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第05講反比例函數(shù)(9種題型)【知識(shí)梳理】一.反比例函數(shù)的定義(1)反比例函數(shù)的概念形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中x是自變量,y是函數(shù),自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).(2)反比例函數(shù)的判斷判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù),首先看看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系,然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷,其形式為y=(k為常數(shù),k≠0)或y=kx﹣1(k為常數(shù),k≠0).二.反比例函數(shù)的圖象用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象,步驟:列表﹣﹣﹣描點(diǎn)﹣﹣﹣連線.(1)列表取值時(shí),x≠0,因?yàn)閤=0函數(shù)無(wú)意義,為了使描出的點(diǎn)具有代表性,可以以“0”為中心,向兩邊對(duì)稱式取值,即正、負(fù)數(shù)各一半,且互為相反數(shù),這樣也便于求y值.(2)由于函數(shù)圖象的特征還不清楚,所以要盡量多取一些數(shù)值,多描一些點(diǎn),這樣便于連線,使畫出的圖象更精確.(3)連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接,切忌畫成折線.(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸、y軸相交,只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)軸.三.反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)(1)反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象是雙曲線;(2)當(dāng)k>0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??;(3)當(dāng)k<0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.注意:反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn).四.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義比例系數(shù)k的幾何意義在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點(diǎn),過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線,這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|,且保持不變.五.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)y=k/x(k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線,①圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k;②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;③在y=k/x圖象中任取一點(diǎn),過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.六.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意:(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=(k為常數(shù),k≠0);(2)把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)帶入解析式,得到待定系數(shù)的方程;(3)解方程,求出待定系數(shù);(4)寫出解析式.七.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解,若方程組有解則兩者有交點(diǎn),方程組無(wú)解,則兩者無(wú)交點(diǎn).(2)判斷正比例函數(shù)y=k1x和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為:①當(dāng)k1與k2同號(hào)時(shí),正比例函數(shù)y=k1x和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn);②當(dāng)k1與k2異號(hào)時(shí),正比例函數(shù)y=k1x和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中有0個(gè)交點(diǎn).八.反比例函數(shù)的應(yīng)用(1)利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題①能把實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義.③問(wèn)題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來(lái)解,然后在作答中說(shuō)明.(2)跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題要熟練掌握物理或化學(xué)學(xué)科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式.同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.(3)反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認(rèn)識(shí)圖象,找到關(guān)鍵的點(diǎn),運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的思想.九.反比例函數(shù)綜合題(1)應(yīng)用類綜合題能夠從實(shí)際的問(wèn)題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型,是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵一步,培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些問(wèn)題的時(shí)候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識(shí).(2)數(shù)形結(jié)合類綜合題利用圖象解決問(wèn)題,從圖上獲取有用的信息,是解題的關(guān)鍵所在.已知點(diǎn)在圖象上,那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式,反過(guò)來(lái)如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式,那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上.還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起,是分析解決問(wèn)題的一種好方法.【考點(diǎn)剖析】一.反比例函數(shù)的定義(共2小題)1.(2022秋?包河區(qū)期中)下面四個(gè)關(guān)系式中,y是x的反比例函數(shù)的是()A.y=3x+1 B.y=3x2 C. D.2.(2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考)若函數(shù)是反比例函數(shù),則m的值是.二.反比例函數(shù)的圖象(共2小題)3.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則反比例函數(shù)y=﹣與一次函數(shù)y=bx﹣c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是()A.B. C. D.4.(2023?南陵縣二模)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A. B. C. D.三.反比例函數(shù)的性質(zhì)(共5小題)5.(2023?無(wú)為市一模)下列關(guān)于反比例函數(shù)y=的描述中,正確的是()A.圖象在第二、四象限 B.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小 C.點(diǎn)(﹣1,3)在反比例函數(shù)的圖象上 D.當(dāng)x<1時(shí),y>36.(2022秋?宣城期末)反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支在第二象限,則m的取值范圍是.7.(2022秋?池州期末)已知反比例函數(shù)y=的圖象在第一、三象限內(nèi),則k()A.k>2 B.k≥2 C.k<2 D.k≤28.(2023?合肥一模)下列函數(shù)中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大的是()A.y=﹣2x+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=﹣x2﹣1 D.9.(2023?蕪湖模擬)已知函數(shù),(k>0).當(dāng)1≤x≤3時(shí),函數(shù)y1的最大值為a,函數(shù)y2的最小值為a﹣4,則k=.四.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義(共3小題)10.(2023?雨山區(qū)一模)如圖,點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=上的一動(dòng)點(diǎn),作PD⊥x軸于點(diǎn)D,△POD的面積為k,則函數(shù)y=kx﹣1的圖象為()A. B. C. D.11.(2023?南譙區(qū)校級(jí)一模)在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)的部分圖象如圖所示,AB⊥y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P在x軸上,若△ABP的面積為2,則k的值為.12.(2023?杜集區(qū)校級(jí)模擬)如圖,兩個(gè)反比例函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象依次是C1和C2,設(shè)點(diǎn)P在C1上,PC⊥x軸于點(diǎn)C,交C2于點(diǎn)A,PD⊥y軸于點(diǎn)D,交C2于點(diǎn)B,若四邊形PAOB的面積為5,則k=.五.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(共5小題)13.(2022秋?寧國(guó)市期末)反比例函數(shù)y=﹣圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是()A.(1,12) B.(﹣2,﹣6) C.(3,4) D.(﹣,24)14.(2023?安徽二模)已知兩點(diǎn)A(2m,p),B(m,q)都在反比例函數(shù)的圖象上,則下列結(jié)論成立的是()A.p=2q B.q=2p C.p=m D.q=2m15.(2023?蚌山區(qū)二模)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上,x1<0<x2<x3,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是.16.(2023?合肥模擬)如圖,在Rt△OAB中,∠A=90°,∠ABO=60°,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,0),若反比例函數(shù)y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.則k=.?17.(2023?合肥模擬)如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在x軸和y軸的正半軸上,點(diǎn)C位于第一象限,其中反比例函數(shù)的圖象與邊CB、CD分別交于點(diǎn)E、F,若AF=EF且AF⊥EF,則=.六.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式(共2小題)18.(2022秋?宣州區(qū)期末)已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,﹣3),則此函數(shù)的關(guān)系式是.19.(2023?合肥一模)如圖,矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B都在反比例函數(shù)的圖象上,AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,對(duì)角線AC垂直于x軸.垂足為E,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;(2)求矩形ABCD的面積.七.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題(共6小題)20.(2023?碭山縣二模)若一次函數(shù)y=2x﹣5的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)(1,m),則k的值為()A.﹣3 B. C. D.321.(2023?花山區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x與反比例函數(shù)0)的圖象交于點(diǎn)A,將直線y=x沿y軸向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,交x軸于點(diǎn)C,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B,若BC=2OA,則b的值為()A.1.5 B.2 C.2.5 D.322.(2023?蜀山區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A,反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)B繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至點(diǎn)B',且AB′=OB′,如果△OAB′的面積是1,則k=.23.(2023?全椒縣一模)反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+m的圖象交于點(diǎn)C(a,1)和點(diǎn)D(b,4),一次函數(shù)y=x+m的圖象分別與x,y軸交于點(diǎn)A(﹣5,0)和點(diǎn)B.當(dāng)x<0時(shí),不等式的解集為.24.(2023?宣州區(qū)三模)如圖,一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,3).(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;(2)已知M(m,0),若△ABM的面積為10,求m的值.25.(2023?合肥二模)如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4),B(n,﹣1).(1)求a,b,k的值;(2)觀察圖形,直接寫出不等式的解集;(3)延長(zhǎng)BO交反比例函數(shù)圖形于點(diǎn)P,求△PAO的面積.八.反比例函數(shù)的應(yīng)用(共4小題)26.(2023?舒城縣二模)在壓力不變的情況下,某物體承受的壓強(qiáng)(單位:Pa)與它的受力面積(單位:m2)是反比例函數(shù)關(guān)系,平平記錄了幾次測(cè)量所得的數(shù)據(jù),由于疏忽,其中有一次記錄的數(shù)據(jù)有誤,觀察表格,有誤的那一次是()第1次第2次第3次第4次…受力面積(m2)0.10.20.30.4…壓強(qiáng)(Pa)1000500300250…A.第1次 B.第2次 C.第3次 D.第4次27.(2023?合肥一模)阿基米德說(shuō):“給我一個(gè)支點(diǎn),我就能撬動(dòng)整個(gè)地球”這句話精辟地闡明了一個(gè)重要的物理學(xué)知識(shí)——杠桿原理,即“阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂”.若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m,則這一杠桿的動(dòng)力F和動(dòng)力臂l之間的函數(shù)圖象大致是()A.B. C. D.28.(2023?安徽一模)如圖,將一長(zhǎng)方體A放置于一水平玻璃桌面上,按不同的方式擺放,記錄桌面所受壓強(qiáng)p(Pa)與受力面積S(m2)的關(guān)系如表所示(與長(zhǎng)方體A相同重量的長(zhǎng)方體均滿足此關(guān)系).桌面所受壓強(qiáng)p(Pa)100200400800受力面積S(m2)210.50.25(1)根據(jù)如表數(shù)據(jù),求桌面所受壓強(qiáng)p(Pa)與受力面積S(m2)之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)現(xiàn)想將另一長(zhǎng)、寬、高分別為0.2m,0.1m,0.3m,且與長(zhǎng)方體相同重量的長(zhǎng)方體按如圖所示的方式放置于該水平玻璃桌面上.若該玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為5000Pa,請(qǐng)你判斷這種擺放方式是否安全?并說(shuō)明理由.29.(2022秋?宣城期末)學(xué)校下午放學(xué)時(shí)校門口的“堵塞”情況已成為社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題,某校對(duì)本校下午放學(xué)校門口“堵塞”情況做了一個(gè)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每天放學(xué)時(shí)間2分鐘后校門外學(xué)生流量變化大致可以用“擁擠指數(shù)”y(%)與放學(xué)后時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系描述.如圖,2~12分鐘呈二次函數(shù)狀態(tài),且在第12分鐘達(dá)到該函數(shù)最大值100,此后變化大致為反比例函數(shù)的圖象向右平移4個(gè)單位得到的曲線趨勢(shì).若“擁擠指數(shù)”y≥36,校門外呈現(xiàn)“擁擠狀態(tài)”,需要志愿者維護(hù)秩序、疏導(dǎo)交通.(1)求該二次函數(shù)的解析式和k的值;(2)“擁擠狀態(tài)”持續(xù)的時(shí)間是否超過(guò)20分鐘?請(qǐng)說(shuō)明理由.九.反比例函數(shù)綜合題(共2小題)30.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的頂點(diǎn)A(5,0),C(﹣3,4),點(diǎn)B在反例函數(shù)的圖象上,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與雙曲線相交于B、D兩點(diǎn),且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1.(1)求一次函數(shù)的解析式;(2)求△ABD的面積;(3)直接寫出的解集.31.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)如圖,已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)A(4,n),與x軸相交于點(diǎn)B.(1)求n和k的值;(2)如圖,以AB為邊作菱形ABCD,使點(diǎn)C在x軸正半軸上,點(diǎn)D在第一象限,雙曲線交CD于點(diǎn)E,連接AE、BE,求S△ABE.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一.選擇題(共10小題)1.(2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬)已知正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(m,n),則這個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為()A.(b,a) B.(﹣a,b) C.(m,﹣n) D.(﹣m,﹣n)2.(2023?渦陽(yáng)縣二模)如圖,一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)圖象,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是()A. B. C. D.3.(2023?安徽一模)已知一次函數(shù)y=kx+b,反比例函數(shù)y=(kb≠0),下列能同時(shí)正確描述這兩種函數(shù)大致圖象的是()A. B. C. D.4.(2023?亳州模擬)如圖,已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=(k≠0,x<0)的圖象上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸,垂足為B,若△OAB的面積為1,則k的值為()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣25.(2023?阜陽(yáng)三模)如圖,點(diǎn)A、C為反比例函數(shù)(k≠0)圖象上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,C分別作AB⊥x軸,CD⊥x軸,垂足分別為B、D,連接OA、AC、OC,線段OC交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰好為OC的中點(diǎn),當(dāng)△AEC的面積為6時(shí),k的值為()A.﹣16 B.8 C.﹣8 D.﹣126.(2023?蕪湖模擬)在反比例函數(shù)y=圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是()A.m>1 B.m<1 C.m=1 D.m≠17.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬)已知,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,則以下結(jié)論正確的是()A.若x1<x2,則y1>y2 B.若x1x2<0,則y1y2>0 C.若x1+x2=0,則y1+y2=0 D.若x1x2>0且x1<x2,則y1<y28.(2023?長(zhǎng)豐縣模擬)在同一平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是()A. B. C. D.9.(2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)期末)如圖,A是雙曲線上的一點(diǎn),點(diǎn)C是OA的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線,垂足為D,交雙曲線于點(diǎn)B,且△ABD的面積是4,則k=()A.4 B.6 C.8 D.1010.(2022秋?宣城期末)如圖,矩形ABCD的邊AB與y軸平行,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,6),D的坐標(biāo)為(3,2),反比例函數(shù)的圖象與矩形ABCD有公共點(diǎn),則k的取值范圍為()A.3≤k≤12 B.2≤k≤18 C.3<k<12 D.2<k<18二.填空題(共8小題)11.(2023?南陵縣二模)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,3),則k=.12.(2022秋?蒙城縣期末)已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限,則k的取值范圍是.13.(2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中)請(qǐng)你寫出一個(gè)函數(shù),使得當(dāng)自變量x<0時(shí),函數(shù)y隨x的增大而減小,這個(gè)函數(shù)的解析式可以是.14.(2023?金安區(qū)校級(jí)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸上,矩形DEFG的邊DE在BC上,AB=EF.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則陰影部分面積為.15.(2023?渦陽(yáng)縣二模)如圖,點(diǎn)A、B分別是線段OB與反比例函數(shù),交點(diǎn),其中OA=2AB,則k的值為.16.(2023?瑤海區(qū)校級(jí)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系系中,直線y=mx+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B,連接BO.若S△OBC=1,tan∠BOC=,則k的值是.17.(2023?全椒縣二模)如圖,A為雙曲線上一點(diǎn),B為x軸正半軸上一點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)C恰好在雙曲線上,若△OAC的面積為8,則k的值為.18.(2023?黃山二模)如圖,點(diǎn)A,C為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),過(guò)A,C分別作AB⊥x軸,CD⊥x軸,垂足分別為B,D,連接OA,AC,OC,線段OC交AB于點(diǎn)E,且點(diǎn)E恰好為OC的中點(diǎn).當(dāng)△AEC的面積為時(shí),k的值為.三.解答題(共7小題)19.(2023?蕭縣一模)為檢測(cè)某品牌一次性注射器的質(zhì)量,將注射器里充滿一定量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),注射器里的氣體的壓強(qiáng)p(kPa)與氣體體積V(mL)滿足反比例函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式.(2)當(dāng)氣體體積為60mL時(shí),氣體的壓強(qiáng)為kPa.(3)若注射器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)不能超過(guò)5
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