湖北省部分學校2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學校2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，因為，所以．故選：C.2.已知復數(shù)，為的共軛復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，因此，的虛部為.故選：A.3.已知平面向量，，且，則（）．A.5 B. C. D.【答案】B【解析】．因為，所以，解得．故選：B4.黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.該塔塔身由青灰色石塊砌成，共七層，假設該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上一層，底面面積都減少1平方米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（）.A.8平方米 B.9平方米 C.10平方米 D.11平方米【答案】C【解析】由題意可得該塔第一層至第七層底面面積依次成等差數(shù)列，且首項為16，公差為，故該塔頂層的底面面積為平方米．故選：C5.已知為銳角，，則（）．A. B. C. D.或【答案】C【解析】由題意，解得，因為為銳角，所以，又，所以，所以，故選：C6.已知x1,y1、x2A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意不妨設，因為是增函數(shù)，所以，即．，則，即，A正確，B錯誤；取，，則，，，C錯誤．取，，則，，，D錯誤．故選：A.7.在四棱錐中，底面為正方形，，，，則四棱錐的體積為（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】在四棱錐中，取，的中點，連接，由底面為正方形，得，由，得，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，在平面內過點P作于O，而平面平面，因此平面，連接，平面，則，設，由，得，，，于是，在中，，，因此，解得，則，所以四棱錐的體積為.故選：C8.已知函數(shù)在上只有一個零點，則正實數(shù)m的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】分別作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象．分兩種情形：當時，，如圖1，當時，與hx的圖象有一個交點，符合題意；當時，，如圖2，當時，要使得與hx的圖象只有一個交點，只需，即，解得（舍去）．綜上，正實數(shù)m的取值范圍為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、中位數(shù)都是，則（）．A.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)相等B.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差相等C.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等D.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)相等【答案】AC【解析】設數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，A正確．數(shù)據(jù)，，，，的方差，數(shù)據(jù)，，，的方差，所以數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差不一定相等，B錯誤．數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等，C正確．數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)不一定相等，如數(shù)據(jù)2，2，5，7，9的平均數(shù)、中位數(shù)都是5，但數(shù)據(jù)2，2，7，9的中位數(shù)不是5，D錯誤．故選：AC10.已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，，則（）.A. B.C. D.沒有極值【答案】ABD【解析】對于A，令，得，故A正確；對于B，令，則由選項A得，所以，，據(jù)此類推可得，所以，故B正確；對于C，由選項B得，所以也滿足題意，不一定是，故C錯誤；對于D，令x=0得即，所以函數(shù)fx滿足，即函數(shù)fx令，，則，則，當時，，因為當時，，所以，即，即，所以是增函數(shù)，沒有極值，當時，，因為當時，且函數(shù)fx是奇函數(shù)，所以，即，即，所以是增函數(shù)，沒有極值，故D正確；故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）.A.是偶函數(shù)B.的最小正周期是C.的圖象關于直線對稱D.若，，，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】A，定義域為，因為，所以不是偶函數(shù)，A說法錯誤；B，當x∈0,π時，，當時，，所以的周期，又因為，所以的最小正周期是，B說法正確.C，，所以的圖象關于直線對稱，C說法正確.D，當時，，，當時，f'x>0，當時，f所以在上單調遞增，在上單調遞減.，，結合對稱性，得到的部分圖象如圖所示.當時，，由題意可得，當時，，，因為，結合的圖象可得，，解得，則的取值范圍是，D說法正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象在點處的切線過點，則__________．【答案】5【解析】函數(shù)，求導得，則，而，因此函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，由該切線過點，得，所以.故答案為：513.某員工在開辦公室里四位數(shù)的數(shù)字密碼門時，發(fā)現(xiàn)按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確實由數(shù)字“3”“6”“9”組成，則該密碼有__________種可能．（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】依題意可知，三個數(shù)字，所以四位數(shù)有個位置是同一數(shù)字，將這兩個位置捆綁，再將三個數(shù)字排列，所以可能有種．故答案為：14.如圖，平行六面體的底面是菱形，，，，若非零向量滿足，，則的最小值為______．【答案】【解析】根據(jù)四邊形是菱形，可知，從而據(jù)已知有，及，.從而可以得到，以及.①一方面，由于，故.這得到，又由于，故.所以，即.這就得到，從而.②另一方面，取，，則，.且.所以向量滿足條件，此時.綜合①②兩方面，可知的最小值為.故答案：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的外接圓面積為，角B的平分線交于D，求的面積，及與的面積之比．解:（1）在中，，．因為，，所以，即，．因為，所以，即，所以，；（2）因為的外接圓面積為，所以的外接圓半徑為3．由（1）知，所以，因為，所以，．．，所以的面積為，與的面積之比為．16.已知函數(shù)．（1）若在上單調遞增，求a的取值范圍；（2）若恒成立，求a的取值范圍．解:（1）的定義域為，．因為在上單調遞增，所以當時，f'x≥0．因為f'x是增函數(shù)，所以，解得．故a的取值范圍為．（2），即．令，定義域為，．由，得，由，得，所以在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增．．因為恒成立，所以．故a的取值范圍為．17.如圖，在三棱柱中，，，，．（1）證明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．解:（1）取的中點O，連接，，．四邊形為平行四邊形，又因為，，所以為等邊三角形，所以，．在中，，．因為，所以．因為，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，．，，．設平面的法向量為，平面的法向量為．，即，令，得．，即，令，得．，則，故二面角的正弦值為．18.設數(shù)列的前n項和為，若，且對任意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱為“Ⅱ（k）數(shù)列”．（1）設為“Ⅱ（1）數(shù)列”．①求的通項公式；②若，數(shù)列的前n項和為，證明：．（2）是否存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”？若存在，求出符合條件的的通項公式及對應的k的值；若不存在，請說明理由．解:（1）①因為為“Ⅱ（1）數(shù)列”，所以．因為，所以．當時，，得．當時，，則，即，經(jīng)檢驗，當時，滿足，所以對任意的恒成立，是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以．②證明：．，，兩式相減得，所以．當n為偶數(shù)時，．當n奇數(shù)時，．故．（2）假設存在這樣的數(shù)列，由是“Ⅱ（k）數(shù)列”可得．由是“Ⅱ數(shù)列”可得，所以，，即，所以．由，令，得，令，得．因為，所以，解得，所以為2，，2，，2，，…，的通項公式為．當n為偶數(shù)時，，解得，k為奇數(shù)．當n為奇數(shù)時，，解得，k為奇數(shù)．綜上，存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”，此時的通項公式為，且k為奇數(shù)．19.甲、乙兩人玩一個紙牌游戲，先準備好寫有數(shù)字1，2，…，N的紙牌各一張，由甲先隨機抽取一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為a，隨后將紙牌放回（后面每次抽牌記錄數(shù)字后都需將紙牌放回），接下來甲有2種選擇：①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為b，若，則乙贏，游戲結束，否則，甲結束抽牌，換由乙抽牌一次；②直接結束抽牌，記，換由乙抽牌一次．記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c，若，則乙贏，否則甲贏．游戲結束．（1）若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；（2）若甲抽牌2次，求甲贏的概率；（3）當甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時，甲選擇②贏得游戲的概率更大？（結果用含N的式子表示）參考公式：若數(shù)列的通項公式為，則的前n項和．解:（1）若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下．甲抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，此時有1種情況；甲抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時有2種情況；甲抽到的紙牌上的數(shù)字為3，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時有3種情況；……依次類推，甲贏的情況共有．故甲贏的概率為．（2）若甲抽牌2次，甲贏的情況如下．①甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為1．第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時有2種情況；第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時有3種情況；……第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，…，1，此時有N種情況．以上有種情況．②甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為2．第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時有3種情況；第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，，此時有4種情況；……第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，