北京市海淀區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意集合，，，則，.故選：A.2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則，，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D3.已知直線，直線，且，則（）A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】由題意直線，直線，且，所以，解得.故選：B.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.4 C.5 D.【答案】D【解析】設(shè)，，又因?yàn)?，所以，?故選：D.5.在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】連接，相交于點(diǎn)，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點(diǎn)，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：C.6.已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn).若為直角三角形，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為，即因?yàn)闉橹苯侨切?，所?設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，所以，化簡得.故選：A.7.若關(guān)于的方程（且）有實(shí)數(shù)解，則的值可以為（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】對比選項(xiàng)可知我們只需要討論時，關(guān)于的方程的解的情況，若關(guān)于的方程（且）有實(shí)數(shù)解，即與的圖像有交點(diǎn)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點(diǎn)為，，則有，解得：，由圖像可知，當(dāng)時，曲線與直線有交點(diǎn)，即與的圖像有交點(diǎn)，即方程有解.故選：D.8.已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意兩直線均有斜率，所以，若取，則有，但；若，又，所以，而，綜上所述，“”是“”必要而不充分條件.故選：B.9.已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若對任意的，恒成立，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是遞減數(shù)列C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列【答案】B【解析】是公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和,恒成立,恒成立,若，則可能為正也可能為負(fù)，不成立所以,當(dāng)是遞減數(shù)列,當(dāng)是遞減數(shù)列,故選:B.10.蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu).如圖是一個蜂房的立體模型，底面是正六邊形，棱，，，，，均垂直于底面，上頂由三個全等的菱形，，構(gòu)成.設(shè)，，則上頂?shù)拿娣e為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以,連接,取其中點(diǎn)為，連接,所以,由，且多邊形為正六邊形，所以，由于,所以，故一個菱形的面積為，因此上頂?shù)拿娣e為，故選：D第二部分（非選擇題）二、填空題11.在的展開式中，的系數(shù)為__________.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)為令得，所以，的系數(shù)為.故答案為：.12.已知雙曲線的一條漸近線為,則該雙曲線的離心率為__________.【答案】2【解析】由題意得，易知雙曲線，即的漸近線方程為得所以該雙曲線的離心率故答案為：.13.已知點(diǎn)，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則__________；點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意，所以，而直線的表達(dá)式為，即所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：，.14.已知無窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),公差為,則能使得為某一個等差數(shù)列的前項(xiàng)和的一組,的值為__________,__________.【答案】11（答案不唯一）【解析】設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為,則又是公差為的等差數(shù)列,即整理得由題知故滿足題意的一組,的值為,.（答案不唯一）故答案為：1;1（答案不唯一）15.已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；②存在，使得對任意，；③當(dāng)時，對任意非零實(shí)數(shù)，；④當(dāng)時，存在，，使得對任意，都有.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】②④【解析】對于①，當(dāng)時，其最大值為1，最小值為0，的最大值與最小值的差為1，故①錯誤；對于②，當(dāng)時，，，因此對任意，，故②正確；對于③，，，當(dāng)時，故③錯誤；對于④，當(dāng)時，取，，使得對任意，都有，故正確.故答案為：②④.三、解答題16.如圖，在四棱柱中，側(cè)面是正方形，平面平面，，，為線段的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，如下圖所示：在四棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，,因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，，所以，,所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，?）解：在正方形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面；所以平面，而平面，即可得，因?yàn)?，平面，與相交，所以平面，而平面，即；如圖建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，于是；因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.在中，.（1）求的大??；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長.條件①：的面積為；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）由正弦定理及，得.①因?yàn)?，所?②由①②得.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所?（2）選①，的面積為，即，即，解得，因?yàn)?，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此時三角形不存在，不能選①，選條件②：.由（1）知，.所以.所以.因?yàn)?，所?所以，即.所以是以為斜邊的直角三角形.因?yàn)椋?所以邊上的中線的長為.選條件③：.由余弦定理得，即.設(shè)邊上的中線長為，由余弦定理得.所以邊上的中線的長為1.18.甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.解：（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）設(shè)10場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以，，故.19.已知橢圓過點(diǎn)，焦距為.（1）求橢圓的方程，并求其短軸長；（2）過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，其中為原點(diǎn).設(shè)直線的斜率為，求的最大值.解：（1）由題意知，.所以，.所以橢圓的方程為，其短軸長為4.（2）設(shè)直線的方程為，，，則.由，得.所以.由得直線的方程為.由得.因?yàn)?，所以?所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以.所以直線的斜率.當(dāng)時，.當(dāng)時，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以.所以當(dāng)時，取得最大值.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：①當(dāng)時，；②函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；（2）若曲線與曲線在某公共點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為和的“優(yōu)切線”.若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”，求，的值.（1）證明：①當(dāng)時，.記，則.所以在上是增函數(shù).所以當(dāng)時，.所以當(dāng)時，.②由得，且.當(dāng)時，.因?yàn)?，，所?因?yàn)閷θ我夂愠闪?，所以?dāng)時，.所以0是的唯一極值點(diǎn).（2）解：設(shè)曲線與曲線的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，其斜率分別為，，則.因?yàn)?，所?所以.不妨設(shè)，則.因?yàn)?，由“?yōu)切線”的定義可知.所以.由“優(yōu)切線”的定義可知，所以.當(dāng)，，時，取，，則，，，，符合題意.所以.21.對于給定的奇數(shù)，設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)不全相同，中第行第列的數(shù)，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和,其中.記.設(shè)集合或，記為集合所含元素的個數(shù).（1）對以下兩個數(shù)表，，寫出，，，的值；（2）若中恰有個正數(shù)，中恰有個正數(shù).求證：；（3）當(dāng)時，求的最小值.（1）解：，；，.由定義可知：將數(shù)表中的每個數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行（列），，的值不變.因?yàn)闉槠鏀?shù)，，所以，均不為0.（2）證明：當(dāng)或時，不妨設(shè)，即，若，結(jié)論顯然成立；若，不妨設(shè)，，則，，.所以，結(jié)論成立.當(dāng)且時，不妨設(shè)，，，，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.因當(dāng)，時，，，所以.所以.同理可得：，，.所以.（3）解：當(dāng)時，的最小值為.對于如下的數(shù)表，.111111111下面證明：.設(shè)