山東省青島市黃島區(qū)2025屆高三上學期期中考試數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市黃島區(qū)2025屆高三上學期期中考試數學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知為坐標原點，點，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，，，，故，，，，因此，故選：A2.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，，，，作第個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開始，連續(xù)個正方形面積之和為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，第一個正方形邊長為，面積為，第二個正方形邊長為，面積為，第三個正方形邊長，面積為，第四個正方形邊長為，面積為，第五個正方形邊長為，面積為，由題有，得到，解得，故選：D.3.已知平面向量滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設，而，所以，，所以.故選：B.4.設集合，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由集合，又，所以，所以是的必要不充分條件.故選：B.5.若正數滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由可得，，當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意.所以的最小值為.故選：A6.如圖，已知函數，點，是直線與函數y=fx的圖象的兩個交點，若，則fπ3=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，由，得到，當，由，得到，所以，得到，又，結合圖象有，得到，所以，當時，，由，得到，所以，得到，又，結合圖象有，得到，所以，綜上，，所以，故選：C.7.2024年1月1日，第五次全國經濟普查正式啟動.甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個小區(qū)進行數據采集，每個小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有（）A.36種 B.60種 C.96種 D.180種【答案】D【解析】城東去1人，不同安排方法為（種）；城東去2人，不同安排方法是（種），所以不同的安排方法共有（種）.故選：D.8.定義在上的函數滿足：，，，當時，，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】A【解析】由可得中令可得，又因為時，，又，所以時，，由可得，因為，所以，所以,故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知二項式，則其展開式中（）A.的系數為15 B.各項系數之和為1C.二項式系數最大項是第3項 D.系數最大項是第3項或第5項【答案】AD【解析】的展開式的通項為，對于A，取，則，故的系數為，故A正確；對于B，因為，令，則各項系數之和為，故B錯誤；對于CD，由展開式的通項可得展開式中各項的系數依次為：，故二項式系數最大項是第3項或第5項，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.數列滿足，，則（）A.數列為等差數列 B.C. D.【答案】BCD【解析】對于選項A，因為，則不為常數，由等差數列的定義可知，數列不為等差數列，故選項A錯誤，對于選項B，由，得到，當時，，又當時，，滿足，所以，故選項B正確，對于選項C，由選項B知，得到，所以，故選項C正確，對于選項D，由選項B知，，即，整理得到，下面用數學歸納法證明成立，當，不等式左邊等于，不等式右邊等于，所以時，等式成立，假設時，成立，則時，因為，令，則在區(qū)間上恒立，即在區(qū)間上單調遞減，所以，得到在上恒成立，所以，即時，也成立，綜上，對任意的成立，故選項D正確，故選：BCD.11.在中，角，，所對的邊分別為，，，，，已知點是所在平面內一點，點在上，點為中點，，則（）A.若，則的面積為2B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點為中點，則D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，故，所以即即，故的面積為，故A正確；對于B，若在方向上的投影向量為，則，當時取最小值，此時，故為的中點，故此時，故B錯誤；對于C，因為，故，則即，故C正確；對于D，設，因為均為單位向量，故在的角平分線上，而，故的角平分線與垂直，故，取的中點為，連接，則，且，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數為上增函數，寫出一個滿足要求的的解析式______【答案】（答案不唯一）【解析】的解析式為（答案不唯一），理由如下，因為時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞增，且，所以時，函數為上的增函數，故答案為：（答案不唯一）13.記為正項數列的前項積，，則______.【答案】2025【解析】數列的各項均為正，當時，，解得，由，得當時，，即，因此，數列是以為首項，公差為等差數列，，所以.14.某警察學院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運”、“400米障礙”六個項目，規(guī)定：每個項目前三名得分依次為，，，其中，選手的最終得分為各場得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個項目的前三名，在六個項目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個項目中獲得了第一名，那么______，“游泳”這個項目的第二名是______.【答案】乙【解析】因為甲乙丙包攬了每個項目的前三名，故它們的得分總和為，故，若，則，此時，與矛盾；故，故，故或，若，則丙在除射擊外的5個項目共拿6分，但其余5個項目丙拿5分或7分以上，矛盾；故，所以丙在除射擊外的5個項目中每個項目均拿1分，共計5分；甲共計分，則甲在除射擊外的5個項目中拿分或分，若甲在除“射擊”外的5個項目中拿分，則甲在射擊項目中拿1分，其余5個項目中每個項目都拿5分，此時乙在6個項目中的分數為，符合題意；若甲在除“射擊”外的5個項目中拿分，故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，則其余5個項目中，甲在4個項目中每個項目拿5分，1個項目中拿2分，此時甲的總分達不到分，故，游泳的第二名為乙，故答案為：，乙.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求的最大值及相應的取值集合；（2）設函數，若在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍.解：（1）依題意，，當，即時，，此時，的取值集合為．（2）由（1）知，，當時，，由在區(qū)間上單調遞增，可得：，解得：，所以的取值范圍是16.記數列是公差不為0的等差數列，，且是和的等比中項.（1）求數列的通項公式；（2）數列滿足：，，，（ⅰ）求證：為等比數列；（ⅱ）求取最大值時的值.解：（1）設的公差為，則，所以即，而，故，故.（2）（ⅰ），,而，故，而，，所以所以為等比數列且公比為2，首項為.（ⅱ）由（?。┛傻?，所以，故當時，，當時，，故，故取最大值時.17.在中，記角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，為中點，，分別在線段，上，且，，求面積的最小值及此時對應的的值.解：（1）由，得到，又，所以，又，得到，即，又，所以，得到.（2）由（1）知，如圖，因為，所以．在中，因為，所以，在中，因為，所以，所以，設，，所以化簡可得：所以當時，取得最小值．18.已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求證：當時，函數只有兩個零點；（3）若對任意的實數，，曲線與直線總相切，則稱函數為“函數”.當時，若函數是“函數”，求.解：（1）易知函數定義域為，因為，則，當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，當時，由，得到，即，得到，又易知為增函數，所以當時，f'x>0，即在區(qū)間單調遞增，當時，f'x<0，即在區(qū)間單調遞減，綜上得：當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）令，得到，當時，，方程無解，即無零點，所以有零點，則零點只能在區(qū)間上，當時，由，得到，設，，則零點可以轉化為的零點，因為，設hx=ax+a-1(x>-1)因為，則hx在上單調遞增，又，時，，則，使得，當時，hx<0，當，hx即在上遞減，在上遞增，又，所以，又由于時，，故在內存在唯一零點，又時，，故在內存在唯一零點，所以當時，只有兩個零點，故當時，函數只有兩個零點.（3）當時，函數是“函數”，且，設函數與直線切點，又，則，故，由，得到，又，所以，因為，所以是方程的根，設，，易知，且是增函數，當時，h'x>0，hx單調遞增，當時，h'所以，所以是方程的根，且唯一，所以.19.給定正整數，設，，…，是1，2，…，中任取個互不相同的數構成的一個遞增數列.對，如果是奇數，則是奇數，如果是偶數，則是偶數，就稱，，…，為“數列”.（1）若，，寫出所有“數列”；（2）對任意“數列”，，…，，，證明：.（注：表示不超過的最大整數）；（