遼寧省名校聯(lián)盟（東北三省三校）2025屆高三上學(xué)期9月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟（東北三省三校）2025屆高三上學(xué)期9月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】.故選：C.2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】A【解析】對(duì)于可知，當(dāng)時(shí)滿足命題，為真命題，所以為假命題；易知，所以，也即為真命題，為假命題；可得和都是真命題.故選：A3.已知為全集的非空真子集，且不相等，若，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，等價(jià)于，等價(jià)于，且不相等，可知集合是集合的真子集，故A錯(cuò)誤；且，故B正確；據(jù)此作出韋恩圖，可知，，故CD錯(cuò)誤；故選：B.4.如圖，有一個(gè)無(wú)蓋的盛水的容器，高為，其可看作將兩個(gè)完全相同的圓臺(tái)面積較大的底面去掉后對(duì)接而成.現(xiàn)從頂部向該容器中倒水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水的體積相等，記容器內(nèi)水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)為，則下列函數(shù)圖象中最有可能是圖象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)注水的體積不變，結(jié)合容器的形狀，在單位時(shí)間內(nèi)，高度變化率先由快變慢，后由慢變快.故選：D.5.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】例如，則，滿足，但，即充分性不成立；例如，則，滿足，但，即，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知，顯然，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以可得；由偶函數(shù)性質(zhì)可得，即.故選：B7.已知定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又的圖象由的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以是以8為一個(gè)周期的偶函數(shù)，所以，由，得，則.故選：C.8.已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，方程的不同的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】由題意可知：的定義域?yàn)?，若，則，且，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即f'x>0對(duì)任意可知在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于；若，則，且，令，則，可知hx在內(nèi)單調(diào)遞減，且，當(dāng)，則hx>0，即f'x>0；當(dāng)，則h可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于；據(jù)此作出函數(shù)的圖形，如圖所示：對(duì)于方程，令，則，且，，可知方程有2個(gè)不相等的實(shí)根，則，可知的正負(fù)性相反，不妨設(shè)，則有3個(gè)不相等的實(shí)根；有1個(gè)不相等的實(shí)根；綜上所述：程的不同的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為4.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知且，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)AB：因?yàn)?，則，且，則，解得，若，則，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：可知均為正數(shù)，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故D正確；故選：BD.10.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.B.是偶函數(shù)C.D.若，則【答案】BCD【解析】設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)可得，解得；所以，因此函數(shù)的定義域?yàn)椋淮嬖?，A錯(cuò)誤；易知，因此是偶函數(shù)，即B正確；由可得，所以，即C正確；由冪函數(shù)性質(zhì)可得在0,+∞上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù),所以不等式轉(zhuǎn)化為，且；整理可得，解得且；即不等式的解集為，即D正確.故選：BCD11.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.C.設(shè)，則D.所有滿足的點(diǎn)組成的區(qū)域的面積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，則，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，又，所以，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，而表示軸，直線，及曲線所圍成區(qū)域的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)（不含軸上的點(diǎn)），設(shè)函數(shù)和，可得函數(shù)和互為反函數(shù)，即兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由函數(shù)對(duì)稱性可得軸，直線及曲線圍成的區(qū)域與以軸，直線及曲線圍成的區(qū)域所包含的整點(diǎn)一樣多，如圖所示：則表示邊長(zhǎng)為20的正方形內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和，其中有兩個(gè)，且不含坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，所以整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為.綜上，點(diǎn)組成區(qū)域的面積為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)椋傻们?，可得且，可知，且，可得，解得或（舍去），若，則，則，可得，整理可得，解得或（舍去），所以的取值范圍是.13.數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為，后三項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為.若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和為18，第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的和為35，則______.【答案】5【解析】由題意可知：數(shù)列的有5項(xiàng)為，因?yàn)?，則，可得，整理可得，解得或（舍去），若，可得，即，所以.14.已知均為正數(shù)，，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，，設(shè)，則，其中，可知的最大值為，其中，即，可得，綜上所述：的最大值為，其中.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，所以，所以，由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2）設(shè)，則，故.，兩式作差得，即，所以.16.定義三階行列式運(yùn)算：，其中.已知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求；（2）已知函數(shù)不存在最小值，求的取值范圍.解：（1），解得且，又，，所以不等式解集.（2）由（1）可知，有，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，，所以不存最小值；當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)椴淮嬖谧钚≈?，所以，解得，綜上，的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的取值范圍.解：（1）由，得，所以，所以，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由（1）可得，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的最小值.又，，所以，從而的最大值，所以設(shè)，則，由，知，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以的取值范圍?18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的最大值；（3）設(shè)，證明：.解：（1）由，得，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，所以，所以.又，所以，設(shè)an公差為d，即解得所以an的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，所以，，令，得，設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.又，，所以n的最大值為5.（3）由（2）知，設(shè)是的前n項(xiàng)和，則，所以是遞增數(shù)列，所以成立.又，所以當(dāng)時(shí)，得，所以.綜上，.19.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的極值；（2）若，求；（3）利用（2）中求得的，若，數(shù)列滿足，且，證明：.解：（1）由題意得，則，為減函數(shù)，令得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值為，無(wú)極小值；（2）