/6/27464.周期性例如,函數(shù)f(x)=sinx的周期為2

;f(x)=tanx的周期是

.顯然，若T為f的周期，則kT(k∈Z)都是f的周期．通常函數(shù)的周期是指它的最小正周期(如果存在的話)．

定義7

設(shè)函數(shù)f的定義域?yàn)镈,若存在常數(shù)T≠0,使得對(duì)任意的x∈D,有x±T∈D,且f(x+T)=f(x),則稱f為周期函數(shù),T稱為f的周期．2021/6/2747思考題1.2021/6/27482021/6/2749思考題解答設(shè)則故1.2021/6/27502、；

3、4、

5、[-1,1];[];,

.6.不存在反函數(shù).2021/6/2751第二節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)：定義域?yàn)?-

,+

).函數(shù)圖形為平行于x軸的直線.

y=C,其中C為常數(shù)2021/6/27522.冪函數(shù):定義域和值域因的取值不同而有所不同，但無(wú)論

為何值,函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)總是有定義的.2021/6/2753其定義域是(－∞,+∞),值域?yàn)閳D象通過(guò)點(diǎn)(0,1),且總在x軸上方.當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)是單調(diào)增加的；當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)是單調(diào)減少的．如圖示3.指數(shù)函數(shù):以常數(shù)e=2.71828182…為底的指數(shù)函數(shù)y=ex是科技中常用的指數(shù)函數(shù)．2021/6/27544.對(duì)數(shù)函數(shù):

對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),圖象過(guò)點(diǎn)(1,0).當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少．y=logax(a是常數(shù)且a>0,a≠1)并且由直接函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：2021/6/2755科學(xué)技術(shù)中常用以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logex,它被稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作

y=lnx2021/6/27565．三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)y=sinx;余弦函數(shù)y=cosx;正切函數(shù)y=tanx；余切函數(shù)y=cotx;正割函數(shù)y=secx；余割函數(shù)y=cscx.其中自變量以弧度作單位來(lái)表示2021/6/2757正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2

為周期的周期函數(shù)，它們的定義域都為(-∞,+∞),值域都為［-1,1］．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．2021/6/2758正切函數(shù)的定義域?yàn)橛嗲泻瘮?shù)的定義域?yàn)檎泻瘮?shù)和余切函數(shù)的值域都是(－∞,+∞),且它們都是以

為周期的函數(shù)，它們都是奇函數(shù).2021/6/27592021/6/2760正割函數(shù)y=secx;余割函數(shù)y=cscx.2021/6/27616.反三角函數(shù)反三角函數(shù)是各三角函數(shù)在其特定的單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù).(1)反正弦函數(shù)y=arcsinx，它是正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間上的反函數(shù)．其定義域?yàn)閇-1,1]值域?yàn)?/p>

,為單調(diào)增函數(shù)。2021/6/2762(2)反余弦函數(shù)y＝arccosx，它是余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,

]上的反函數(shù)．其定義域?yàn)閇-1,1],值域?yàn)閇0,

].為單調(diào)減函數(shù)。2021/6/2763(3)反正切函數(shù)y=arctanx，它是正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)．其定義域?yàn)?－∞,+∞),值域?yàn)闉閱握{(diào)增函數(shù)。

2021/6/2764(4)反余切函數(shù)y=arccotx，它是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,

)內(nèi)的反函數(shù)，其定義域?yàn)?－∞,+∞),值域?yàn)?0,

).為單調(diào)減函數(shù)2021/6/2765二、初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)，否則稱為非初等函數(shù)．2021/6/2766幾個(gè)常見(jiàn)的分段函數(shù):1.

符號(hào)函數(shù)定義域D=(-

,+)，值域R={-1,0,1}.2021/6/2767是偶函數(shù),周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期，但沒(méi)有最小正周期.２．狄利克雷函數(shù)2021/6/2768

３．絕對(duì)值函數(shù)定義域D=(-

,+

)，值域R=[0,+

).2021/6/27694

.

取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2021/6/27705.取最值函數(shù)yxoyxo2021/6/2771第三節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)一、成本函數(shù)固定成本(FC)：是不取決于產(chǎn)量多少的成本.可變成本(VC)：是隨產(chǎn)量x的增加而增加的成本．總成本(TC)：由固定成本和可變成本組成．2021/6/2772

對(duì)應(yīng)于總成本、固定成本和可變成本，有相應(yīng)的平均成本、平均固定成本和平均可變成本，分別記作AC、AFC和AVC.2021/6/2773二、收益函數(shù)收益：廠商銷售商品的收入.

收益分為總收益和平均收益．總收益(TR)：是銷售量x與銷售單價(jià)p的乘積.平均收益(AR)：是銷售單位商品的收益．即2021/6/2774三、利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是廠商總收益和總成本的差額,記作L,即

L(x)=TR(x)-TC(x)．當(dāng)TR(x)＞TC(x)時(shí),廠商盈利；當(dāng)TR(x)＜TC(x)時(shí),廠商虧損；當(dāng)TR(x)=TC(x)時(shí),廠商不賠也不賺，當(dāng)產(chǎn)量x0使得TR(x0)=TC(x0),即L(x0)=0時(shí),稱x0為盈虧平衡點(diǎn)產(chǎn)量．2021/6/2775四、需求函數(shù)與供給函數(shù)

一般降價(jià)使需求量增加,漲價(jià)使需求量減少.若不考慮其它影響需求量的因素(如消費(fèi)者收入等),可以認(rèn)為需求量Qd是價(jià)格p的單調(diào)減函數(shù),稱為需求函數(shù),記為Qd=fd(p)．

最簡(jiǎn)單的需求函數(shù)是線性需求函數(shù)，即Qd=a-bp，其中a,b均為正常數(shù)．

2021/6/2776

一般漲價(jià)使供給量增加，降價(jià)使供給量減少.從而可以認(rèn)為供給量Qs是價(jià)格p的單調(diào)增函數(shù),稱之為供給函數(shù),記為Qs=fs(p)

最簡(jiǎn)單的供給函數(shù)是線性供給函數(shù),即Qs=dp-c,其中c與d均為正的常數(shù).2021/6/2777

若市場(chǎng)上某種商品的供給量與需求量相等，則我們說(shuō)這種商品的供需達(dá)到了平衡．此時(shí)該商品的價(jià)格稱為均衡價(jià)格