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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題第一部分(選擇題)一、選擇題1.已知集合,,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意集合,,,則,.故選:A.2.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對應(yīng)的點(diǎn)分別為,,則復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.【答案】D【解析】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對應(yīng)的點(diǎn)分別為,,則,,得,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選:D3.已知直線,直線,且,則()A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】由題意直線,直線,且,所以,解得.故選:B.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,,為坐標(biāo)原點(diǎn),則()A. B.4 C.5 D.【答案】D【解析】設(shè),,又因?yàn)?,所以,?故選:D.5.在正四棱錐中,,二面角的大小為,則該四棱錐的體積為()A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】連接,相交于點(diǎn),則為正方形的中心,故⊥底面,取的中點(diǎn),連接,則,,故為二面角的平面角,所以,故,所以該四棱錐的體積為.故選:C.6.已知圓,直線與圓交于,兩點(diǎn).若為直角三角形,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A,圓心為,半徑為,即因?yàn)闉橹苯侨切?,所?設(shè)圓心到直線的距離為,由弦長公式得,所以,化簡得.故選:A.7.若關(guān)于的方程(且)有實(shí)數(shù)解,則的值可以為()A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】對比選項(xiàng)可知我們只需要討論時,關(guān)于的方程的解的情況,若關(guān)于的方程(且)有實(shí)數(shù)解,即與的圖像有交點(diǎn),因?yàn)榕c互為反函數(shù),所以與的圖像關(guān)于直線對稱,如圖所示:設(shè)函數(shù)與直線相切,切點(diǎn)為,,則有,解得:,由圖像可知,當(dāng)時,曲線與直線有交點(diǎn),即與的圖像有交點(diǎn),即方程有解.故選:D.8.已知直線,的斜率分別為,,傾斜角分別為,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意兩直線均有斜率,所以,若取,則有,但;若,又,所以,而,綜上所述,“”是“”必要而不充分條件.故選:B.9.已知是公比為的等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和.若對任意的,恒成立,則()A.是遞增數(shù)列 B.是遞減數(shù)列C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列【答案】B【解析】是公比為的等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,恒成立,恒成立,若,則可能為正也可能為負(fù),不成立所以,當(dāng)是遞減數(shù)列,當(dāng)是遞減數(shù)列,故選:B.10.蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu).如圖是一個蜂房的立體模型,底面是正六邊形,棱,,,,,均垂直于底面,上頂由三個全等的菱形,,構(gòu)成.設(shè),,則上頂?shù)拿娣e為()(參考數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.【答案】D【解析】由于,所以,連接,取其中點(diǎn)為,連接,所以,由,且多邊形為正六邊形,所以,由于,所以,故一個菱形的面積為,因此上頂?shù)拿娣e為,故選:D第二部分(非選擇題)二、填空題11.在的展開式中,的系數(shù)為__________.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)為令得,所以,的系數(shù)為.故答案為:.12.已知雙曲線的一條漸近線為,則該雙曲線的離心率為__________.【答案】2【解析】由題意得,易知雙曲線,即的漸近線方程為得所以該雙曲線的離心率故答案為:.13.已知點(diǎn),,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則__________;點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意,所以,而直線的表達(dá)式為,即所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為:,.14.已知無窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),公差為,則能使得為某一個等差數(shù)列的前項(xiàng)和的一組,的值為__________,__________.【答案】11(答案不唯一)【解析】設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為,則又是公差為的等差數(shù)列,即整理得由題知故滿足題意的一組,的值為,.(答案不唯一)故答案為:1;1(答案不唯一)15.已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論:①任意,函數(shù)的最大值與最小值的差為2;②存在,使得對任意,;③當(dāng)時,對任意非零實(shí)數(shù),;④當(dāng)時,存在,,使得對任意,都有.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】②④【解析】對于①,當(dāng)時,其最大值為1,最小值為0,的最大值與最小值的差為1,故①錯誤;對于②,當(dāng)時,,,因此對任意,,故②正確;對于③,,,當(dāng)時,故③錯誤;對于④,當(dāng)時,取,,使得對任意,都有,故正確.故答案為:②④.三、解答題16.如圖,在四棱柱中,側(cè)面是正方形,平面平面,,,為線段的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.(1)證明:連接,如下圖所示:在四棱柱中,側(cè)面為平行四邊形,所以,,因?yàn)?,,為中點(diǎn),所以,,所以,,所以四邊形為平行四邊形,所以,因?yàn)槠矫妫云矫?,?)解:在正方形中,,因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面;所以平面,而平面,即可得,因?yàn)?,平面,與相交,所以平面,而平面,即;如圖建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,于是;因?yàn)?,所以直線與平面所成角的正弦值為.17.在中,.(1)求的大??;(2)若,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使存在,求邊上中線的長.條件①:的面積為;條件②:;條件③:.注:如果選擇的條件不符合要求,得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.解:(1)由正弦定理及,得.①因?yàn)?,所?②由①②得.因?yàn)?,所?所以.因?yàn)椋?(2)選①,的面積為,即,即,解得,因?yàn)?,由余弦定理得,即,解得,由基本不等式得,但,故此時三角形不存在,不能選①,選條件②:.由(1)知,.所以.所以.因?yàn)?,所?所以,即.所以是以為斜邊的直角三角形.因?yàn)椋?所以邊上的中線的長為.選條件③:.由余弦定理得,即.設(shè)邊上的中線長為,由余弦定理得.所以邊上的中線的長為1.18.甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽,共比賽10場,規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝,三人得分(單位:分)情況統(tǒng)計(jì)如下:場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場,求甲獲勝的概率;(2)在上述10場比賽中,從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場,設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一,且各場相互獨(dú)立,用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽,設(shè)為甲獲勝的場數(shù),為乙獲勝的場數(shù),為丙獲勝的場數(shù),寫出方差,,的大小關(guān)系.解:(1)根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),在10場比賽中,甲共獲勝3場,分別是第3場,第8場,第10場.設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場,甲獲勝”,則.(2)根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),在10場比賽中,甲得分不低于10分的場次有6場,分別是第2場,第3場,第5場,第8場,第9場,第10場,其中乙得分大于丙得分的場次有4場,分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0,1,2.,,.所以的分布列為012所以.(3)設(shè)10場比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,丙獲勝的概率為而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布,所以,,故.19.已知橢圓過點(diǎn),焦距為.(1)求橢圓的方程,并求其短軸長;(2)過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn),,連接并延長交橢圓于點(diǎn),直線與交于點(diǎn),為的中點(diǎn),其中為原點(diǎn).設(shè)直線的斜率為,求的最大值.解:(1)由題意知,.所以,.所以橢圓的方程為,其短軸長為4.(2)設(shè)直線的方程為,,,則.由,得.所以.由得直線的方程為.由得.因?yàn)?,所以?所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),且,所以.所以直線的斜率.當(dāng)時,.當(dāng)時,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.所以.所以當(dāng)時,取得最大值.20.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求證:①當(dāng)時,;②函數(shù)有唯一極值點(diǎn);(2)若曲線與曲線在某公共點(diǎn)處的切線重合,則稱該切線為和的“優(yōu)切線”.若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”,求,的值.(1)證明:①當(dāng)時,.記,則.所以在上是增函數(shù).所以當(dāng)時,.所以當(dāng)時,.②由得,且.當(dāng)時,.因?yàn)?,,所?因?yàn)閷θ我夂愠闪?,所以?dāng)時,.所以0是的唯一極值點(diǎn).(2)解:設(shè)曲線與曲線的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,其斜率分別為,,則.因?yàn)椋?所以.不妨設(shè),則.因?yàn)?,由“?yōu)切線”的定義可知.所以.由“優(yōu)切線”的定義可知,所以.當(dāng),,時,取,,則,,,,符合題意.所以.21.對于給定的奇數(shù),設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表,且中所有數(shù)不全相同,中第行第列的數(shù),記為的第行各數(shù)之和,為的第列各數(shù)之和,其中.記.設(shè)集合或,記為集合所含元素的個數(shù).(1)對以下兩個數(shù)表,,寫出,,,的值;(2)若中恰有個正數(shù),中恰有個正數(shù).求證:;(3)當(dāng)時,求的最小值.(1)解:,;,.由定義可知:將數(shù)表中的每個數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù),或交換兩行(列),,的值不變.因?yàn)闉槠鏀?shù),,所以,均不為0.(2)證明:當(dāng)或時,不妨設(shè),即,若,結(jié)論顯然成立;若,不妨設(shè),,則,,.所以,結(jié)論成立.當(dāng)且時,不妨設(shè),,,,則當(dāng)時,;當(dāng)時,.因當(dāng),時,,,所以.所以.同理可得:,,.所以.(3)解:當(dāng)時,的最小值為.對于如下的數(shù)表,.111111111下面證明:.設(shè)
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