湖北省部分省級(jí)示范高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分省級(jí)示范高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由直線可得其斜率為：，則與其垂直的直線斜率為，故過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即：.故選：C.2.已知數(shù)列，則“”是“為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對(duì)數(shù)列，設(shè)，顯然滿足，但不是等差數(shù)列，故充分性不滿足；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，故必要性成立；綜上所述，“”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】D【解析】的圓心為，半徑為，變形為，圓心為，半徑為，故圓心距，故圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：D4.如圖，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求直線與直線夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，故且，故四邊形為平行四邊形，故.又O是底面的中心，故為中點(diǎn)，直線與直線夾角為.設(shè)，則，，，.故.故選：A5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A B. C.2 D.1【答案】B【解析】由題意得，，拋物線中，所以yM=2，所以所求距離為故選：B6.1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲，西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2020這2020個(gè)數(shù)中，被2除余1，且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A.161 B.171 C.181 D.191【答案】B【解析】由題意可知既是2的倍數(shù)，也是5倍數(shù)，即是10的倍數(shù)，則，故.故選：B.7.兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線,垂足為,若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn),且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知雙曲線的漸近線方程為，雙曲線右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在中，，，所以，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，，所以，即，即，所以．故選：D二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.C.的最大值為10 D.【答案】ABC【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，所以，所以，檢驗(yàn)符合上式，所以，所以，，所以是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，所以A正確；因?yàn)?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，所以，B正確；因?yàn)?，所以時(shí)有最大值，，所以的最大值為10，所以C正確；，，，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，則（）A.準(zhǔn)線的方程為B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4C.過(guò)點(diǎn)A-2,0只有2條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D.拋物線與圓交于兩點(diǎn)，則【答案】BD【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，所以拋物線焦點(diǎn)在軸上，，準(zhǔn)線的方程為，A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，B正確；如上圖，過(guò)點(diǎn)A-2,0的直線中有兩條直線與拋物線相切，還有與拋物線相交于一點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)A-2,0有條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，C錯(cuò)誤；，得，解得（舍），，兩交點(diǎn)為，故，D正確.故選：BD11.偉大的古希臘哲學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B.若，則C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.的最小值為【答案】AD【解析】對(duì)于：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對(duì)于B：由定義可知，由余弦定理可得，，解得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)為鈍角，則橢圓上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：AD．12.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度的取值范圍是【答案】ACD【解析】對(duì)A：當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的底面為三角形，其面積為定值，又點(diǎn)到面的距離即平面到平面的距離，也為定值，故三棱錐的體積不變，A正確；對(duì)B：連接，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，作圖如下所示：因?yàn)槊?，故面，又面，故；?dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?/，則與所成的角即為與所成的角；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，故可得所成角為；?dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，設(shè)所成的角為，則，故當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值，最小，此時(shí)，三角形為等邊三角形，故可得；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線所成角范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，也即與底面的夾角為；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)（異于點(diǎn)），過(guò)作，連接，顯然即為所求線面角；又，又，故，，故當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)（異于點(diǎn)），與平面的夾角小于，不滿足題意；同理可得，當(dāng)點(diǎn)在平面上（異于點(diǎn)）時(shí)，與平面的夾角也小于，不滿足題意；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，因?yàn)椋字c(diǎn)的軌跡為，；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，因?yàn)?，易知點(diǎn)的軌跡為，；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，因?yàn)槊?/面，故與面所成角與與面所成角相等，因?yàn)槊?，連接，故；在三角形中，易知，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，故其軌跡長(zhǎng)度為：；當(dāng)點(diǎn)在面上，不滿足題意；綜上所述：點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為：，故C正確；對(duì)D：取的中點(diǎn)分別為，連接，如下所示：因?yàn)?/面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面與平面是同一個(gè)平面.則點(diǎn)的軌跡為線段；在三角形中，；；；則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長(zhǎng)度的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若與共線，則__________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，且與共線，所以，解得：，所以.故答案為：14.在數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】依題意，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是______．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程，當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與兩條漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線右支分別只有一個(gè)交點(diǎn)(因?yàn)殡p曲線正在與漸近線無(wú)限接近中)，由圖可知，斜率不在的所有直線與雙曲線右支有兩點(diǎn)交點(diǎn)（如圖中直線），斜率在的所有直線都與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)（如圖中直線）．所以此直線的斜率的取值范圍故答案為16.如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與分別相交于和，直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，則的方程為_(kāi)_________；設(shè)直線的傾斜角分別為，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】；【解析】當(dāng)AB垂直于軸時(shí)，，此時(shí)，可得，故的方程為：；對(duì)拋物線上的任意兩點(diǎn)，若直線AB斜率存，則，故直線AB方程為：，即也即，又，故AB方程為：；若直線AB斜率不存在，，，顯然此時(shí)，直線AB方程亦可表示為：；綜上所述，AB方程可表示為：；又直線AB過(guò)點(diǎn)，則；設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得直線CD方程為：，直線AD方程為：，又直線AD過(guò)點(diǎn)，則；又直線CD過(guò)點(diǎn)，則；綜上可得：，若直線斜率存在，設(shè)斜率為，則，顯然，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)取得等號(hào)；當(dāng)時(shí)，易知，故此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述：的最大值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的最小值.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，因?yàn)?，所以，解?所以．（2）由（1）可知：，所以.令，得，解得：舍去），因?yàn)?，所以的最小值?2.18.已知圓.（1）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.解：（1）由題意即圖知，切線斜率存在，在圓中，圓心，半徑；點(diǎn)在圓上，設(shè)切線斜率為所以，解得，故切線方程為.（2）由題意，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與圓交于,弦長(zhǎng)恰好為2，直線滿足條件，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則圓心到直線距離，所以在中，由勾股定理得，，解得：，所以直線方程為：，綜上，直線的方程為或.19.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）根據(jù)題意，數(shù)列滿足，等式兩邊除以，可得，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）結(jié)合（1）問(wèn)可得，所以.由數(shù)列滿足可得，可得，當(dāng)時(shí)，可得又因?yàn)?，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)F1,0與短軸端點(diǎn)間的距離為.（1）求的方程；（2）過(guò)作直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的方程.解：（1）由已知得，又因?yàn)橛医裹c(diǎn)F1,0與短軸端點(diǎn)間的距離為得，則的方程為.（2）由題可知，若面積存在，則斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立消去得，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以顯然成立，且.因?yàn)榧?，解得或（舍去）則，所以直線的方程為或.21.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面為線段的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面與線段交于點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若四棱錐的體積為,則在線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意得,,又平面平面，平面.又平面，平面平面，．又，.（2）取的中點(diǎn)為，連接，，，又平面平面，平面平面平面，平面，，則，又.取的中點(diǎn)為，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，即，可取，又平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槎娼堑恼抑禐?，，解得或（舍?存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，此時(shí).22.已知拋物線，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線